电磁学02静电场中的导体与介质

A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
021
1
2
0
2
(2)
12
思考 若上面例题中导体板接地，下面结果哪个正确?
在一个金属板内任取一点P
有
E E E E 0
又由前1 PE 2 P E 3 P 0 4 P
2P
3P
1
2
3
P
1
4
故
1 4 0
4
2
2 0
0
2 2
0
0
1
4
即：无论两板各自带电量如何，要满足导体 静电平衡条件，其相对内侧面带电必等量异 号，外侧面带电必等量同号.
15
例3 金属球A与金属球壳B同心放置
Uc是静电平衡条件的另一种表述。
2.导体上电荷的分布 导体体内处处不带电， 电荷只带在导体表面
dV
E内 0
证明：由高斯定理可证（第一章已证）
3.导体表面的电场强度
导体表面场强处处与表面垂直(平衡条件）7 ，
场强大小与该处表面电荷密度关系：
P
ds
E
表 0
或
E表
0
nˆ
nˆ ：外法线方向
导体表面
已知：球A半径为R0 ,带电为q . 金属壳B内外半径分别为 R1 ,R2 ；带电为Q .
求:1)电荷分布； 2)球A和壳B的电势。
B
Q
A
q
o
解：1)导体带电在表面。
R2 R1 R 0
* 由于A,B同心放置,等势面为同心球面，
呈中心对称。
电荷在表面均匀分布.
16
球A表面均匀分布着电荷q B
相当于一个均匀带电的球面
两类：金属——自由电子； 电解质——正负离子
电介质 Dielectric: 就是电的绝缘体，
它与导体构成一对矛盾体。在应用中作用正 相反，但又常常并用。
问题是在外静电场作用下，导体中电荷重新
分布，介质也会被极化产生束缚电荷，他们
都会产生电场从而影响总的电场。
4
§2.1 静电场中的导体 §2.2 有导体存在时静电场场量的计算 §2.3 空腔导体壳与静电屏蔽 §2.4 电介质的极化 §2.5 有介质时静电场的规律 §2.6 电容器及其电容 §2.7 静电场的能量 §2.8 铁电体 、压电效应 §2.9 *静电场的唯一性定理
感 应 电 量带 电 体
的结论不变
只与qin 的大小有关，而与其位置无关。
原因：因感应，qin值将影响腔的外表面上的 电荷量,从而影响腔外电场的强弱（但 不改变外场的相对分布） 。
28
§2.4 电介质的极化
一.电场中置入电介质时的影响
电 介 质
+Q -Q
静电计
平行金属板带电， 与静电计相连。 显示电势差。
保持Q不变：其间插入电介质， 电势差减小；取出介质，复原。
29
极板电量不变时，在极间充满各向同性均
匀电介质前后的场强关系为：
EE 0/r
+Q -Q +Q -Q r 介质的相对介电常数
(相对电容率)( relative
permittivity）
E0
E r与介质种类和状态有关。
r 1
书P133表5.1列出了某些电介
Aq S
o
*壳B上的电荷的分布：
q
在B的内部作高斯面S，
Qq
面S的电通量：SE ds0
高斯定理
qin 0
电荷守 i
QB内 表 q
恒定律
QB外表 Qq
相当于三个同心 均匀带电球面。
17
等效:在真空中三个均匀带Байду номын сангаас的同心球面
利用叠加原理
Qq
UB 4 0R2
R2
R1 R0
q
q Q q
UA 40R0
S
对各向同性介质
P 0(r 1 )E
D 0r E E
r0 称介质的介电常数（电容率） （permittivity）39
例1证明各向同性证均：匀介 质q内内 0 =0处P 必d有s = 0。
q内 电
V S
介 质
r=const.
