初二上册数学直升班培优讲义教师版第19讲因式分解(二)

（ 1） x (b )x b (x )( x b) ；
（ 2） kx ( k )x k
( x )( kx k ) ；
（ 3） ( m )x x m ( x )[( m ) x m] ( x )( mx x m) ．
【教师备课提示】 这道题主要讲解含参的可看成二次三项式的十字相乘．
例8
用合适的方法因式分解： （ 1） ( ax by) (bx ay) （ 3） ( x )( x ) y(x y)
( x x ) (x ( x x ) (x
)( x ) ； )( x ) ．
（ 2）原式 (x )( x ) ； （ 4）原式 (x )( x ) ； （ 6）原式 (x )( x ) ；
例5
因式分解：（ 1） a a （3） x x
（2） x （ 4）
x xx
（1） a a
( a )( a ) ；
模块二 十字相乘法
例4
因式分解：（ 1） x x （3） x x （5） x x （7） x x
（ 2） x （ 4） x （ 6） x （ 8）
x x x xx
（ 1）原式 （ 3）原式 （ 5）原式 （ 7）原式 （ 8）原式
(x )( x ) ； ( x )( x ) ； ( x )( x ) ；
演练 2
因式分解：（ 1） x （3） x
xy y xy y
（ 5） x n xn
ym
（ 2） x y y （ 4）( a b) (a c)
(c d)
(b d )
（ 1） 原式 (x y)
(x y )(x
（ 2）原式 ( x y )( x y ) ；
y )；
（ 3）原式 ( x y ) ( x y) (x y)( x y) ( x y) ( x y)( x y ) ； （ 4）原式 ( a d )(a b d ) (a d )( a c d) ( a d )(a b c d ) ；
2
2
2
3
（ 8） 32ac 15cx 48ax 10c
（ 1） 原式 x( y 1) ( y 1) ( y 1)( x 1) ； （ 2） 原式 a( x y) b( x y) c(x y) ( x y)( a b c) ； （ 3） 原式 = a( c d ) b(d c ) a(c d ) b(c d ) (a b )(c d )(c d ) ； （ 4） 原式 x2 (1 a) x(1 a ) (1 a ) (1 a )( x2 x 1) ； （ 5） 原式 = (x 2 1)(x 1)(x 1) x2 ( x 1) (x 1)(x 3 x 1) ； （ 6）原式 =(x )(x ) ( x ) ； （ 7）原式 ax( x ay) y( x ay) ( ax y)( x ay) ； （ 8） 原式 16a(2c 2 3x2 ) 5c(2c 2 3x 2) (2c2 3x 2 )(16a 5c) ．
（2） x
x
( x )( x ) ；
（3） x
x
(x
x ) ( x )( x ) ；
（ 4）
x x (x
x ) ( x )( x ) ．
【教师备课提示】 例 4 和例 5 主要讲解十字相乘，注意二次项系数为负数，先提负号．
例6
因式分解：（ 1） x xy y
（ 3） x xy y
（5） x
y
xy
（7） x
例3
因式分解：（ 1） 2( x 2 3ab) x(4a 3b) （ 3） x(x 1) y( y 1) 2 xy
（2） x(x 1) y( y 1) （4） 1 (b a 2) x2 abx3
（ 1） 原式 x ab ax bx x(x a) b( a x) ( x a)( x b) ； （ 2） 原式 x x y y ( x y ) ( x y)
①有公因式的分为一组； ②按照系数配比分组； ③次数相近的分成一组．
b) ；
例2
因式分解：（ 1）
xx y
（ 2） x x x x
（ 3） a a ab a b
（4） x xy y
（5） x x y y
（ 6） x y x
（ 7） ( a b) (b c) ( c a) a b c
xy y
（ 1）原式 ( x) y ( y x )( y x ) ；
（ 2）原式 ( x x ) (x x) ( x ) x(x ) ( x
（ 3）原式 a(a
b ab) a (a b )(a b ) ；
)( x x )
（ 4）原式 = [ ( x 4xy+y )] [ ( x y) ] ( x y )( y x ) ；
（ 5） 原式 (x y)( x xy y ) ( x y)( x y) ( x y)( x xy y x y) ； （ 6） 原式 (x y)( x xy y ) ( x y) (x y)(x xy y x y) ； （ 7）原式 [( a b) c ] [(b c) a ] [( c a) b ] (a b c)( a b c ) ． 【教师备课提示】 这道题主要考查分组分解的第二个原则：按公式分组．
xy y
（ 2） x （ 4） x （ 6） a
xy y xy y
ab b
（ 1）原式 （ 3）原式 （ 5）原式
( x y)(x y) ； ( x y)( x y) ； ( x y)(x y) ；
（ 2）原式 （ 4）原式 （ 6）原式
(x y)( x y) ； ( x y)( x y) ； ( a b)( a b) ；
（2） x
