小学奥数之牛吃草问题(含答案)

小学奥数之牛吃草问题(含答案)
英国著名数学家XXX曾经提出了一个著名的数学问题，
即“牛吃草问题”，也可以称之为追及问题或者工程问题。

它的具体形式是：在一个牧场上，有一片青草，每天都以相同的速度生长。

这片青草可以供给10头牛吃22天，或者供给16头
牛吃10天。

那么，如果供给25头牛吃，它可以维持多少天呢？
解决这个问题的关键在于找到一些不变的量。

首先，我们需要计算出每天新长出的草的数量，然后再计算出牧场上原有的草的数量。

接着，我们可以计算出每天实际消耗的草量，最后就可以得出可以供25头牛吃的天数。

具体而言，通过比较10头牛22天吃的总量和16头牛10
天吃的总量，我们可以得到每天新长出的草的数量。

然后，我们可以将25头牛分成两部分，一部分吃新长出的草，另一部
分吃原有的草，从而计算出可以供25头牛吃的天数。

除了这个经典的牛吃草问题，还有一些类似的问题，比如在一个牧场上，一堆草可以供10头牛吃3天，那么这堆草可
以供6头牛吃几天呢？这个问题相对简单，我们可以通过简单的计算得到答案为5天。

但是，如果我们把“一堆草”换成“一
片正在生长的草地”，问题就变得更加复杂了，因为草每天都
在生长，草的数量在不断变化。

这种工作总量不固定的问题就是牛吃草问题。

小军家有一片牧场，上面长满了草。

这片牧场可供10头
牛吃20天，也可供12头牛吃15天。

如果小军家养了24头牛，那么这些牛可以吃多少天呢？我们可以通过已知的两种情况来计算出每天新长出的草量，即每天5头牛的草量。

这样，我们就可以算出原有的草量是100份，每天新长出的草量是5份。

当有25头牛时，其中有5头牛专吃新长出来的草，剩下的20
头牛吃原有的草。

这些牛吃完草需要5天。

因此，这片草地可供25头牛吃5天。

在这个例子中，我们需要注意以下三点：1）每天新长出
的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的；2）在已知的两种情况中，任选一种，假
定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量；3）在所求的问题中，让几
头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。

另一个例子是一个牧场，可供58头牛吃7天，或者可供
50头牛吃9天。

如果草的生长量每天相等，每头牛的吃草量
也相等，那么，这片牧场可以供多少头牛吃6天呢？通过计算，我们可以得出每天新长出的草量是22份。

这样，我们就可以
算出原有的草量是252份。

当有56头牛时，其中有6头牛专
吃新长出来的草，剩下的50头牛吃原有的草。

这些牛吃完草
需要6天。

因此，这片草地可供56头牛吃6天。

求牛速问题
要求牛速就是要求出路程差除以追及时间再加上草速。

根据公式252÷6＋22=64(头)，可以得出需要64头牛。

草地上的草可供多少头牛吃10天？
由于天气越来越冷，牧场上的草不仅不长，反而在以固定速度减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供
15头牛吃6天。

根据例1的方法，可以求出每天减少的草量
和原有的草量。

假设1头牛1天吃1份草，20头牛5天吃100份草，15头牛6天吃90份草，100-90=10（份），说明寒冷使牧场每天减少10份青草，相当于10头牛在吃草。

因此，牧场原有草（20＋10）×5＝150（份）。

由此可知，牧场原有草可供15头牛吃10天，因为寒冷相当于占去了10头牛，所以可供5头牛吃10天。

出水管和进水管问题
一个水池有一个进水管和三个同样的出水管。

先打开进水管，等水池存了一些水后再打开出水管。

如果同时打开2个出水管，8分钟后水池会被排空；如果同时打开3个出水管，5分钟后水池会被排空。

那么出水管比进水管晚开多少分钟？
进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，因此可以将其视为牛吃草问题。

出水管排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。

因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。

设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出
水管8分钟所排的水是2×8＝16份，3个出水管5分钟所排的
水是3×5＝15份，这两次排出的水量都包括原有水量和从开
始排水至排空这段时间内的进水量。

