江西省赣吉抚七校2017届高三阶段性教学质量监测考试二数学(文)试题 含答案

数学(文)试题
第Ⅰ卷（共60分)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 设集合{}1,2,3,4U =，集合{}2
540A x N x
x =∈-+<，则U C A 等于（
）
A ．{}1,2
B ．{}1,4
C ．{}2,4
D ．{}1,3,4 2. 已知()2,a i b i a b R i
+=+∈，其中i 为虚数单位,则a b +等于（ )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3 3。

在等差数列{}n
a 中，已知3
86a
a +=，则2163a a +的值为( )
A ．24
B ．18
C ．16
D ．12 4。

设01a b <<<，则下列不等式成立的是( ) A ．3
3a
b >
B ．11a
b
< C.
1b a > D ．()lg 0b a -<
5。

已知函数()2
a
f x x x
=+
，则“02a <<”是“函数()f x 在()1,+∞上为增函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6。

运行如图所示框图的相应程序，若输入,a b 的值分别为4
log 3和3
log 4，
则输出M 的值是（ ）
A ．0
B ．1 C. 3 D ．－1
7。

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ） A ．24 B ．48 C. 54 D ．72
8.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,23,30c a b C ===︒，则角B 等
于（ ）
A ．30°
B ．60° C.30°或60° D ．60°或120° 9.已知函数
()13log ,0
2,0x
x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩
，若()12f a >,则实数a 的取值范围是（
)
A ．30,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．(]1,0-
C 。

31,3⎛⎫
- ⎪⎝⎭
D ．()
31,00,3⎛⎫
- ⎪⎝⎭
10.如图12,F F 是双曲线2
2
1:18
y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是12,C C 在第
一象限内的公共点，若12
1FF
F A =,则2C 的离心率是( ）
A ．23
B ．45 C. 35 D ．2
5
11。

函数2
1
x x y e
+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）
12.
设,x y 满足约束条件430,0x y
y x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩
,若目标函数()220z x ny n =+>，
z 的最大值为2，则tan 6y nx π⎛⎫
=+ ⎪
⎝
⎭
的图象向右平移6
π后的表达式为（ ） A ．tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．cot 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
C 。

tan 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D ．tan 2y x =
第Ⅱ卷(共90分）
二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知直线210x y +-=与直线240x my ++=平行，则m = ． 14.设D 为ABC ∆所在平面内一点，5BC CD =,若AB xAC yAD =+，则
2x y +=
．
15。

已知m R ∈，命题p ：对任意实数x ,不等式2
2213x
x m m --≥-恒成立，
若p ⌝为真命题,则m 的取值范围是 ．
16。

设曲线()1
*
n y x x N +=∈在点()1,1处的切线与x 轴的焦点横坐标为n
x ，则
2016120162log log x x ++ 2016320162015log log x x +
+的值为
．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. （本小题满分12分）等差数列{}n
a 中,已知258033n
a
a a a >++=，,且
1235,5,13a a a +++构成等比数列{}n b 的前三项。

(1)求数列{}n
a ，{}n
b 的通项公式；
(2)记1n
n
n
a c
b =
+，求数列{}n c 的前n 项和n T 。

18。

（本小题满分12分）已知函数()()4cos sin 06f x x x πωωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭
的最小
正周期是π.
（1）求函数()f x 在区间()0,x π∈的单调递增区间；
(2)求()f x 在388ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最大值和最小值。

19。

(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，点,E F 在圆O 上,//AB EF ，
矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且
2,1,60AB AD EF BAF ===∠=︒。

(1）求证:AF ⊥平面CBF ；
(2）设FC 的中点为M ，求三棱锥M DAF -的体积1
V 与多面体CD AFEB -的
体积2
V 之比的值.
20。

（本小题满分12
分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，与y 轴的正半
轴交于点()0,P b ，右焦点(),0F c ，O 为坐标原点,且2tan 2
PFO ∠=. （1）求椭圆的离心率e ；
（2）已知点()()1,0,3,2M N ，过点M 任意作直线l 与椭圆C 交于,C D 两点，
设直线,CN DN 的斜率为1
2
,k k ，若1
2
2k k
+=，试求椭圆C 的方程.
21. (本小题满分12分）已知()x
f x xe =. (1)求函数()f x 的单调区间；
（2）若()()()()2
g x f x tf x t R =+∈，满足()1g x =-的x 有四个，求t 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线()
2
21
:11C x y -+=，曲线2C
的参数方程为：
sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩,（θ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系。

(1)求1
2
,C C 的极坐标方程； （2
）射线()0y x =≥与1C 的异于原点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB 。

