四川省遂宁市2018-2019学年高二下学期期末考试数学(文)试题(含答案)

遂宁市高中2020届第四学期期末教学水平监测
数学（文科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求。

）
1．设复数z满足1i
z=-，则z的共轭复数的虚部为
A. 1
- B. 1 C. i- D. i
2．双曲线
2
21
2
x
y
-=的渐近线方程为
A.
2
2
y x
=± B. 2
y x
=± C. y x
=± D. 2
y x
=±
3．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为
A. B. C. D.
4．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)101318－1
用电量(度)38342464
由表中数据得回归直线方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，预测当气温为
－4 ℃时，用电量度数约为
A．70 B. 64 C. 68 D. 65
5．设p ：实数a ，b 满足1a >且1b >，q ：实数a ，b 满足2
1a b ab +>⎧⎨>⎩
，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．如图所示的程序框图输出的结果是 A ．34 B ．55 C ．78
D ．89
7．下列说法正确的是
A ．命题“,0x
x R e ∀∈>”的否定是“,0x
x R e ∃∈>”
B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题
C ．命题“若1,a =-则函数2
()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题
D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2
min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立
8．若曲线()ln 1a
f x x x
=
++在1x =的切线与直线y x =垂直，则()f x 的单调递增区间是 A ．()01， B. (0,2) C. ()1+∞，
D. ()+∞2， 9．设点F 和直线l 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点和一条渐近线，若F 关于直
线l 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 10. 已知3
2
2
()3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，且函数3212
()33
g x x x =
+-在区间(c ，c ＋5)上存在最大值，则a b c -+的最大值为
A. 6-
B. 9-
C. 11-
D. 4-
11．设,A B 是抛物线2
4y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横
坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则22
12k k +的最小值为
A. 22
B. 2
C. 2
D. 1
12．设m R ∈，复数(1)()z i m i =+-在复平面内对应的点位于实轴上，又函数()ln f x m x x =+，
若曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为 A ．{}1,12
⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝
⎦
B. (]{},01-∞⋃
C ．(]{},02-∞⋃ D. ()(),02,-∞⋃+∞
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．已知复数12(z i i i ⋅=-是虚数），则复数z 的模等于 ▲ . 14．若抛物线2
14
y x =
的焦点坐标是 ▲ . 15．观查下列式子：
122⨯<
912+232
⨯⨯<
12+23+348⨯⨯⨯<
2512+23+34+452
⨯⨯⨯⨯<
… 根据以上规律，第()n n N *
∈个不等式是 ▲ . 16．若函数22cos ()1
x
f x x a x a x =-+
++有且只有一个零点，又点(3,1)P a 在动直线(1)(1)0m x n y -+-=上的投影为点M ，
若点33N （，），那么MN 的最小值为 ▲ . 三、解答题（本大题共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极
坐标方程为2
2cos 4sin 4ρρθρθ=-+，直线1l 的极坐标方程为(cos sin )3ρθθ-=．
（Ⅰ）写出曲线C 和直线1l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线2l 过点(1,0)P -与曲线C 交于不同两点A 、B ，AB 的中点为M ，1l 与2l 的交点为N ，求||||PM PN ⋅．
▲
18．（本小题满分12分）
求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程。

（1）求与椭圆
2214924x y +=有公共焦点，且离心率5
4
e =的双曲线的方程；
（2）求顶点在原点，准线方程为4x =的抛物线的方程.
▲
19．（本小题满分12分）
已知命题p : 函数3
21()3
f x x ax =
+在定义域R 上单调递增； 命题q : 0x e a +>在区间[)0,∞+上恒成立.
（1）如果命题p 为真命题，求实数a 的值或取值范围;
（2）命题“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.
▲
20．（本小题满分12分）
大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备。