两者相减就是在8-5=3分
钟内所放进的水量，因此每分钟的进水量是(16-15)/3=1/3份。

假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水，两相抵消，其余
的出水管排原有的水，可以求出原有水的水量为(2-
1/3)×8=40/3份或(3-1/3)×5=40/3份。

因此，出水管比进水管晚
开了40/3分钟。

1/5 - 2/15 = 1/15
因此，每个进水管和排水管的效率都是1/15.
要在2小时内将水池注满，相当于进水管和排水管的效率之和为1/2，设需要x个进水管，则有：
x/15 + 1/15 = 1/2
化XXX：x = 8.5
因此，至少要打开9个进水管才能在2小时内将水池注满。

反思：这道题既可以用代数解法，也可以用牛吃草问题的思路来解决。

不同的解法可以帮助学生更好地理解问题，提高解决问题的能力。

4×1/15 - 1/5 = 1/15 或者 2×1/15 - 1/15 = 1/15，这是一个简
单的数学问题。

现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要
打开多少个进水管？通过计算（1/2 + 1/15）÷ 1/15 = 8.5（个），我们可以得出答案。

例6中，自动扶梯以均匀速度由下往上行驶。

两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分
钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6
分钟到达楼上。

问：该扶梯共有多少级？我们可以将这个问题看作牛吃草问题。

上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。

男孩5分钟走了20×5 = 100（级），女孩6分钟走了15×6 = 90（级），女
孩比男孩少走了100-90 = 10（级），多用了6-5 = 1（分），
说明电梯1分钟走10级。

由男孩5分钟到达楼上，他上楼的
速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5 = 150（级）。

例7中，某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开
7个检票口，那么需多少分钟？我们可以将这个问题看作牛吃
草问题。

旅客总数由两部分组成：一部分是前已经在排队的原
有旅客，另一部分是后新来的旅客。

设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5
个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新
来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。

假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

同时打开7
个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。

有三块草地，分别为5、6和8公顷。

这些草地上的草一
样厚，生长速度一样快。

第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

现在问：第三块草地可供19
头牛吃多少天？
为了解决这个问题，我们需要将三块草地的面积统一起来。

将三块草地的面积相乘，得到120公顷。

因为5公顷草地可供11头牛吃10天，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天；同样地，因为6公顷草地可供12头牛吃14天，所
以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。

最后，我
们可以通过120÷8＝15来计算第三块草地可供多少头牛吃多少
天。

因为草地面积相同，所以我们可以将原问题转化为：“一
块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃
14天，那么可供285头牛吃几天”。

这与例1完全一样。

设1
头牛1天吃的草为1份。

每天新长出的草有（240×14－
264×10）÷（14－10）＝180（份）。

草地原有草（264—180）×10＝840（份）。

可供285头牛吃840÷（285—180）＝8（天）。

所以，第三块草地可供19头牛吃8天。

接下来看例9.牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，
供18头牛10周吃完。

假设草的生长速度不变，那么供19头
牛需要几周吃完？
为了解决这个问题，我们需要找出牧场原有的草量和每周新长的草量。

我们可以通过画线段图来找到这两个量。

通过比较18头牛吃10周的草量和24头牛吃6周的草量，我们发现
前者比后者多出4周新生长的草量。

这样，我们就可以求出草的生长速度。

有了每周新长的草量，我们就可以用24头牛吃
6周的草量减去6周新长的草量，或用18头牛吃10周的草量
减去10周新长的草量，得到牧场原有的草量。

有了原有的草
量和新长的草量，问题就能很顺利求解了。

设1头牛吃一周的草量为一份。

24头牛吃6周的草量为
24×6=144（份），18头牛吃10周的草量为18×10=180（份）。

10周新长的草量为180-144=36（份），每周新长的草量为
36÷（10-6）=9（份）。

因此，19头牛需要的时间为（144-
19×9）÷9＝9（周）。

例1020匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可
吃完24公顷的草。

假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷
草每天的生长速度相同，求出多少匹马36天可吃完40公顷的牧草。

