陕西省西工大附中高三数学上学期第二次适应性训练试题 理(含解析)北师大版
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（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．
19．（本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ， ，且 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和公式.
20．（本小题满分13分)已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点．
（Ⅰ）若 ，求直线 的斜率；
（Ⅱ）设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值．
取得最大值 ．∴ ， 等价于 ．
故当 ， 时， 的取值范围是 ．…………………(12分)
17.（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）证明：因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
因为 为矩形，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
又 ，且 ， 平面 ，
所以平面 //平面 ．又 平面 ，
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
18．（本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙能答对其中的 道题．规定每次考试都从备选的 道题中随机抽出 道题进行测试，答对一题加 分，答错一题（不答视为答错）减 分，至少得 分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 ．
设 ， ，
所以 ， ．①
因为 ，
所以 ．②
联立①和②，消去 ，得 ．
所以直线 的斜率是 ．………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的距离相等，
所以四边形 的面积等于 ．
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7D
A
C
A
B
D
D
C
C
A
二、填空题:
11．6；12． ；13．45°；14．―4．
15．A ；B．1；C． ．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ） ．……………………(5分)
（Ⅱ）
．……………………………………………………(9分)
∵ ，∴ ，∴当 ，即 时，
4．若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正视图可知：三棱柱的底面边长为2，高为1，所以它的体积为 。
5.已知 和 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 的是（）
A． ，且 B． ∥ ，且
C． ，且 ∥ D． ，且 ∥
【答案】B
【解析】A． ，且 ，错误，只有m垂直α与β的交线时，才能得到 ；
B． ∥ ，且 ，正确这是线面垂直的性质定理；
C． ，且 ∥ ，错误，m与β可能平行，可能相交，m可能在平面β内；
D． ，且 ∥ ，错误，n与β可能平行，也可能在平面β内。
6.若 是 和 的等比中项，则圆锥曲线 的离心率为（）
【答案】D
【解析】因为集合P= ， ，所以 。
2．已知方程 有实根 ，且 ，则复数 等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程 有实根 ，所以 ，所以 ，所以 = 。
3．若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因为 ，所以 ，所以 ，所以 与 的夹角为 。
所以 平面 ．………………………………(5分)
（Ⅱ）解：由已知平面 平面 ，且平面 平面 ， ，
所以 平面 ，又 ，故以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系 .
由已知得 ，易得 ， ．
则 ， ， ．
， ．
设平面 的法向量 ，则
即 令 ，则 ， ． ．
又 是平面 的一个法向量，
所以 ．
故所求二面角 的余弦值为 ．……………………………………(12分)
②当 时， 在 上递增，在 上递减， ，令 ，得 ………………………………（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当 时， ，∴| |≥1，
又令 ， ， ，∴方程无解．……（14分）
由图知：函数 的单调递增区间是 和 。
9．若整数 满足 ，则 的最大值是（）
A．1 B．2 C．5 D．6.5
【答案】C
【解析】画出线性约束条件 的可行域，由可行域知目标函数 过点 时取最大值，所以最大值为5.
10．为了得到函数 的图象，可将函数 的图象上所有的点的（）
A．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
。
15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
A（不等式选做题）若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是；
【答案】
【解析】设 ，有几何意义知 的最小值为 ，又因为存在实数x满足 ，所以只要2大于等于f（x）的最小值即可．即 2，解得： ∈ ，所以a的取值范围是 ．故答案为： ．
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练数学（理科）
第Ⅰ卷选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合P= , ,则 ( )
A．(0,2),(1,1) B．{1,2} C．{(0,2),(1,1)} D．
B．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C．横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
D．横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
【答案】A
【解析】因为 ，所以为了得到函数 的图象，可将函数 的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度，因此选A。
18．（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）设乙答题所得分数为 ，则 的可能取值为 ．
； ；
； ．
乙得分的分布列如下：
………………(6分)
．
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对 题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 .
则 ，
．
故甲乙两人至少有一人入选的概率
．………………………………………………(12分)
19.（本小题满分12分）
【答案】
【解析】要使 的面积大于 ，需满足点P到AB的距离大于1,且点P在正方形 内，即点P应在四边形EFCD内，所以概率为 。
13．在△ 中， ， ， ，则 ____；
【答案】
【解析】在△ 中，由正弦定理得： ，因为BC>AC，所以A>B，所以 。
14．若 ，则 ；
【答案】―4
【解析】因为 ，所以
21．（本小题满分14分)已知函数 ，其中 为常数，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当 时，求 的最大值；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值；
（Ⅲ）当 时，判断方程 是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练
数学（理科）参考答案与评分标准
【解】：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 .
因为 ，
所以 .①
因为 成等比数列，
所以 .②
由①，②可得： .
所以 .…………………………………………………………(6分)
（Ⅱ）由 可知：
所以
所以
.
