【教育专用】新版高中数学北师大版必修1习题：第三章指数函数和对数函数 3.3.1

§3指数函数
第1课时指数函数的图像和性质
课时过关·能力提升
1若函数y=(2a2-5a+4)a x是指数函数,则a的值为()
A.1或
B.1
C. D.以上均不正确
解析:由2a2-5a+4=1,解得a=(a=1舍去).
答案:C
2若函数y=a x-(b+1)(a>0,a≠1)的图像在第一、三、四象限,则有()
A.a>1且b<0
B.a>1且b>0
C.0<a<1且b>0
D.0<a<1且b<0
答案:B
3已知集合M={-1,1},N=,则M∩N=()
A.{-1,1}
B.{-1}
C.{0}
D.{-1,0}
解析:N={x|2-1<2x+1<22,x∈Z},又y=2x在R上为增函数,所以N={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},所以M∩N={-1,1}∩{-1,0}={-1}.故选B.
答案:B
4函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)对于任意的实数x,y都有()
A.f(xy)=f(x)f(y)
B.f(xy)=f(x)+f(y)
C.f(x+y)=f(x)f(y)
D.f(x+y)=f(x)+f(y)
解析:由同底数指数幂的运算性质可知选C.
答案:C
5设<1,那么()
A.a a<b b<b a
B.a a<b b<a
C.a b<b a<a a
D.a b<a a<b a
解析:∵函数f(x)=为减函数,且<1,
∴0<a<b<1.
∴函数g(x)=a x为减函数,即a b<a a,函数h(x)=x a为增函数,即a a<b a,故a b<a a<b a,故选D.
答案:D
6三个数a=(-0.3)0,b=0.32,c=20.3的大小关系为()
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.b<c<a
解析:因为a=(-0.3)0=1,而c=20.3>20=1,b=0.32<0.30=1,所以c>a>b.
答案:C
7已知指数函数y=f(x)的图像过点(1,3),则f(f(1))=.
答案:27
8已知函数f(x)=则f(-3)的值为.
解析:f(-3)=f(-1)=f(1)=f(3)=2-3=.
答案:
9当x∈[-2,0]时,函数y=3x+1-2的值域为.
解析:∵x∈[-2,0]时,y=3x+1-2是增加的,
∴3-2+1-2≤y≤30+1-2,即-≤y≤1.
答案:
10若函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.
分析:解答本题的关键是根据函数f(x)的定义域[0,2],确定f(x)的最大值与最小值,要注意底数a的取值(a>1还是0<a<1)对f(x)最值的影响,然后根据f(x)的最值列出关于a的方程求解.
解当a>1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是增加的,
由题意可知,
解得a=(a=-舍去).
当0<a<1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是减少的,由题意可知,此时a无解.
综上所述,a=.
★11已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,试判断f(b x)与f(c x)的大小关系.
解由f(1+x)=f(1-x),可得函数f(x)的对称轴是直线x=1,所以b=2.
所以函数f(x)在(-∞,1]上是减少的,在[1,+∞)上是增加的.
又f(0)=3,所以c=3.
若x≥0,则3x≥2x≥1,所以f(3x)≥f(2x);
若x<0,则3x<2x<1,所以f(3x)>f(2x).
综上所述,f(3x)≥f(2x),
即f(c x)≥f(b x).
★12已知函数f(x)=(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范围,使xf(x)>0在定义域上恒成立.
解(1)由a x-1≠0,解得x≠0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)f(-x)=
==-=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3)∵f(x)为奇函数,
∴xf(x)为偶函数.
∴xf(x)>0在定义域上恒成立等价于f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即>0恒成立,即>0.
∴a x-1>0即a x>1在(0,+∞)上恒成立,
∴a>1.
故实数a的取值范围是(1,+∞).。