解题思路：
要求出每公顷每天新长的草量和每公顷原有草量，才能解决问题。

设一匹马吃一天的草量为一份。

20匹马72天吃32
公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，
可供20×72÷32=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天
新长的草量为45份。

同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为16×54÷24=36份。

这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是
求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决。

解题步骤：
1）每公顷每天新长的草量：
20×72÷32-16×54÷24）÷（72-54）=0.5（份）
2）每公顷原有草量：
20×72÷32-0.5×72=9（份）
或
16×54÷24-0.5×54=9（份）
3）40公顷原有草量：
9×40=360（份）
4）40公顷36天新长的草量：
0.5×36×40=720（份）
5）40公顷的牧草36天吃完所需马匹数：
360+720）÷36=30（匹）
答案：
30匹马36天可吃完40公顷的牧草。

XXX步行从甲地到乙地，XXX骑摩托车从乙地到甲地，48分钟后相遇。

设XXX步行的速度为v1，XXX骑摩托车的速度为v2，则根据相遇时的路程相等，有：
v1 × 48 = v2 × 48
XXX到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上XXX。

设XXX此时已经走了x1的路程，则XXX走了
x2 = (48/60 - 16/60) × v2 = 32/60 × v2 的路程。

根据XXX和XXX的路程相等，有：
v1 × (48/60 - x1/v1) = v2 × (32/60 - x2/v2)
整理得到：
v1x1 + v2x2 = v1v2(48/60)
又因为XXX走了整个路程，有：
x1 + x2 = d
其中d为甲地到乙地的距离。

联立以上三个方程，可以解得：
x1 = 8/5 km。

v1 = 1/5 km/min。

v2 = 1/3 km/min
当XXX到达乙地时，XXX共追上XXX几次？
设XXX被追上的次数为n，则有：
x1 = (2n + 1) × d
因为XXX往返于甲、乙两地，所以他追上XXX的路程是不断重复的，即：
x2 = (2n + 1) × d - d = 2n × d
根据前面的公式，可以得到：
v1x1 + v2x2 = v1v2(48/60)
代入上面的数值，得到：
8/5 × 1/5 + 2n × d × 1/3 = 1/5 × 1/3 × 48/60
化简得到：
4/25 + 2n/5 = 4/25
解得n = 0，即XXX没有被追上过。

因此，XXX追上XXX的次数为0次。

16*(X-Y) = 2*48Y，化简得 X = 7Y，即XXX的速度是XXX的7倍。

换句话说，XXX走完全程时，XXX刚好走完了七个全程的距离。

到达甲地后，可以知道他们中途相遇了7次，其中“追上”3次。

题：
1.在牧场上有一片匀速生长的草地，可以供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。

那么它可以供21头牛吃几周？
解答这类问题的困难在于草的总量在变化，每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量就会越多。

草的总量由两部分组成：某个时间期限前草场上原有的草量，和这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。

因此，必须设法找出这两个量。

假设一头牛一周吃草一份，则23头牛9周吃的总草量为
1 x 23 x 9 = 207份，27头牛6周吃的总草量为1 x 27 x 6 = 162份。

因此，每周新生长的草量为（207-162）÷（9-6）=15份。

牧场上原有草量为1 x 27 x 6 - 15 x 6 = 72份，或者1 x 23 x 9 - 15 x 9 = 72份。

为了解决这个问题，可以把21头牛分成两部分：一部分
专吃牧场上原有的草，另一部分专吃新生长的草。

假设有15
头牛专吃新生长的草，另一部分21-15=6头牛专去吃原有的草，则牧场上原有的草够21头牛吃12周。

即这个牧场上的草够
21头牛吃12周。

2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。

已知某草地上的草可供20头牛吃5天，或供15头牛吃6天。

那么它可以供多少头牛吃10天？
假设一头牛一天吃草一份，则20头牛5天吃的总草量为
1 x 20 x 5 = 100份，15头牛6天吃的总草量为1 x 15 x 6 = 90份。

因此，每天枯草量为（100-90）÷（6-5）=10份。

牧场上
原有草量为1 x 20 x 5 + 10 x 5 = 150份。

那么这个牧场上的草可以供（150-10 x 10）÷10=5头牛吃10天。

3.一块草地，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。

如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？
由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，因此60只羊每天的吃草量和15头牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。

