数列求和课件-2025届高三数学一轮复习

可根据错位相减法求和．( × )
(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，
则数列
3n −1
an 的通项公式是an＝
.( √
2
)
2．(教材改编)已知数列 an 的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，
则S6＝________．
147
解 析 ： S6 ＝
6 1+6
＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1 ①，
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn ②.
①－②得(1－q)Sn＝a1(1－qn)，
a1 1−qn
∴当q≠1时，Sn＝
1−q
，当q＝1时，Sn＝na1.
关键能力·题型剖析
题型一 分组求和与并项求和
例1 [2024·河南开封模拟]记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知a1＝1，
＝2×[3＋7＋11＋…＋399]＋1－2012
100 3+399
＝2×
2
＋1－2012
＝40 200－40 401＋1＝－200.故选A.
5．(易错)在数列 an 中，已知an＝
1 5
1
1
−
−
2 6
n+2
n+3
和Sn＝______________．
n+1 n+3
(n∈N*)，则 an 的前n项
1
1
Sn＋Sn－1＝ (n≥2，n∈N*)．
an
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若bn＝
−1 n
，求数列{bn}的前n项和Tn.
an
题后师说
(1) 分 组 转 化 法 求 和 的 常 见 类 型 主 要 有 ： 分 段 型 ( 如 ①an ＝
，为奇数，
nπ
n－1
②wk.baidu.comn＝2n＋3 )，周期型 如 an = sin
)
答案：A
A．－200
B．0
C．200
D．10 000
解析：记数列 cn 的前200项和为Tn，
Tn＝c1＋c2＋…＋c200
＝a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a199＋a200＋a200＋a201
＝2 a1 + a2 + a3 + a4 + ⋯ + a199 + a200 －a1＋a201
＝2 4 − 1 + 16 − 9 + ⋯ + 2002 − 1992 ＋1－2012
问题思考·夯实技能
【问题1】 使用裂项相消法求和时要注意哪些问题？
提示：(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了
哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造
成正负相消是此法的根源与目的．
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，是裂开的两项之差和系数之积与
1
1 1
1
1
原通项相等．例如：设an 为等差数列，公差为d，
＝ ( −
)，
＝
1 1
(
2d an
−
1
an+2
an an+1
)．
d an
an+1
an an+2
【问题2】
试．
推导等比数列的前n项和公式的方法是什么？请你试一
提示：错位相减求和法. 对于等比数列{an}中，前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…
第四节
数列求和
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
(1)等差数列的前n项和公式：
n n−1 d
n a1 +an
na1＋
2
Sn＝_________＝____________．
2
(2)等比数列的前n项和公式：
na1 ，q = 1，
a1 1−qn
1
1
−
(n∈N*)，
n+1 n+3
2 n+1
n+3
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 5
∴{an}的前n项和Sn＝ [( − )＋( − )＋( − )＋…＋(
−
)]＝ (
2 2
4
3
5
4
6
n+1
n+3
2 6
1
)．
n+3
解析：∵an＝
1
1
＝
−
1
−
n+2
课堂互动探究案
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
.

3
2 ，为偶数；
(2)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，
则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
巩固训练1
n n+1
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝
；
2
n n+1 2n+1
2
2
2
(2)1 ＋2 ＋…＋n ＝
.
6
2．常见的裂项公式
1
1
1
(1)
＝ −
；
n n+1
1
(2)
n n+2
(3)
(4)
n
n+1
1 1
1
＝
−
；
2 n
n+2
1
1
1
1
＝
−
2n−1 2n+1
2 2n−1
2n+1
1
＝ n + 1 − n.
n+ n+1
4．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比
数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相
减法求解．
5．倒序相加法：如果一个数列 an 的前n项中首末两端等“距离”
的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可
用倒序相加法求解．
【常用结论】
1．一些常见的数列前n项和公式
2
21
+ 22
+ 23
+ 24
＝27－2＋21＝27＋19＝147.
+ 25
+ 26
＋ (1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ 6) ＝
2 1−26
1−2
+
3．(教材改编)在数列
1
an 中，an＝
n n+1
2 022
则项数n＝______．
解析：记数列 an 的前n项和为Sn，
则Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
；
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 若 数 列 an 为 等 比 数 列 ， 且 公 比 不 等 于 1 ， 则 其 前 n 项 和 Sn ＝
a1 −an+1
.( √ )
1−q
1
1
1
(2)当n≥2时， 2 ＝
n −1 2 n−1
−
1
n+1
.( √ )
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即
Sn＝ a1−anq
1−q
1−q
____________
= ____________，q
≠ 1.
2．分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数
列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再
相加减．
3．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些
项可以相互抵消，从而求得前n项和．
1
1
1
1
1
＝ 1 − + − + − ＋…＋
2
2
3
3
4
1
2 022
＝1－ ＝
，解得n＝2 022.
n+1 2 023
1
n
−
1
n+1
，若
2 022
an 的前n项和为
，
2 023
4．(易错)已知数列 an 的通项公式为an ＝(－1)nn2 ，设cn ＝an ＋an＋1 ，
则数列 cn 的前200项和为(