湖北省襄阳市东风中学2024届高考全国卷信息归集与高考命题预测数学试题

湖北省襄阳市东风中学2024届高考全国卷信息归集与高考命题预测数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前2020项和为（ ）
A ．
1011
2020
B ．
2019
2020
C ．
2020
2021
D ．
1010
2021
2．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2
f x x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点
1212,22x x x x f ⎛++⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数
D ．不存在满足条件的实数a ，b
3．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
4．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；④tan 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③
5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学
成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）
A ．22(3)2x y -+=
B ．22(3)8x y -+=
C ．22(3)2x y ++=
D ．22(3)8x y ++=
7．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧
⎫
∈+
≥-+⎨⎬⎩⎭
，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．2e
⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝⎭
B ．,)e +∞
C ．,)e +∞
D ．2e
⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭
8．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +
B ．13i -
C ．13i -+
D ．13i --
9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
10．函数()
sin x y x
-=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）． A ．(1)k n k -+
B ．(1)k n k --
C ．()n n k -
D ．()k n k -
12．若双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．
5
2
C ．
102
D ．23
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________.
14．若椭圆C ：22
211
x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为_______．
15．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_________.①()f x 是周期函数；②()f x 的对称轴方程为4k x π=
，k ∈Z ；③()f x 在区间3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上为增函数；④方程()65f x =在区间3,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
有6个根. 16．如图梯形ABCD 为直角梯形，,AB AD CD AD ⊥⊥，图中阴影部分为曲线2y x 与直线2x x =+围成的平面图形，
向直角梯形ABCD 内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直
角坐标系，曲线C 的参数方程为3cos ,
1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩
（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.
18．（12分）已知椭圆22
:143
x y C +=的右顶点为D ，E 为上顶点，点A 为椭圆C 上一动点．
（1）若DE AE ⊥，求直线AD 与y 轴的交点坐标；
（2）设F 为椭圆C 的右焦点，过点()4,0M 与x 轴垂直的直线为0l ，FM 的中点为N ，过点A 作直线0l 的垂线，垂足为B ，求证：直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．
19．（12分）已知椭圆E ：22
221x y a b
+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、
D 两点（异于A 、B 两点），当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1． （1）求椭圆的方程；
（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 20．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面BCE ，若2
BCE π
∠=，四边形ABCD 是平行四边形，
且AE BD ⊥.
（Ⅰ）求证：AB AD =；
（Ⅱ）若点F 在线段AE 上，且//EC 平面BDF ，60BCD ∠=︒，BC CE =，求二面角A BF D --的余弦值. 21．（12分）设函数()3f x x =+，()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；
（2）若2()()4f x g x ax +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围.
22．（10分）在直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上且
2MF x ⊥轴，直线1MF 交y 轴于H 点，24OH =
C 的离心率为
2
2
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且满足2OA OB BA OB +=-，求ABO ∆的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解题分析】
由题意，设每一行的和为i c ，可得11...(21)i i i n i c a a a n n i ++-=+++=++，继而可求解
2
12...2(1)n n b c c c n n =+++=+，表示12(1)
n n b n n =+，裂项相消即可求解. 【题目详解】
由题意，设每一行的和为i c 故111()...(21)2
i n i i i i n i a a n
c a a a n n i +-++-+=+++=
=++
因此：2
12...[(3)(5)...(21)]2(1)n n b c c c n n n n n n n =+++=+++++++=+
1111()2(1)21
n n b n n n n ==-++ 故202011111111(1...)(1)22232020202122021S =-+-++-=-=10102021
故选：D 【题目点拨】
本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 2．A 【解题分析】
求得()f x 的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得0a =，b 为任意非零实数. 【题目详解】 依题意(
)'
2f
x bx =
+，()y f x =在点1212,2
2x x
x x f ⎛++⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线与直线AB 平行，即有
(
)
12
21
b x x
++=
()
12
21
a
b x x
x x
=++
-
=，由于对任意
12
,x x上式都成立，可得0
a=，b为非零实数.
故选：A
【题目点拨】
本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．
3．A
【解题分析】
可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.
【题目详解】
由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，
丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；
假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，
乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，
所以可以断定值班人是甲.
故选：A.
【题目点拨】
本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.
4．A
【解题分析】
逐一考查所给的函数：
cos2cos2
y x x
==，该函数为偶函数，周期2
2
T
π
π
==；
将函数cos
y x
=图象x轴下方的图象向上翻折即可得到cos
y x
=的图象，该函数的周期为
1
2
2
ππ
⨯=；
函数cos2
6
y x
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
的最小正周期为
2
2
T
π
π
==；
函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
5．C 【解题分析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【题目详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高
分，平均成绩为低于
分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 6．A 【解题分析】
计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为2r =.
