高考100题三角函数：3 诱导公式及其应用

【解析】 原式
2 cos sin sin sin 4 2
sin cos sin cos 5
1 2
B． 2
C．
1 2
D．-2
【答案】D 【解析】由题意得， sin( ) 2sin(
) sin 2 cos ，所以 tan 2 ，故选 D． 2
sin( ) cos( 2 ) 1 ，则 tan sin cos( ) 2
sin(
【例 7】 【2016 届河北省衡水中学高三下六调文科数学】已知 cos k , k R, （ ）
2
, 2
，则 sin
A． 1 k 【答案】A
B． 1 k
2
C． 1 】由于 cos k , k R,
【例 4】 【2016 届湖 北省 黄冈 中学 高三 5 月一 模理 科数 】设 , (0, （ ）
1 ) ，且 tan tan ，则 2 cos 2
A． 3 【答案】D
2
B． 2
2
C． 3
2
D． 2
, 2
2 2 ，因此 sin sin 1 cos 1 k ，应选 A．
【例 8】 【2016 届安徽省淮南市高三下学期二模文科数学】已知 sin( ) 2sin( （ A． ）
) ，则 tan 的值为 2
【 解 析 】 sin( ) sin
tan
sin 7 ． cos 3 3 2 的值等于________．
【例 11】若点 P cos ,sin 在直线 y 2 x 上，则 cos
【答案】
2 5 5 3 ) sin ，当点 P 在 2
1 32 2 ， 3 6
【解析】根据 ( , ) ，可以求得 cos( ) 1 1 2 2 ，从而有 6 2 6 9 3
1 3 2 2 1 3 2 2 sin sin[( ) ] sin( ) cos cos( ) sin ； 6 6 6 6 6 6 3 2 3 2 6 1 cos( ) cos[( ) ] sin( ) ． 3 6 2 6 3 3 【例 14】若 sin( ) ，则 cos 2 ＝________． 2 5 7 【答案】 25 3 7 2 【解析】因为 sin( ) cos ，所以 cos 2 2 cos 1 ． 2 5 25
【命题意图】 本题主要考查三角函数的

诱导公式； 三角函数的图象和性质． 本 题能较好的考查考生分析问题解决问
若对任意实数 x 都有 2 sin 3x a sin bx c ，则 题的能力、基本计算能力等． 3
满足条件的有序实数组 a, b, c 的组数为 【答案】4 【解析】 试题分析： ．
口诀：符号看象限，正弦与余弦互换． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理 解． 【技能方法】 （1）必须牢记特殊角的三角函数值，做到“见角知值，见值知角” ； （2）求解三角函数值的关键是先观察角，后看函数名．一般顺序：负化正，大化小，小化锐角再计算． 【易错指导】
tan 1 1 ，可求得 tan 3 ，故正确选项为 D． tan 1 2
【例 10】已知 sin( )
7 ， sin 2 0 ，则 tan ________． 4
【答案】
7 3 3 7 2 ， sin 2 2sin cos 0, cos 0 ， cos 1 sin ， 4 4
． III．理论基础·解题原理 三角函数的诱导公式：
1 式将不同角化为同角． 2
1 sin 2k sin ， cos 2k cos ， tan 2k tan k ． 2 sin sin ， cos cos ， tan tan ． 3 sin sin ， cos cos ， tan tan ． 4 sin sin ， cos cos ， tan tan ．
sin(
【例 6】 【2015-2016 学年湖南 衡阳一中高一 下期末数学 】已知 sin 2cos ，则

2 2
) cos( ) ) sin( )

sin(
（ A． 2
） B． 2 C． 0 D．
2 3
【答案】B
) cos( ) cos cos 2cos 2 2 ，故应选 B． 【解析】因 cos sin cos 2cos sin( ) sin( ) 2
2015 2 的值为 2
．
4 5
【例 13】 【2016 届辽宁省实验中学分校高三上学期期中文科数学】已知 (
sin _____， cos( ) _____． 3
【答案】
1 , ) ，且 sin( ) ，则 6 2 6 3
【例 5】 【2015-2016 学年甘省天水一中高一下期末理科数学】已知 tan( )
sin( ) 2 4 A、 5
【答案】A

