高考真题 数列与不等式

2019年高考真题数列与不等式
1.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则()
A.
B.
C.
D.
2.不等式的解集为________．
3. 已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若
，则称新数列，，，为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为的递增子列．
（1）写出数列，，，，，，的一个长度为的递增子列．
（2）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为．若，求证：．
（3）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个(，， )，求数列的通项公式．
4.设等差数列的前项和为，若，，则________，的最小值为________．
5. 设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，
，，成等比数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，，证明：，．
6.设，，数列满足，，，则()
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
7.若实数，满足约束条件，则的最大值是()
A.
B.
C.
D.
8.已知，，，则，，的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
9.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是()
A.
B.
C.
D.
10.已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是________．
11.若，则()
A.
B.
C.
D.
12.设，，，则的最小值为________．
13.若，满足，且，则的最大值为()
A.
B.
C.
D.
14.记为等差数列的前项和．已知，，则()
A.
B.
C.
D.
15. 已知数列和满足，，，．
（1）证明：是等比数列，是等差数列．
（2）求和的通项公式．
16.已知，，，则()
A.
B.
C.
D.
17. 设是等差数列，是等比数列．已知，，，．
（1）求和的通项公式．
（2）设数列满足，，其中．
(i)求数列的通项公式；
(ii)求．
18.已知，，，则，，的大小关系为()
A.
B.
C.
D.
19.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为()
A.
B.
C.
D.
20. 定义首项为且公比为正数的等比数列为“数列”．
（1）已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”．
（2）已知数列满足：，，其中为数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“数列”，对任意正整数，当时，都有
成立，求的最大值．
21. 已知等差数列的公差，数列满足，集合．
（1）若，求使得集合恰有两个元素．
（2）若集合恰有三个元素，，是不超过的正整数，求的所有可能的值．
22. 已知数列中，，前项和为．
（1）若为等差数列，且，求．
（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．
23.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交
于点，当最小时，则的值为________．
24.记为等差数列的前项和．若，，则________．
25.记为等比数列的前项和．若，，则________．
参考答案
1.【答案】C
【解析】解：设等比数列的公比为，
则由前项和为，且，
得，，
，
故选：C．
【知识点】【题型】等比数列的基本量问题
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
2.【答案】
【解析】解：由得，即，
故答案为：．
【知识点】解绝对值不等式
【来源】2019上海春季高考
3.（1）【答案】，，，(答案不唯一)
【解析】解：由递增子列的定义可以写出满足题意的递增子列有：，，，或，，，或，，，或，，，或，，，．(答案不唯一)
【知识点】【题型】数列的综合问题
【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）
3.（2）【答案】见解析
【解析】证明：长度为的递增子列的前项可以组成长度为的一个递增子列，该数列的第项，
．
【知识点】【题型】数列与不等式的综合问题
【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）
3.（3）【答案】，，
【解析】解：考虑与这一组数在数列中的位置．
若中有，且在之后，则必然是长度为，且末项为的递增子列，
这与长度为的递增子列末项的最小值为矛盾，必在之前．
继续考虑末项为的长度为的递增子列．
对于数列，，由于在之前，研究递增子列时，不可同时取与，对于至的所有整数，研究长度为的递增子列时，第项是与二选，第项是
与二选，，第项是与二选，
故递增子列最多有个．由题意，这组数列对全部存在于原数列中，并且全在之前．，，，，，，，是唯一构造．
即，，．
【知识点】【题型】数列的综合问题
【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）
4.【答案】0 -10
【解析】解：设等差数列的前项和为，，，
，
解得，，
，
，
或时，取得最小值为．
故答案为：，．
【知识点】【题型】等差数列的综合问题、【题型】等差数列的基本量问题
【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）
5.（1）【答案】，；
，
【解析】解：设数列的公差为，
由题意得，
解得，，
，，
，．
数列满足：对每个，，，成等比数列，
，
解得，
即，．
【知识点】【题型】等差与等比数列综合
【来源】2019年浙江省高考数学试卷
5.（2）【答案】见解析
【解析】证明：，，
用数学归纳法证明：
①当时，，不等式成立；
②假设当时不等式成立，即，
则当时，
，
即当时，不等式也成立，即．
由①②得对任意成立．
【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题【来源】2019年浙江省高考数学试卷
6.【答案】A
【解析】解：对于B，令，得，
取，，，，
当时，，故B错误；
对于C，令，得或，
取，，，，
当时，，故C错误；
对于D，令，得，
取，，，，
当时，，故D错误；
对于A，，，
，
，为递增数列，
当时，，
，，．故A正确．
故选：A．
【知识点】【题型】数列的综合问题、数列的单调性
【来源】2019年浙江省高考数学试卷； 2018-2019学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（理科）（a卷）； 2019浙江省
7.【答案】C
【解析】解：由实数，满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，
有最大值：．
故选：C．
【知识点】简单线性规划
【来源】2019年浙江省高考数学试卷
8.【答案】A
【解析】解：由题意，可知：
，
．
，
最大，、都小于．
，．
而，
．
，
．
故选：A．
【知识点】比较大小之中间数法
【来源】2019天津市高考真题天津卷6
9.【答案】B
【解析】解：头顶至脖子下端的长度为，
说明头顶到咽喉的长度小于，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度小于，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，
可得肚脐至足底的长度小于，
即有该人的身高小于，
由肚脐至足底的长度大于，
可得头顶至肚脐的长度大于，
即该人的身高大于，
故选：B．
【知识点】不等式的性质
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2018-2019学年浙江省镇海中学、杭州二中、嘉兴一中、诸暨中学、效实中学五校高二下6月月考数学卷； 2019高考真题新课标I4