【题目详解】
AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22
2222
2
AB
r +==
=， 圆方程为2
2
(3)2x y -+=. 故选：A . 【题目点拨】
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 7．D 【解题分析】
先构造函数()()2
12
T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【题目详解】
构造函数()()2
12
T x f x x =-
， 因为()()2
f x f x x -+=， 所以()()()()()()()2
2211022
T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=， 所以()T x 为奇函数，
当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(]
,0-∞上单调递减， 所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()01
12x x f x f x x ⎧⎫∈+
≥-+⎨⎬⎩⎭
， 所以()()0001
12
f x f x x +
≥-+， 所以()()()2
20000011111222
T x x T x x x ++≥-+-+，
化简得()()001T x T x ≥-， 所以001x x ≤-，即01
2
x ≤
令()()12x
h x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤
⎪⎝
⎭
， 因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点， 所以()h x 在1
2
x ≤
时有一个零点 因为当1
2
x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，
所以函数()h x 在1
2
x ≤时单调递减，
由选项知0a >，10
2<<，
又因为0h e
a e
⎛=-=> ⎝
，
所以要使()h x 在1
2
x ≤
时有一个零点，
只需使102h a ⎛⎫
=≤ ⎪
⎝⎭，解得a ≥
所以a 的取值范围为⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
，故选D. 【题目点拨】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 8．B 【解题分析】
先根据复数的乘法计算出z ，然后再根据共轭复数的概念直接写出z 即可. 【题目详解】
由()()1213z i i i =++=+，所以其共轭复数13z i =-. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易. 9．C 【解题分析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值. 【题目详解】
由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ，2233,1a a ==.
故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题. 10．A 【解题分析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【题目详解】
分析知，函数()
sin x y x
-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，
当x π=时，sin 0x
x
=，排除D ， 故选：A ．
【题目点拨】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论． 11．D 【解题分析】
根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【题目详解】
解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2
n k k
n n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，
需要卸下(1)
123(1)2
k k k ⨯-+++⋯⋯-=件邮件， 则(21)(1)
()22
k n k k k k a k n k --⨯⨯-=
-=-，
故选：D ． 【题目点拨】
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题． 12．B 【解题分析】
由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合222c a b =+，构造齐次关系即得解 【题目详解】
双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直．
∴双曲线的渐近线方程为1
2
y x =±
． 1
2b a ∴=，得2222214,4
b a
c a a =-=．
则离心率c e a ==
． 故选：B 【题目点拨】
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
920
【解题分析】
先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型求解． 【题目详解】
6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共有
3
620n C ==个，
甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：21212
232339m C C C C C =++=个，
所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为920
m p n ==. 故答案为：
920
【题目点拨】
本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
14．【解题分析】
由焦点坐标得211m m --=从而可求出2m =，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长. 【题目详解】
解：因为一个焦点坐标为()0,1，则211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-
由22211
x y m m +=-表示的是椭圆，则0m >，所以2m =，则椭圆方程为22132y x +=
所以a a =
=
故答案为:【题目点拨】
本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略0m >，从而未对m 的两个值进行取舍. 15．①②④ 【解题分析】
由函数()sin cos f x x x =+=
=.
【题目详解】
函数()()2
sin cos sin cos 1sin 2f x x x x x x =+=
+=+，
()f x ∴是周期函数，最小正周期为
2
π
，故①正确； 当sin 21x =±或sin 20x =时，()f x 有最大值或最小值，此时22
x t π
π=+
或2,x t t Z π=∈，即24
t x ππ=
+或,2t x t Z π=
∈，即,4
k x k Z π=∈. ()f x ∴的对称轴方程为4k x π
=，k ∈Z ，故②正确；
当3,44x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，2,232x ππ
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，此时sin 2y x =在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,24ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，()f x ∴在区间3,44
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上不是增函数，故③错误； 作出函数()f x 的部分图象，如图所示
∴方程()65f x =
在区间3,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
有6个根，故④正确. 故答案为：①②④. 【题目点拨】
本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题. 16．
3
5
【解题分析】
联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCD S ，最后根据几何概型的概率公式计算可得； 【题目详解】
解：联立22