所以数列 的前 项和为 .……………………（12分）
20.（本小题满分13分）
【解】：（Ⅰ）依题意 ，设直线 方程为 ．
（注：标准差 ，其中 为 的平均数）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】 ， ， ， ，所以 ， ，因此选C。
8．已知函数 的定义域为 ，则函数 的单调递增区间是（）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】由 ，所以还是 的定义域为 ，根函数 的图像和偶函数的性质，画出函数 的图像：
【答案】
【解析】因为 ， ， ，所以圆的半径为3，所以PO=5，连接OC，在三角形POC中， ，即 ，所以 。
三．解答题（共6个小题，共75分）
16（本小题满分12分)已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围．
17．（本小题满分12分)如图,矩形 所在的平面与直角梯形 所在的平面互相垂直， ∥ , ，且 ， ， ， ．
第Ⅱ卷非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）
11．已知 .且数列 是一个单调递增数列，则 的最大值是；
【答案】6
【解析】因为 ，又 中最大的为 ，即 ，所以若数列 是一个单调递增数列，则 的最大值是6。
12．在面积为9的正方形 内部随机取一点 ，则能使 的面积大于 的概率是；
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】因为 是 和 的等比中项，所以 ，所以 。当 时，圆锥曲线 为焦点在y轴上的椭圆，所以圆锥曲线 的离心率为 ；当 时，圆锥曲线 为焦点在x轴上的双曲线，所以圆锥曲线 的离心率为 ，因此选D。
7．右图是两组各 名同学体重（单位： ）数据的茎叶图．设 ， 两组数据的平均数依次为 和 ，标准差依次为 和 ，那么（）
B（坐标系与参数方程）曲线 与 交点的个数为：；
【答案】1
【解析】方程 表示在直线y=1上只取 的部分，表示的图形实质上是两条射线。把方程 转化为直角坐标方程为 ，表示以 为圆心，以 为半径的圆，画出射线和圆的图像，易知它们有一个交点。
C．如图，直线 与圆 相切于点 ，割线 经过圆心 ，弦 ⊥ 于点 ， ， ，则 ．
因为 ，
所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 ，………………………（13分）
21．（本小题满分14分）
【解】：（Ⅰ）当 时， ，
当0<x<1时， >0；当x>1时。 <0，∴ 是 在定义域 上唯一的极（大）值点，则 …………………………………（4分）
（Ⅱ）∴ ， ，
①当 时， ≥0，从而 在 上单调递增，∴ 舍；
19．（本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列 的前 项和为 ， ，且 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和公式.
20．（本小题满分13分)已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点．
（Ⅰ）若 ，求直线 的斜率；
（Ⅱ）设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值．
取得最大值 ．∴ ， 等价于 ．
故当 ， 时， 的取值范围是 ．…………………(12分)
17.（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）证明：因为 // ， 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
因为 为矩形，所以 // ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
又 ，且 ， 平面 ，
所以平面 //平面 ．又 平面 ，
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
18．（本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 ，乙能答对其中的 道题．规定每次考试都从备选的 道题中随机抽出 道题进行测试，答对一题加 分，答错一题（不答视为答错）减 分，至少得 分才能入选．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 ．
设 ， ，
所以 ， ．①
因为 ，
所以 ．②
联立①和②，消去 ，得 ．
所以直线 的斜率是 ．………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的距离相等，
所以四边形 的面积等于 ．
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7D
A
C
A
B
D
D
C
C
A
二、填空题:
11．6；12． ；13．45°；14．―4．
15．A ；B．1；C． ．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ） ．……………………(5分)
（Ⅱ）
．……………………………………………………(9分)
∵ ，∴ ，∴当 ，即 时，
4．若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正视图可知：三棱柱的底面边长为2，高为1，所以它的体积为 。
5.已知 和 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 的是（）
A． ，且 B． ∥ ，且
C． ，且 ∥ D． ，且 ∥
【答案】B
【解析】A． ，且 ，错误，只有m垂直α与β的交线时，才能得到 ；
B． ∥ ，且 ，正确这是线面垂直的性质定理；
C． ，且 ∥ ，错误，m与β可能平行，可能相交，m可能在平面β内；
D． ，且 ∥ ，错误，n与β可能平行，也可能在平面β内。
6.若 是 和 的等比中项，则圆锥曲线 的离心率为（）
【答案】D
【解析】因为集合P= ， ，所以 。
2．已知方程 有实根 ，且 ，则复数 等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为方程 有实根 ，所以 ，所以 ，所以 = 。
3．若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因为 ，所以 ，所以 ，所以 与 的夹角为 。
所以 平面 ．………………………………(5分)
（Ⅱ）解：由已知平面 平面 ，且平面 平面 ， ，
所以 平面 ，又 ，故以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系 .