S
P0(r1)E
0(r
D 1)
0r
(1
1
r
)D
q内 S(11r)D ds(1r
质的r ，其中：空气r=1，水(0℃, 1atm) r=80，
钛酸钡r=103—104。
30
介质在电场中出现附加电荷称极化(polarization) 二.电介质分子可分为有极和无极两类
1.有极分子(polar molecule):
分子电荷的正、负“重心”分 具有固
有开电偶极矩, ，p~1030Cm。
-0 0 2 0
0
0
0
2
0 -0 0
（A）
（B）
（C） 13
例2 两平行放置的无限大带电金属平板
求：两金属板两侧面电荷密度之间的关系
（不计边缘效应）
解: 不计边缘效应，电荷在各 表面均匀分布，设面密度
1
2
3
4
分别为 ,,, 123 4
导体体内任一点P场强为零
两板间场强垂直平板
作如图高斯面，有 SE dS 03 2 2S 031 4 S
34
E
P
电 介 抵不 质 消抵
消
等效
σ′
电
++++ P
介
质
设
p分
子 ql， 单位体积分子数为
n，则
Pnp分 子
d小s电柱体nlσ+++′+ ＾n Pθ
介 质
dq
d q n (d slco)q s
nqclosds
n分 p 子 co sds
P co d ss
d q /s d P co P s n35
特征：① 内表面处处无电荷
? S
② 腔内无电场 即 E腔内0
证S 明E :d 1）s 在0 导高体斯壳定内理 紧i 贴qi 内表0 面作高Q斯内表 面面S 0
2）可否内表面一部分带正电 ，另一部分带等 量负电？不能！
如是，则会从正电荷向负电荷发电场线 与导体等势矛盾 ∴证明了上述两个结论 22
注意：证明过程 1)导体壳是否带电? 并未涉及： 2)腔外是否有带电体?
电磁学02静电场中的导体与介质
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第二章 静电场中的导体和电介质 (Conductor and Dielectric in Electrostatic Field)
2
4.2, 4.3, 4.4 ,4.5 5.2, 5.16, 5.24, 5.29
3
导体 conductor : 内部存在大量可自由移动电荷。
解：均匀极化 0
介质表面上取角位置为 处 P
有
P n ˆ P co－－ s
＋ ＋
－P
＋
0,
max
P;
, 3 , 0;
22
, P.
均匀极化，电荷 并不均匀分布！
37
§2.5 有介质时静电场的规律
一. D的高斯定理 q0
q0E 0 qE
EE 0E
q0内
电 介
q′内
S
Eds
1
0
(
q0内
q内 )
质 S
Edl 0
L
q内 Pds
有 ： S E ds q 0 0内 1 0S SP ds 38
(0 E P ) d s q 0 内
s
令
D 0EP
D称为电位移（electric displacement）
或电感（应）强度
于是有
Ddsq0内─
D的高斯定理
+
腔内场
26
对接地导体壳而言：
腔内场
决定于内部电荷和内部几何因素及介质
与外部电荷 无关！
即
E 腔 外表 E 腔 面外 0
电量 带电体
腔外场
决定于外部电荷和外部几何条件及介质
与内部电荷 无关！
即
E 腔 内表 E 腔 面内 0
电量 带电体
27
*说明：若导体壳不接地
腔内场：特性不变；
qin
腔外场：
E腔 内 表 面 E腔 内0
4 0 R1
4
R0 2
又：此问可先求出各区E的分布，再由定义求U
UAR 1E1dr0 E2dr,课下完成
R0
R2
18
•若将B接地，各表面电荷分布
易得：B内表面电荷为 -q； B
外表面电荷为零。
Aq
-q
•若将B的地线拆掉后，再将A接 地，此时各表面电荷分布
•A接地后,电荷不再为q,设为q (待求) B •则B内表面为- q ,外表面为 -q +q •由电势叠加有
尖端放电
孤立导体
孤立带电 导体球
一般：分布复杂，满足平衡条件。