23. （本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()5f x x a x a =-++-.
（1)若不等式()2f x x a --≤的解集为[]5,1--，求实数a 的值； （2)若0
x R ∃∈,使得()2
4f x m m <+，求实数m 的取值范围.
试卷答案
一、选择题 1。

答案：B
解析：{}2,3A =，所以{}1,4U
C A =.
2.答案：B
解析：由题意,得()2a i i b i +=+，即21a i bi +=-+,所以1,2a b =-=,所以1a b +=，
故选B.
3。

答案：D 解析：∵3
86a
a +=，∴()21622162938322212a a a a a a a a a +=++=+=+=
4。

答案：D
解析：由01a b <<<可设0.1,0.5a b ==，代入选项验证可知()lg 0b a -<成立. 5。

答案：A 解析：()220a f x x x
'=-≥,即3
2x a ≥在区间()1,+∞上恒成立，则2a ≤,而022a a <<⇒≤,故选A.
6。

答案:D 解析：4
3log
3,log 4,a b ==∴1,01b a ><<,∴b a >,根据程序框图，
432log 3log 421M a b =⨯-=⋅-=-.
7. 答案：A
解析：还原为如图所示的直视图，
()111523453424322
ABC ABC V AD S S ∆∆=⨯-
-=⨯⨯⨯-⨯⨯=.
8。

答案：D 解析：因为2,23,30c b C ===︒,所以由正弦定理可得:1
23sin 32sin 2b C
B c
=
==，因为b c >,可得:()30,180B ∈︒︒，所以60B =︒或120︒。

9。

答案：C
解析：由题意,得1
31log 20x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩
或1220x x ⎧>⎪⎨
⎪≤⎩，解得30a <<10a -<≤，即实数a 的
取值范围为31,3⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，故选
C.
10. 答案：解析：由题意知,12
16FF
F A ==，∵122F A F A -=,∴24F A =,∴
1210F A F A +=,
∵12
6F F
=，∴2C 的离心率是
63
=105
. 11。

答案：A
解析：当0x ≥时，函数是22
11
2,x x x x x y y e e
++-'==有且只有一个极大值点是2x =，
所以选A. 12。

答案：C
解析：作出可行域与目标函数基准线2y x n
=-，由线性规划知识，可得
当直线2
n z x y =+过点()1,1B 时，z 取得最大值，即122
n +=,解得2n =；则
tan 6y nx π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移6π个单位后得到的解析式为
tan 2tan 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦。

故答案为
C.
13. 答案:4
解析：由直线210x y +-=与直线240x my ++=平行，可得212
m
=，∴4m =. 14. 答案：－4
解析：∵5BC CD =,∴()5AC AB AD AC -=-，即65AB AC AD =-，∴
6,5,24x y x y ==-+=-.
15。

答案：()(),12,-∞+∞
解析：∵对任意x R ∈，不等式2
2213x x m m --≥-恒成立，
∴(
)2
2min
123x m m ⎡⎤--≥-⎣⎦，即232m m -≤-，解得12m ≤≤.
因此，若p ⌝为真命题时，m 的取值范围是()(),12,-∞+∞. 16。

答案：－1
解析：求导函数，可得()()1n
f x n x '=+，设过()11，处的切线斜率为k ，则
()11k f n '==+，
所以切线方程为()()111y n x -=+-，令0y =， 可得1
n
n
x n =
+,∴1220151220151
23
20162016
x x x ⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅
=, ∴()12016
2016
1201622016201520161220152016
log
log log log log 1x x x x x x ++
+===-,
故答案为—1。

17.解：(1）设等差数列{}n
a 的公差为d ，则由已知得：2
5833a
a a ++=,即511a =.
又()()()2
1142112131135d d d -+-+=-+,解得2d =或28d =-（舍），
1543a a d =-=，∴()1121n a a n d n =+-=+.
又1
1
2
225,510b a b
a =+==+=，∴2q =，∴152n n
b -=⨯。

（2）1
21
1521
n n
n n a n c b -+=
+=⋅+， ∴021
3572152525252
n n n T
n -+=
+++++⋅⋅⋅⋅， 2135211+25252522
n n n T n +=+++⋅⋅⋅， 两式相减得02111322
2211
++2
5222
2522n
n n
n T
n -+⎡⎤=+++
-⎢⎥⋅⎣⎦
， ∴1
25
252
n
n n T
n -+=+-
⋅。