1.一块牧草地可供16头牛吃20天或20头牛吃12天。

问25头牛可以吃多少天？
假设每头牛每天吃草一份，则每天长草量为：(1×16×20-1×20×12)/(20-12)=10份。

原有草量为：1×16×20-10×20=120份。

假设25头牛中，10头牛吃新长的草，另外15头牛吃原有草，则原有草可以供15头牛吃8天：120÷15=8.
因此，这块草场可以供10头牛和60只羊吃8天。

2.一只船发现漏水，水匀速进入船内。

如果12人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，10小时淘完。

如果要求2小时淘完，需要多少人淘水？
假设每个人每小时淘水1份。

12人3小时淘水的总量为：1×12×3=36份。

5人10小时淘水的总量为：1×5×10=50份。

每小时漏进的水量为：(50-36)/(10-3)=2份。

淘水时已经漏进的水量为：36-2×3=30份。

因此，如果要求2小时淘完，需要安排17人淘水：(30+2×2)/2=17.
3.一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
假设一台抽水机每天抽水1份。

5台抽水机连续20天抽水的总量为：5×20=100份。

6台抽水机连续15天抽水的总量为：6×15=90份。

每天进水量为：(100-90)/(20-15)=2份。

原有的水量为：100-2×20=60份。

因此，如果要在6天内抽干，需要12台抽水机：
(60+2×6)/6=12.
4.有三块草地，面积分别为5、6和8公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

问第三块草地可供19头牛吃多少天？
将三块草地的面积统一起来，得到总面积为120公顷。

第一块草地可供11头牛吃10天，因此120公顷草地可供264头牛吃10天：120/5=24，24×11=264.
第二块草地可供12头牛吃14天，因此120公顷草地可供240头牛吃14天：120/6=20，20×12=240.
问题转化为，120公顷草地可供19头牛吃多少天。

假设一头牛每天吃草一份，则120公顷草地每天新生长的草量为：(240×14-264×10)/(14-10)=180份。

120公顷草地原有的草量为：264×10-180×10=840份。

因此，120公顷草地可以供19头牛吃23天：
840/(19×23)=2.
1.四个人一起划船，甲乙划一只船，丙丁划一只船，甲丙划一只船，乙丁单独划一只船，结果谁也没有划同一只船。

已
知甲乙划的船比丙丁划的船快，且丙丁划的船比XXX划的船快。

试问谁是最强的划手？
答：根据题意，甲乙、丙丁、甲丙、乙丁四组人分别划了四只不同的船，而且甲乙划的船比丙丁划的船快，丙丁划的船比乙丁划的船快。

所以，甲乙划的船最快，甲是最强的划手。

2.有一堆石子，甲乙两人轮流取，甲先取。

每次取的石子
数只能是1个、3个或5个，取到最后一个石子的人获胜。

问：如果甲乙双方都足够聪明，甲有必胜的策略吗？
答：有必胜的策略。

甲乙双方都足够聪明，甲只要在第一次取石子时取3个，之后每次取石子时保持与乙取的石子数之和为6即可。

这样，无论乙怎样取石子，甲都可以在下一次取石子时取到最后一个石子，从而获胜。

3.有3块草地，第1块草地可以供180头牛吃30天，第2
块草地可以供240头牛吃20天，第3块草地可以供260头牛
吃15天。

现在有285头牛，问它们可以吃几天？
答：首先计算出这3块草地每头牛每天可以吃多少草。

第
1块草地每头牛每天可以吃1/30的草，第2块草地每头牛每天可以吃1/20的草，第3块草地每头牛每天可以吃1/15的草。

将它们相加，得到每头牛每天可以吃的草的总量为：（1/30 +
1/20 + 1/15）= 1/12.然后，将这285头牛需要吃的草的总量
（即840份）除以它们每天可以吃的草的总量（即1/12），得到它们可以吃的天数为：840 ÷（285 × 1/12）= 112.5天，约
为112天。