危害与应用：避雷针。
C 9
思考
1.将一带正电的导体A移近一原不带电的绝 缘导体B时，导体B的电势是升高还是降低？ 为什么？
2.空间有N个带电导体，试证其中至少存在
一个导体，其表面上各点电荷密度不异
号(可先证N = 2情形)。
10
§2.2 有导体存在时静电场场量的计算
如:水, HCl，NH3 …
2.无极分子(nonpolar molecule)：
分子电荷的正、负“重心”重合 ，无固有
电偶极矩。如：He，Ne， CH4…
31
三.极化机制
1.对位无移极极分化子（disE plac0ement
polarization） E0
p0
E
p∥E，E
p
2.对取有向极极分化子（orE ie nt0ation
2.极化体电荷：
q内 Pnds Pds
S
S
S
电 介
Δq′内
质 ΔV
l
i
mq内
=l
i
mS
Pds
V0 V V0 V
diPv P
divP称为 P的“散度”(divergence)。
在直角坐标中 P P xxP yyP zz 36
例
已知一介质球被均匀极化，极化强度为
P
求：极化电荷分布
nˆ
Q
q
0
40R 40l
Q Rq l 20
§2.3 空腔导体壳与静电屏蔽
腔外
electrostatic shielding 空腔导体壳：
①两个表面：内表面、外表面
腔内 外表面
内表面
②空间分割为腔内、腔外
讨论的问题：
1) 腔的内、外表面电荷分布特征；
2) 腔内、腔外空间电场特征。
21
一.腔内无带电体时
证明： 包围该面元作扁盒状闭合面，有
0
EdS E 表 d S 外 表 E d S
S
S d S
E表dS
dS
0
命题
得证
8
4.孤立带电导体表面电荷分布 在表面凸出的尖锐部分(曲率为正且较大)电
荷面密度较大； 在比较平坦部分(曲率较小)电荷面密度较小； 在表面凹进部分(曲率为负)带电面密度最小。
polarization） E0
P
Pθ
E
E ， p 平E 行 32
几点说明：
由于热运动，p不是都平行于 E；
有极分子也有位移极化，但在静电场中主
要是取向极化；
有极分子在高频场中，位移极化反而是主
要的。
四.极化强度（electric polarization）
定义极化强度矢量：
pi P i
V
V是宏观小、微观大的体积。
33
E不太强时，在各向同性介质内有：
P
P 0 (r 1 ) E 0e E
线性极化
e 称电极化率(polarizability)。
0
E
e r 1
e 0
在各向异性介质内，一般地说 p//E。
五.极化电荷（polarizatcon charge）
1.极化面电荷
以位移极化为例，设在电场力作用下正电 荷向电场方向移动。
5
§2.1 静电场中的导体
一.导体的静电平衡条件
1.静电平衡 electrostatic equilibrium
导体内部和表面无电荷的定向移动
2.导体静电平衡的条件 E内 0
E为总 场强！
二.静电平衡时导体的性质 1.导体上各点电势相等，
Uc
即导体是等势体，表面是等势面。
6
是 E内 0 的必然结果
仍与 1)导体壳是否带电
无关
2)腔外是否有带电体
即仍有: 在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带 （可证） 电 量 的电 体 的
实现静电“屏蔽”（之一）
保护腔内区不受外界场的影响
24
汽车是个静电屏蔽室：闪电击中汽车。 车内安然无恙！ 25
三.静电屏蔽的装置---接地导体壳 实现双向静电屏蔽： 腔内、腔外的场 互不影响！ 腔外场
理论上：Q分布确定，E、U分布亦确定。 但导体上的电荷分布不是人为规定的， 如何处理有导体存在时的静电场问题？
原则：1.静电平衡的条件
E内 0
或U c
2.静电场的基本方程
qi
S E ds
i
0
LEdl0
3.电荷守恒定律
Qi cons. t
i
11
例1 已知： （不计边缘效应）
面电荷密度为0 的均匀带电无限大平板旁，