由已知得 ，易得 ， ．
则 ， ， ．
， ．
设平面 的法向量 ，则
即 令 ，则 ， ． ．
又 是平面 的一个法向量，
所以 ．
故所求二面角 的余弦值为 ．……………………………………(12分)
②当 时， 在 上递增，在 上递减， ，令 ，得 ………………………………（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当 时， ，∴| |≥1，
又令 ， ， ，∴方程无解．……（14分）
由图知：函数 的单调递增区间是 和 。
9．若整数 满足 ，则 的最大值是（）
A．1 B．2 C．5 D．6.5
【答案】C
【解析】画出线性约束条件 的可行域，由可行域知目标函数 过点 时取最大值，所以最大值为5.
10．为了得到函数 的图象，可将函数 的图象上所有的点的（）
A．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
。
15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
A（不等式选做题）若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是；
【答案】
【解析】设 ，有几何意义知 的最小值为 ，又因为存在实数x满足 ，所以只要2大于等于f（x）的最小值即可．即 2，解得： ∈ ，所以a的取值范围是 ．故答案为： ．
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练数学（理科）
第Ⅰ卷选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合P= , ,则 ( )
A．(0,2),(1,1) B．{1,2} C．{(0,2),(1,1)} D．
B．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C．横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
D．横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
【答案】A
【解析】因为 ，所以为了得到函数 的图象，可将函数 的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度，因此选A。
18．（本小题满分12分）
【解】：（Ⅰ）设乙答题所得分数为 ，则 的可能取值为 ．
； ；
； ．
乙得分的分布列如下：
………………(6分)
．
（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对 题才能入选，记甲入选为事件 ，乙入选为事件 .
则 ，
．
故甲乙两人至少有一人入选的概率
．………………………………………………(12分)
19.（本小题满分12分）
【答案】
【解析】要使 的面积大于 ，需满足点P到AB的距离大于1,且点P在正方形 内，即点P应在四边形EFCD内，所以概率为 。
13．在△ 中， ， ， ，则 ____；
【答案】
【解析】在△ 中，由正弦定理得： ，因为BC>AC，所以A>B，所以 。
14．若 ，则 ；
【答案】―4
【解析】因为 ，所以
21．（本小题满分14分)已知函数 ，其中 为常数，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当 时，求 的最大值；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值；
（Ⅲ）当 时，判断方程 是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练
数学（理科）参考答案与评分标准
【解】：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 .
因为 ，
所以 .①
因为 成等比数列，
所以 .②
由①，②可得： .
所以 .…………………………………………………………(6分)
（Ⅱ）由 可知：
所以
所以
.
所以数列 的前 项和为 .……………………（12分）
20.（本小题满分13分）
【解】：（Ⅰ）依题意 ，设直线 方程为 ．
（注：标准差 ，其中 为 的平均数）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】 ， ， ， ，所以 ， ，因此选C。
8．已知函数 的定义域为 ，则函数 的单调递增区间是（）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】由 ，所以还是 的定义域为 ，根函数 的图像和偶函数的性质，画出函数 的图像：
【答案】
【解析】因为 ， ， ，所以圆的半径为3，所以PO=5，连接OC，在三角形POC中， ，即 ，所以 。
三．解答题（共6个小题，共75分）
16（本小题满分12分)已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若对于任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围．
17．（本小题满分12分)如图,矩形 所在的平面与直角梯形 所在的平面互相垂直， ∥ , ，且 ， ， ， ．
第Ⅱ卷非选择题（共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）
11．已知 .且数列 是一个单调递增数列，则 的最大值是；
【答案】6
【解析】因为 ，又 中最大的为 ，即 ，所以若数列 是一个单调递增数列，则 的最大值是6。
12．在面积为9的正方形 内部随机取一点 ，则能使 的面积大于 的概率是；
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】因为 是 和 的等比中项，所以 ，所以 。当 时，圆锥曲线 为焦点在y轴上的椭圆，所以圆锥曲线 的离心率为 ；当 时，圆锥曲线 为焦点在x轴上的双曲线，所以圆锥曲线 的离心率为 ，因此选D。
7．右图是两组各 名同学体重（单位： ）数据的茎叶图．设 ， 两组数据的平均数依次为 和 ，标准差依次为 和 ，那么（）
B（坐标系与参数方程）曲线 与 交点的个数为：；
【答案】1
【解析】方程 表示在直线y=1上只取 的部分，表示的图形实质上是两条射线。把方程 转化为直角坐标方程为 ，表示以 为圆心，以 为半径的圆，画出射线和圆的图像，易知它们有一个交点。
C．如图，直线 与圆 相切于点 ，割线 经过圆心 ，弦 ⊥ 于点 ， ， ，则 ．
因为 ，
所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 ，………………………（13分）
21．（本小题满分14分）
【解】：（Ⅰ）当 时， ，
当0<x<1时， >0；当x>1时。 <0，∴ 是 在定义域 上唯一的极（大）值点，则 …………………………………（4分）
（Ⅱ）∴ ， ，
①当 时， ≥0，从而 在 上单调递增，∴ 舍；