y x y x ⎧=⎨=+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩或1
1x y =-⎧⎨=⎩，即(2,4)B ，(1,1)C -，(1,0)D -，(2,0)A ，
()2
2
232
1
1
119
2223
2
S x x dx x x x --⎡⎤∴=+-=+-=
⎣⎦⎰阴影，()11514322ABCD S =+⨯⨯= 9
3
21552
ABCD
S P S ∴=
==阴影
故答案为：
35
【题目点拨】
本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(0,0) 【解题分析】
将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程分别化为直角坐标方程,联立直角坐标方程求出交点坐标,结合x 的取值范围进行取舍即可. 【题目详解】
因为直线l 的极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈，
所以直线l
的普通方程为y =，
又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos 2x y α
α=⎧⎨=+⎩
（α为参数），
所以曲线C 的直角坐标方程为[]()2
12,22
y x x =
∈-，
联立方程2
12y y x
⎧=⎪
⎨=⎪⎩
,解得00x y =⎧⎨=⎩
或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 因为22x -≤≤
，所以6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
舍去，
故P 点的直角坐标为(0,0). 【题目点拨】
本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化;考查运算求解能力;熟练掌握极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
18．（1
）0,7⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
（2）见解析
【解题分析】
（1）直接求出直线AE 方程，与椭圆方程联立求出A 点坐标，从而可得直线AD 方程，得其与y 轴交点坐标； （2）设00(,)A x y ，则0(4,)B y ，求出直线BN 和AF 的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分01x =和01x ≠说明． 【题目详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合， （1）由题知()2,0D
，(E
，则2DE k =-
．因为DE AE ⊥
，所以3
AE k =， 则直线AE
的方程为y x =+
22
14
3y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，可得482525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
故48,25A ⎛- ⎝⎭
．则254814225
DA k ==+，直线AD
的方程为2)y x =-．令0x =，
得7y =-，故直线AD 与y
轴的交点坐标为0,⎛ ⎝⎭
． （2）证明：因为(1,0)F ，(4,0)M ，所以5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．设点()00,A x y ，则()04,B y ． 设
当01x =时，设31,
2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则34,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，此时直线AF 与x 轴垂直，
其直线方程为1x =，
直线BN 的方程为3
5205242
y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，即52y x =-． 在方程52y x =-中，令1x =，得32y =-，得交点为31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭，显然在椭圆C 上．
同理当31,2A ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
时，交点也在椭圆C 上． 当01x ≠时，可设直线BN 的方程为
055242
y y x ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭-，即02532y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
． 直线AF 的方程为0
0(1)1y y x x =--，联立方程00
02532(1)1
y y x y y x x ⎧⎛⎫
=- ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎪=
-⎪-⎩
，
消去y 得
00025(1)321
y y x x x ⎛⎫
-=- ⎪-⎝⎭，化简并解得005825x x x -=-． 将005825x x x -=
-代入00(1)1
y y x x =--中，化简得00325y y x =-．
所以两直线的交点为0000583,2525x y x x ⎛⎫
-
⎪--⎝⎭
．
因为2
2
000058311425325x y x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
()
()
()
22
22000
000
2
2
2
000258064
32580641242525425x x y x x y x x x -+-++=
+
=
---，
又因为22
00143
x y +=，所以22
004123y x =-，
则
()
()
()()
2
22
2
0000
002
2
2
000252580641242025
14252525x x x y x x x x x --++-+=
==---，
所以点0000583,2525x y x x ⎛⎫
-
⎪--⎝⎭
在椭圆C 上．
综上所述，直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上． 【题目点拨】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．
19．（1）22
143
x y +=
（2）是为定值，Q 的横坐标为定值4-
（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及222a b c =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-. 【题目详解】
（1）依题意可知212262b a a
⨯⋅=，解得2
3
b =，
即b =而12e =，即2a c =，结合222a b c =+解得2a =，1c =，因此椭圆方程为22
143
x y +=
（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ． 由221,3412,x my x y =-⎧⎨
+=⎩
消去x 并整理得()22
34690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122
934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122
y y x x =
++，直线BD 的方程为：()2222y
y x x =--．
联系方程，解得1221
12
4263my y y y x y y +-=
+，又因为()121223my y y y -=+．
所以()122112
1212
626124433y y y y y y x y y y y -++---=
==-++．所以Q 的横坐标为定值4-． 【题目点拨】
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 20．
【解题分析】
（Ⅰ）推导出BC ⊥CE ,从而EC ⊥平面ABCD ,进而EC ⊥BD ，再由BD ⊥AE ，得BD ⊥平面 AEC ,从而BD ⊥AC ,进而四边形ABCD 是菱形，由此能证明AB =AD .
（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为G ,推导出EC // FG ,取BC 的中点为O ,连结OD ,则OD ⊥BC ,以O 为坐标原点，以过点O 且与CE 平行的直线为x 轴，以BC 为y 轴，OD 为z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A -BF -D 的余弦值.