4.有一座桥，桥长100米，一位工人要从桥的一端走到另
一端。

他行走的速度是每分钟4米，但他每隔一分钟就要休息一次，每次休息时间为1分钟。

问这位工人需要多长时间才能走完整座桥？
答：这位工人每走一分钟，实际上只能前进3米（因为他需要休息1分钟）。

所以，他需要走100 ÷ 3 = 33.33（约为33）分钟才能走完整座桥。

5.有两个人，甲乙，同时从A、B两地相向而行，两人相
遇在离A地60公里的地方，甲到达B地需要的时间是乙到达
A地时间的2倍。

已知A、B两地相距120公里，求甲、乙各
自以什么速度行走？
答：设甲的速度为v1，乙的速度为v2.则根据题意可得：60 ÷ v1 =（120 - 60）÷ v2，即60v2 = 60v1 + 360.又因为甲到
达B地需要的时间是乙到达A地时间的2倍，所以60 ÷ v1 = 2（120 - 60）÷ v2，即30v2 = 120 - 60v1.将两个方程联立，解得v1 = 12km/h，v2 = 8km/h。

6.有一块矩形的草地，长60米，宽40米。

现有一只长10米，宽5米的羊圈，要将这只羊圈放在草地上，使得羊圈四周都贴着草地的边缘，且羊圈与草地之间没有重叠部分。

问：这块草地最多能容纳多少只羊？
答：将这块草地分成许多个5米×5米的正方形，可以得到12行8列共96个正方形。

由于羊圈的长为10米，宽为5米，所以可以将羊圈横向放在草地上，这样羊圈会占用2行5列正方形。

同理，将羊圈纵向放在草地上也会占用2行5列正方形。

所以，将羊圈放在草地上时，会占用4行5列正方形。

因此，这块草地最多能容纳96 ÷ 4 = 24只羊。

假设不卖掉那4头牛，需要额外准备8份草，即总共需要1×4×2+8=16份草。

因此，原来这群牛有（240+9×(6+2)+8）÷(6+2)=40头。

一台自动扶梯以均匀的速度从下往上运行，两个性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟可以走20级台阶，女孩每
分钟可以走15级台阶。

男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问扶梯共有多少级台阶？男孩用了5分钟走了20×5=100级，女孩用了6分钟走了15×6=90级。

女孩比男孩少走了10级，但用了1分钟更多的时间，说明扶梯每分钟走10级。

因此，扶梯共有20×5+10×5=150级台阶。

有三块草地，面积分别为5、15、24亩。

这些草地上的草一样厚，而且生长速度一样。

第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天。

问第三块地可以供多少头牛吃80天？
将每头牛每天吃的草看作1份。

因为第一块草地的5亩面积原有草量加上5亩面积30天生长的草可以供10×30=300份草。

因此，每亩面积原有草量和每亩面积30天生长的草分别为300÷5=60份。

因为第二块草地的15亩面积原有草量加上15亩面积45天生长的草可以供28×45=1260份草。

因此，每亩面积原有草量和每亩面积45天生长的草分别为1260÷15=84份。

因此，每亩面积需要生长的草量为84-60=24份，在15天内生长。

因此，每亩面积每天需要生长1.6份草。

因此，每亩原有草量为60-30×1.6=12份。

第三块地面积为24亩，因此每
天需要生长1.6×24=38.4份草。

原有的草量为24×12=288份。

每天需要用38.4头牛去吃新生长的草，其余的牛可以去吃原
有的草。

因此，原有的草可以供80天吃。

因此，需要3.6头
牛去吃新生长的草，一共需要38.4+3.6=42头牛去吃草。

解法二：通过已知条件，我们可以推出30头牛30天需要吃15亩草地。

而根据另一个已知条件，28头牛45天需要吃
15亩草地，因此我们可以计算出每天每亩草地的新长草量为(28*45-30*30)/(45-30)=24.知道这些，我们还可以算出15亩草
地的原有草量为1260-24*45=180.
根据已知条件，我们可以得出30头牛需要15亩草地才能养活30天。

另一方面，28头牛需要15亩草地才能养活45天。

通过计算，我们得知每天每亩草地的新长草量为24.据此，我
们可以推算出15亩草地的原有草量为180.。