xy y
（4） ( a b)x ax a b
（ 1）原式 ( x y)( x y) ； （ 2）原式 ( x y)( x y) ； （ 3） x ( a b c)x (a b)c (x a b)( x c) ； （ 4） ( a b) x ax a b ( x )( ax bx a b) ．
（ 5） 原式 xn
ym
xn
y m xn
ym
( xn
y m )( xn
y m) ．
演练 3
因式分解：（ 1） ax( y b ) by(bx a y) （ 2） x(x z) y( y z) （ 3） x( x )( x )
（ 1） 原式 = axy axb b x y a by ay ( xy ab) b x(xy ab)
特殊地，如果 a b c ，则必有因式 x ；
例： 因式分解： x xy x y或 xy
xy y
如果 a b c ，则必有因式 x ．
∴原式 x y x y
模块一 分组分解法
例1
因式分解：（ 1） ax by bx ay
（3） x
xx
（5） x x x
xx
（ 2） a b a b （ 4） a m am abm bm （ 6） x x x x
复习 巩固
模块一 分组分解法
演练 1
因式分解：（ 1） xy x y 1
（ 3）
2
ac
2
bd
2
ad
2
bc
（ 5） x 4 x3 x2 1
（ 7） 6ax2 9a2 xy 2 xy 3ay2
（ 2） ax ay bx ax 1 a
（ 6） x5 x4 x 1
x 2 (a b) x ab 因式分解，则结果为 ( x a)( x b) ．
x
问题：二次三项式 ax bx c 如何因式分解？ 十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘，
实验筛选，求和凑中．
x或 x ∴原式 (x )( x )
十字相乘法适用类型：二次三项式 ax bx c 二次三项齐次式 ax bxy cy
（ 4）原式 m( a
a ab b ) m a(a ) b( a ) m(a )( a
（ 5）原式 ( x x ) (x x ) ( x )
x ( x ) x (x ) (x ) ( x )( x x ) ； （ 6）原式 x ( x ) x(x ) x(x )( x ) ． 【教师备课提示】 这道题主要考查分组分解的第一个原则：平均分配．
（2） x
x
（4） x
x
（6） x
x.
（ 1）原式 （ 3）原式 （ 5）原式
( x )( x ) ； (x )( x ) ；
( x )( x ) ；
演练 5
因式分解：（ 1） x xy y （ 3） x (a b c)x (a b)c
（2）原式 = ( x )( x ) ； （4）原式 ( x )(x ) ； （6）原式 ( x )( x ) ．
第 19 讲 因式分解（二）
模块一：分组分解法
一般地，分组分解大致分为三步： i ．将原式的项适当分组； ii ．对每一组进行处理（ “提”或“代” ）； iii ．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解．
模块二：十字相乘法
已 知 ( x a)( x b) x2 (a b) x ab ， 那 么 将 例：因式分解： x x
（ 1） 原式 (ax bx) (ay by) x(a b) y( a b) (a b)( x y) ； （ 2）原式 a (b ) (b ) ( a )(b ) ( a )( a )(b )(b ) ； （ 3）原式 x (x ) (x ) ( x )( x )
或原式 x( x ) ( x ) ( x )( x ) ；
( x y)( x y) ( x y) ( x y)( x y ) ； （ 3）原式 x x y y xy ( x y) (x y) ( x y)( x y ) ； （ 4）原式 ( a x ) (bx abx ) ( ax)( ax bx ) ． 【教师备课提示】 这道题主要考查拆开再重新组合，再组合时按照上面两个原则．
（ 2） x y y xy
xy
（ 4） ab( a b) (a b)
（ 1）原式 (a b)( a b)( x y)( x y) （先平方差再分组分解） ； （ 2）原式 y( x )( x y) （先提取公因式再分组分解） ； （ 3）原式 ( x y )( x y ) （先拆开再分组分解） ； （ 4）原式 ( a ab )(b ab ) （十字相乘法） ． 【教师备课提示】 这道题主要考查几个方法的综合，让他们练下．
( xy ab)( ay b x) ； （ 2） 原式 x xz y yz (x y)( x y) z( x y) (x y)( x y z) ；
（ 3） 原式 x x x
x( x ) ( x ) (x )( x ) ．
模块二 十字相乘法
演练 4
因式分解：（ 1） x x （3） x x （5） x x ；
（ 7）原式 ( x y)( x y) ． 【教师备课提示】 这道题主要讲解十字相乘法适用的类型，方法都是一样的．
（ 1）二次三项式 ax bx c ； （ 2）二次齐次式 ax bxy cy ．
例7
因式分解：（ 1） x (b )x b （ 2） kx ( k ) x k （3） (m ）x x m