3 3 ，且 ( , ) ，则 4 2 2
（ ）
B、
4 5
C、
3 5
D、
3 5
【解析】因为 tan( )
3 sin 4 3 2 2 ，所以 tan ，又由 sin cos 1 可得 cos ，又因为 4 4 cos 5 4 4 3 ( , ) ，所以 cos ， sin( ) cos 故选 A． 2 2 2 5 5
【解析】 点 P(cos , sin ) 在直线 y 2 x 上， sin 2 cos ，又 cos( 第 二 象 限 时 ， sin
2
cos 2 1 ， 即 sin 2 sin 2 1 ， 得 sin
1 4
2 5 ；当点 P 在第四象限时， 5
当 a , b 确定时， c 唯一． 若 a 2 ， b 3 ，则 c
5π ；若 a 2 ， b 3 ，则 3
具体的组合情况， 使问题得解． 本题主 要考查考生的逻辑思维能力、 基本运算 求解能力、 数形结合思想、 分类讨论思
c
4π ； 3 π ；若 a 2 ， b 3 ，则 3
1 2 5 2 5 sin 2 cos 2 1 ，即 sin 2 sin 2 1 ，得 sin ；故答案为 ． 4 5 5
【例 12】 【2016 届浙江省杭州高中高三上学期月考三理科数学】已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x 2 y 3 0 垂直，则 cos 【答案】
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号——脱 周期——化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． （3）注意求值与化简后的结果尽可能有理化、整式化．
V．举一反三·触类旁通 考向 1 利用诱导公式化简、求值
【例 15】 【2016 届北京市海淀区高三上学期期中考试文科数学】若点 P (cos , sin ) 在直线 y 2 x 上，则
若 a 2 ， b 3 ，则 c
想等．
c
2π ； 3
故有 4 种组合． 【例 3】 【2015 新课标全国 I 卷】
sin 20 cos10 cos160 sin10
（ A． ）
【命题意图】 本题考查三角函数诱导公 式、两角和与差的三角函数公式． 【考试方向】这类试题在考查题型上，

sin 2 cos cos 2 cos sin sin sin 2 sin tan . cos
II．考场精彩·真题回放 【例 2】 【2016 高考上海理数】 设 a, b R, c 0,2 ，
I．题源探究·黄金母题 【例 1】化简：
精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修 4 第 27 页例 4． 【母题评析】 本题考查了本题考查了诱 导公式． 【思路方法】利用口诀熟记诱导公式： 符号看象限，奇变偶不变．
11 sin 2 cos cos cos 2 2 ． 9 cos sin 3 sin sin 2
3 2
B．
3 2
C．
1 2
D．
1 2
通常以选择题或填空题的形式出现， 难 度较小，考查考生的基础知识的识记、 基本计算能力． 【难点中心】解决问题的关键是观察 式
【答案】D． 【解析】 原
20 与 160 之间的联系，会用诱导公
sin 20 cos10 cos20 sin10 sin 20 10
【例 9】 【2016 届湖北省龙泉中学等校高三 9 月联考文科数学】若 （ A． 1 【答案】D 【解析】利用三角函数的诱导公式可知 ） B． 1 C． 3
D． 3
sin( ) cos( 2 ) sin cos 1 ，显然 cos 0 ，所以有 sin cos( ) sin cos 2
【考试方向】这类试题在考查题型上， 通常以选择题或填空题的形式出现， 难 度中等偏易， 考查基础知识的识记与理 解． 【难点中心】 本题根据三角函数的图象 和性质及三角函数的诱导公式， 首先确 定得到 a, b 的可能取值， 利用分类讨论 的方法，进一步得到 c 的值，从而根据
2sin 3x a sin bx c , a 2, b 3 ． 3
口诀：符号看象限，函数名称不变．
5 sin
cos ， cos sin ； 6 sin cos ， cos sin ． 2 2 2 2