（Ⅰ）证明：2
BCE π
∠=
，即BC CE ⊥，
因为平面ABCD ⊥平面BCE ， 所以EC ⊥平面ABCD ， 所以EC BD ⊥， 因为BD AE ⊥， 所以BD ⊥平面AEC ， 所以BD AC ⊥，
因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以四边形ABCD 是菱形， 故AB AD =；
解法一：（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为G ， 因为//EC 平面BDF ， 平面AEC
平面BDF 于FG ，
所以//EC FG ， 因为G 是AC 中点， 所以F 是AE 的中点， 因为60BCD ∠=︒，
取BC 的中点为O ，连接OD ， 则OD
BC ，
因为平面ABCD ⊥平面BCE ， 所以OD ⊥面BEC ，
以O 为坐标原点，以过点O 且与CE 平行的直线为x 轴，以BC 所在直线为y 轴，以OD 所在直线为z 轴建立空间直角
坐标系.不妨设2AB =，则()0,1,0B -
，(0,A -
，(D
，11,2F ⎛- ⎝⎭
，11,2BF ⎛= ⎝⎭
，(0,BA =-
，(BD =，
设平面ABF 的法向量()1111,,n x y z =，
则11
11
11020
x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩
，取()
13,n =-，
同理可得平面DBF 的法向量()20,3,1n =-， 设平面ABF 与平面DBF 的夹角为θ， 因为121212
27cos ,727
n n n n n n ⋅=
=
=
⋅， 所以二面角A BF D --的余弦值为
77
.
解法二：（Ⅱ）设AC 与BD 的交点为G ， 因为//EC 平面BDF ，平面AEC 平面BDF 于FG ，
所以//EC FG ， 因为G 是AC 中点， 所以F 是AE 的中点， 因为AC BD ⊥，AC FG ⊥， 所以AC ⊥平面BDF ， 所以AC BF ⊥，
取BF 中点H ，连接GH 、AH ， 因为FG BG =， 所以GH BF ⊥， 故BF ⊥平面AHG ，
所以AH BF ⊥，即AHG ∠是二面角A BF D --的平面角， 不妨设2AB =， 因为3AG =
2
2
GH =
， 在Rt AGH ∆中，tan 6AHG ∠=
所以7cos AHG ∠=
A BF D --7
.
【题目点拨】
本题考查求空间角中的二面角的余弦值，还考查由空间中线面关系进而证明线线相等，属于中档题. 21． (1)2
(,)(4,)3
-∞-⋃+∞；(2)(1,4].- 【解题分析】 试题分析：
（1）将绝对值不等式两边平方，化为二次不等式求解．（2）将问题化为分段函数问题，通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可． 试题解析：
()1321,x x +<-由已知，可得
22
321.x x +<-即
整理得2
31080,x x --> 解得2
4.3
x x -
或 ()2,4,.3⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭故所求不等式的解集为
()()()()45,3,1
2223217,3,2145,.2x x h x f x g x x x x x x ⎧
⎪--≤-⎪
⎪=+=++-=-<<⎨⎪
⎪
+≥⎪⎩
由已知，设
①3454,x x ax ≤--->+当时，只需恒成立
49,ax x <--即
30x ≤-<，
499
4.x a x x
--∴>
=--恒成立 max 94,a x ⎛
⎫∴>-- ⎪⎝⎭
1,a ∴>-
②1
374,2
x
ax -<+当时，只需恒成立 30.ax -<即恒成立
330,1302
a a --≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩只需
解得1 6.a -≤≤ ③1
454,2
x x ax ≥
+>+当时，只需恒成立 4 1.ax x <+即
1
0,2x ≥
> 4114.x x a x +∴<=+恒成立
1
44x +>,且无限趋近于4，
4.a ∴≤
综上a 的取值范围是(]
1,4.-
22．（1）2212x y +=；
（2）
5
. 【解题分析】
（1）根据离心率以及22MF OH =，即可列方程求得,,a b c ，则问题得解；
（2）设直线方程为1x my =-，联立椭圆方程，结合韦达定理，根据题意中转化出的0OA OB ⋅=，即可求得参数m ，则三角形面积得解. 【题目详解】
（1）设2(,0)F c ，由题意可得222
221,M x y b y a b a
+==±
.
因为OH 是12F F M ∆
的中位线，且OH =
所以2||MF =
22
b a =，
因为2222
c e a b c a ===+ 进而得221,2b a ==， 所以椭圆方程为2
212
x y += （2）由已知得22OA OB OA OB +=-两边平方 整理可得0OA OB ⋅=.
当直线l 斜率为0时，显然不成立.
直线l 斜率不为0时，
设直线l 的方程为11221.(,).(,)x my A x y B x y =-，
联立22112
x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(2)210m y my +--=， 所以12122221,22
m y y y y m m -+==++， 由0OA OB ⋅=得12120x x y y +=
将11221,1=-=-x my x my 代入
整理得1212(1)(1)0my my y y --+=，
展开得2121212()10m y y m y y y y -+++=
， 整理得2
m =±，
所以11212ABO S OF y y ∆=
-=即为所求. 【题目点拨】
本题考查由离心率求椭圆的方程，以及椭圆三角形面积的求解，属综合中档题.。