10.【答案】16
【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，
则，解得．
．
故答案为：．
【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式
【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省
11.【答案】C
【解析】解：取，，则
，排除A；
，排除B；
，故C对；
，排除D．
故选：C．
【知识点】不等式的性质
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
12.【答案】
【解析】，，，
则
，
由均值不等式得：
，
当且仅当，即，，即或时，等号成立，故的最小值为．
故答案为．
【知识点】【题型】均值不等式应用技巧之构造不等式
【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）
13.【答案】C
【解析】解：由作出可行域如图阴影部分所示，
联立，解得，
令，化为，
由图可知，当直线过点时，有最大值为．
故选：C．
【知识点】简单线性规划
【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）
14.【答案】A
【解析】解：设等差数列的公差为，
由，，得
，，
，，
故选：A．
【知识点】【题型】等差数列的基本量问题
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I9 15.（1）【答案】见解析
【解析】证明：，，
，，
即，．
又，，
是首项为，公比为的等比数列，
是首项为，公差为的等差数列．
【知识点】【题型】等差数列的判定、【题型】等比数列的判定
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
15.（2）【答案】，
【解析】解：①，②，
由①②可得：，
，
由①②可得：，
；
，
．
【知识点】【题型】等差数列的基本量问题
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
16.【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
，
故选：B．
【知识点】比较大小之中间数法
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I3
17.（1）【答案】见解析
【解析】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意有：
，解得，
，
．
【知识点】【题型】等差与等比数列综合
【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）
17.（2）【答案】见解析
【解析】解：(i)数列满足，，其中．
，
数列的通项公式为．
(ii)
．
【知识点】【题型】分组求和、数列通项公式的概念
【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）
18.【答案】A
【解析】解：由题意，可知：
，
．
，
最大，、都小于．
，．
而，
．
，
．
故选：A．
【知识点】比较大小之中间数法
【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）
19.【答案】C
【解析】解：由约束条件，作出可行域如图：
联立，解得，
化目标函数为，由图可知，当直线经过点时，有最大值为．故选：C．
【知识点】简单线性规划
【来源】2019年天津市高考数学试卷（文科）； 2019年天津市高考数学试卷（理科）
20.（1）【答案】见解析
【解析】解：设等比数列的公比为，则
由，，得
，，
数列首项为且公比为正数，
即数列为“数列”．
【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、【题型】等比数列的综合问题、【题型】数列的新定义问题
【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省
20.（2）【答案】见解析
【解析】解：①，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
猜想，下面用数学归纳法证明；
(i)当时，，满足，
(ii)假设时，结论成立，即，则时，
由，得
，
故时结论成立，
根据(i)(ii)可知，对任意的都成立．
故数列的通项公式为；
②设的公比为，
存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立，即对恒成立，
当时，，当时，，
当，两边取对数可得，对有解，
即，
令，则，
当时，，此时单调递减，
当时，，
令，则，
令，则，
当时，，即，
在上单调递减，
即时，，则
，
下面求解不等式，
化简，得，
令，则，
由得，，在上单调递减，
又由于，，
存在使得，
的最大值为．
【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题、【题型】数列的新定义问题
【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省
21.（1）【答案】见解析
【解析】，则，，，
，
又因为集合恰有两个元素，所以或，，，又因为，
1、当(舍去)，当，符合题意，于是；
2、当(，舍去)，
代入检验或，故也满足题意；
综上：或．
【知识点】诱导公式、【题型】数列的综合问题
【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷21
21.（2）【答案】见解析
【解析】解法一：因为，为周期数列，
1、当时，，则为常数数列，不符合集合恰有三个元素，舍去；
2、当时，，也不符合，舍去；
3、当时，，集合，符合题意．
4、当时，，则，
根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；
5、当时，，，
根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；
6、当时，，，
根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；
7、当时，，，
根据三角函数线—正弦线，可知，因为，
则，设，
则，根据整除性：
1、，，不符合；
2、，，带入检验，不符合；
3、，带入检验，不符合；
4、，带入检验，不符合；故当时，不满足恰有三个元素；综上：的可能取值为，，，．
【知识点】【题型】三角函数线的应用、【题型】数列的综合问题
【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷21
22.（1）【答案】
【解析】为等差数列，，，，
．
【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式、等差数列的通项公式
【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷18
22.（2）【答案】
【解析】为等比数列，，
，，，，，
综上，或．
【知识点】等比数列的求和公式、【题型】等比数列的综合问题
【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷18
23.【答案】
【解析】依题意得，求得，，则，
当且仅当时，取等号．故的值为．
【知识点】利用均值不等式求最值、【题型】抛物线中的最值问题
【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷10
24.【答案】4
【解析】解：设等差数列的公差为，则
由，可得，
，
故答案为：．
【知识点】等差数列的求和公式、【题型】等差数列的基本量问题
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
25.【答案】
【解析】解：在等比数列中，由，得，
即，，
则，
故答案为：．
【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、等比数列的求和公式
【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I14。