某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程．
（Ⅰ）这两年学校共培养出优等生150人，根据如图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生 非优等生
总计 学习大学先修课程 250 没有学习大学先修课程
总 计 150
3人进行测试，求这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率．
参考数据：
20()P K k … 0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：2
()()()()
K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++
▲
21．（本小题满分12分）
椭圆上顶点为M ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且焦距为22
． （1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l 交椭圆于P ，Q 两点，判断是否存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
▲
22. （本小题满分12分）
已知函数2
()ln f x x ax a x =+-
（1）若函数()f x 在102⎛
⎫ ⎪⎝⎭，上递减,在1+2
⎛⎫∞ ⎪⎝⎭
，上递增,求实数a 的值.
（2）若函数()f x 在定义域上不单调，求实数a 的取值范围.
（3）若方程ln 0x x m --=有两个不等实数根12,x x ，求实数m 的取值范围，并证明121x x <.
▲
遂宁市高中2020届第四学期期末教学水平监测
数学（文科）试题参考答案及评分意见
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C A B B D C C D A
二、填空题（每小题5分，共20分） 135．(0,1)
15. 2
(1)12+23+34+45+...+(1)2
n n n +⨯⨯⨯⨯⨯+< 16．252
三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
（Ⅰ）曲线2
:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22
244x y x y +=-+；
即22
(1)(2)9x y -++=
1:(cos sin )3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=. …………4分
（Ⅱ）直线2l 的参数方程1cos sin x t y t α
α
=-+⎧⎨
=⎩（t 为参数），
将其代入曲线C 的普通方程并整理得2
4(cos sin )10t t αα---=， 设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则
124(cos sin )t t αα+=- …………7分
因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为
12
2(cos sin )2
t t αα+=-，…………8分 设N 点的参数为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=
整理得34
cos sin t αα
=- …………9分
所以1234
|||||
|||2|cos sin |||82cos sin t t PM PN t αααα
+⋅=⋅=-⋅=- …………10分
18．（本小题满分12分）
（1）椭圆22
1
4924
x y +=的焦点坐标为()()5,0,5,0-，又双曲线离心率54c e a == 所以双曲线4,5a c == …………4分
故双曲线的方程为：22
1169
x y -= …………6分
（2）由题意，抛物线的焦点在x 轴上，开口向左，482
p
p =⇒= …………10分
所以抛物线方程为：2
16y x =- …………12分 19．（本小题满分12分）
（1）'
2
()20f x x ax =+≥对(),x ∞∞∈-+恒成立 …………2分
∴2=400a a ∆≤⇒= …………5分 （2）0x e a +>在区间[)0,∞+上恒成立，即x a e >-在区间[)0,∞+上恒成立，
命题q 为真命题：即1a >- …………7分 由命题“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题知,p q 一真一假…………8分 若p 真q 假,a φ∈
若p 假q 真,则⋃∞（-1,0)(0,+)
综上所述,
⋃∞（-1,0)(0,+) …………12分 20．（本小题满分12分） （Ⅰ）
优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 50 200 250 没有学习大学先修课程
100 900 1000 总计
150
1100
1250 3分
由列联表计算
22
2
()1250(50900200100)18.939 6.635()()()()25010001501100
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，…5分
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系；…6分 （Ⅱ）在这5名优等生中，记参加了大学先修课程学习的两名学为A 、B ，
没参加大学先修课程学习的3名学生为c 、d 、e ， 在这5学生中任选3人，基本事件是
ABc 、ABd 、ABe 、Acd 、Ace 、Ade 、Bcd 、Bce 、Bde 、cde 共10种，……9分
其中没有学生参加大学先修课程学习的情况有cde 共1种， …………10分 则这3人中至少有1名参加了大学先修课程学习的概率为19
11010
P =-
=． ……12分
21．（本小题满分12分）
（1）设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=，(0)a b >>，焦距为2c ，故221c c =⇒=
…………2分
又2
2
c e a =
=
，222a b c =+，22a ∴=，21b =． …………4分 故椭圆的标准方程为2
212
x y +=． …………5分
（2）设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，F 为PQM ∆的垂心，, MF PQ MP FQ ∴⊥⊥．
(0,1)M Q ，(1,0)F ，
1MF k ∴=-，1PQ k ∴=， …………6分
设直线PQ 的方程为y x m =+，代入到2212
x
y +=得2234220x mx m ++-=，
∴△22(4)12(22)0m m =-->，解得33m -<1m ≠ …………8分
1243x x m ∴+=-，21222
3
m x x -=， …………9分
Q PF MQ ⊥u u u r u u u u r ，1(1PF x -u u u r ，1)y -，2(MQ x =u u u u r
，21)y - 2121120x x x y y y ∴-+-=，
即21212(1)()20m x x x x m m -+-+-= 由根与系数的关系，得2340m m +-=．
解得4
3
m =-或1m =（舍去）． …………11分
故存在直线l ，使点F 恰为PQM ∆的垂心，且直线l 的方程为4
3
y x =-．……12分
22.（本小题满分12分）
（1）由于函数函数()f x 在102⎛
⎫ ⎪⎝⎭，上递增，在1+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，
上递减，由单调性知，1
2
x =是函数的极大值点，无极小值点。

所以1()02
f '= …………2分
()21201a
f x x a a a a x
'=+-
⇒+-=⇒= 经验证成立。

…………4分
（2）假设函数()f x 在定义域上单调，则有()0f x '≥或()0f x '≤在()0+∞，
上恒成立 22()2a x ax a
f x x a x x
+-'=+-=
故只有使'
()0f x ≥在()0+∞，
上恒成立 即22202x ax a ax a x +-≥⇔-≥-在()0+∞，
上恒成立 令2
12,2y ax a y x =-=-由图形（数形结合）可得：
80a -≤≤ …………6分
故：函数()f x 在定义域上不单调时8a <-或0a >. …………8分 （3）令()ln (0),()h x x x x g x m =->=，11
()1x h x x x
-'=-
=
当(0,1)x ∈时，11
()10x h x x x -'=-
=<，()ln (0)h x x x x =->单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，11
()10x h x x x
-'=-=
>，()ln (0)h x x x x =->单调递增； 故()h x 在1x =处取得最小值为(1)1h = …………9分
又当0,();,()x h x x h x →→+∞→+∞→+∞，由图象知：(1,)m ∈+∞………10分 不妨设12x x <，则有122101,01x x x <<<<
<，121122111()()x x x h x h x x <⇔<⇔>
121222
2222
222
11()(),()(
)()()111
(ln )(ln )2ln h x h x m h x h h x h x x x x x x x x x ==∴-=-=---=--Q
令221121
()2ln (1),()1(1)0p x x x x p x x x x x
'=-
->=+-=-> ()p x ∴在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0p x p >=
即22212ln 0x x x -
->，1122
1
()(),1h x h x x x ∴>∴<
…………12分。