18.解：(1)()
24cos sin cos 2cos 116f x x x x x x πωωωωω⎛⎫
=⋅-=-+- ⎪⎝
⎭
，
2cos212sin 216x x x πωωω⎛
⎫=--=-- ⎪⎝
⎭，
最小正周期是22π
π
ω
=，所以=1ω从而()2sin 216f x x π⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
，
令2222
6
2
k x k πππππ-+≤-≤+，解得()6
3
k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，
所以函数()f x 的单调递增区间为0,3π⎛⎤ ⎥
⎝⎦
和5,6
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
所以()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
上的最大值和最小值分别为62
11-、.
19。

(1)证明：∵矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，且CB AB ⊥，∴CB ⊥平面ABEF ，又AF ⊄平面ABEF ，所以CB AF ⊥,又AB 为圆O 的直径，得AF BF ⊥，BF
CB B =,
∴AF ⊥平面CBF .
(2）设DF 的中点为H ，连接MH ，则∴1//2
MH CD ，又1//2
OA CD ，∴//MH OA ，
∴OAHM 为平行四边形，//OM AH ,又∵OM ⊄平面DAF ， ∴//OM 平面DAF 。

显然，四边形ABEF 为等腰梯形，60BAF ∠=︒，因此OAF ∆为边长是1的正三角形.
三棱锥M DAF -的体积
11133133412
O DAF D OAF OAF V V V DA S --∆===⨯⨯=⨯⨯=；
多面体CD AFEB -的体积可分成三棱锥C BEF -与四棱锥F ABCD -的体积之和，
计算得两底间的距离13
EE
=
所以1113311332C BEF BEF V S CB -∆=⨯=⨯⨯=，
1112133F ABCD ABCD V S EE -=⨯=⨯⨯=
矩形,
所以2C BEF F ABCD V
V V --=+=
,∴121:5V lV =. 21.解:(1）在直角三角形PFO 中，
∵tan b PFO c
∠==
b =
，即e =。

（2）由(1
）知e =，则椭圆方程可化为22
222213x y c c
+=，
设直线()()()1
1
2
2
:1,,,,l y k x C x y D x y =-，
()
()222
2222226326126301x y c
k x k x k c y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨
=-⎪⎩， ∴222121222
126326,26k k c x x x x k k
-+==++ ∴()()12121
212121212
223333
k x k x y y k k
x x x x ------+=
+=+
---- ()()()()22
121222
121248246224261223924183k k c kx x k x x k x x x x k c ++--++++===-+++-
即()2
222482462=48366k k c k c ++-+-，对任意的k 恒成立，
则2
2c
=,进而求得223,1a b ==
所以椭圆的方程是2
2:13
x C y +=。

21．解：（1）
(),0,0
x
x x
xe x f x xe xe x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，当0x ≥时，()0x x
f x e xe '=+>, 所以()f x 在[)0,+∞上是增函数； 当0x <时，()()x
x f x e
xe '=-+,
当1x <-时；()0f x '>；当10x -<<时，()0f x '<； 所以()f x 在(),1-∞-和[)0,+∞上是增函数；
在()1,0-上是减函数。

（2)由（1）知，当1x =-时，函数()f x 取得极大值()11f e -=，令()=f x m ， 则当10m e
<<时，方程()=f x m 有3解； 当0m =或1m e
>时，方程()=f x m 有1解； 当1m e
=时,方程()=f x m 有2解. 因为()1g x =-的x 有四个，所以()()210f x tf x ++=有四解，所以方程210
m tm ++=在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一解，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上有一解. 记()21h m m tm =++
()220010111100h e t t e h e e e >⎧>⎧+⎪⎪⇒⇒<-⎨⎨⎛⎫++<< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭
⎩ 22。

解：(1)将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线1C 方程：()2211x y -+=，
可得曲线1
C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 曲线2C 的普通方程为2212x y +=，将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入， 得到2
C 的极坐标方程为()22
1sin 2ρθ+=. （2）射线的极坐标方程为()=06πθρ≥，与曲线1C
的交点的极径为1=2cos 6π
ρ= 射线()=06πθρ≥与曲线2C 的交点的极径满足221sin 26πρ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
，解得2ρ=
所以12AB ρρ=-=。

23。

解：（1)∵52x a +-≤,∴73a x a -≤≤-，
∵()2f x x a --≤的解集为[]5,1--，∴7531
a a -=-⎧⎨-=-⎩,∴2a =。

（2）∵()55f x x a x a =-++-≥， ∵0x R ∃∈,使得()2
4f x m m <+成立， ∴()2min 4m m
f x +>，即245m m +>，解得5m <-，或1m >, ∴实数m 的取值范围是()(),51,-∞-+∞.。