北师大版数学八年级下册：第三章 图形的平移与旋转 专题练习(附答案)

专题1旋转构造等腰（边）及等腰直角三角形
类型1旋转构成等腰（等边）三角形
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是（）
A．50°B．70°C．110°D．120°
第1题图第2题图
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt △AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是（）
A．1 cm B．2 cm
C. 3 cm D．2 3 cm
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC 边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为（）
A．18°B．20°C．24°D．28°
第3题图第4题图
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE.若AB＝2，∠ACB＝30°，则线段CD的长度为．
5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，将△DCB绕点C顺时针旋转60°后，点D的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.若AB＝6，BC＝8，则BD＝．
6．如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.
（1）依题意补全图形；
（2）若OA＝2，OB＝3，OC＝1，求∠OCM的度数．
类型2旋转后构成直角（等腰直角）三角形
7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）
A．3
B．23
C．22
D．4
8．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝4，BD＝3，CD＝5，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC 重合，点D旋转至点E，则四边形ADCE的面积为（）
A．12 B．12＋4 3 C．6＋4 3 D．6＋83
第8题图变式图
【变式】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点P是△ABC内的一点．如果AP＝3，BP＝1，CP＝2，那么∠BPC的度数是．
9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点．若∠CAE＝90°，BD＝2，则AB 的长为．
专题2利用旋转理解几何模型
模型1特殊三角形中的“手拉手”模型错误!
1．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB 的度数为_ ．
2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接DE，现将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度（如图2），连接BD，CE，延长BD交CE于点F.连接AF.若AD⊥BD，BD＝6，CF＝4，则DF＝．
3．两块等腰直角三角尺AOB与COD（不全等）如图1放置，则有结论：①AC＝BD；②AC⊥BD.若把三角尺COD绕着点O逆时针旋转一定的角度后，如图2所示，判断结论：①AC＝BD；②AC⊥BD是否都还成立？若成立请给出证明，若不成立请说明理由．
模型2“对角互补”模型
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点．若直角EDF绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法：①AE＝CF；②EC＋CF＝2AD；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值，其中正确的有．
5．如图，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM－ON的值不变；③△OMN的周长不变；④四边形PMON的面积不变．其中正确的序号为．
模型3“半角”模型
6．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD，DE，CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD，DE，CE 之间的等量关系式是；
图1 图2
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝60°，∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论．
模型4“倍长中线”（旋转180°）模型
7．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD 绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
①求证：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
参考答案：
专题1旋转构造等腰（边）及等腰直角三角形
1．D
2．B
3．C
4．2．
5．10．
6．如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.
（1）依题意补全图形；
（2）若OA＝2，OB＝3，OC＝1，求∠OCM的度数．
解：（1）依题意补全图形，如图所示．
（2）连接OM.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
∵△BAO旋转得到△BCM，OA＝2，OB＝3，
∴MC＝OA＝2，MB＝OB＝3，∠OBM＝∠ABC＝60°.
∴△OBM为等边三角形．
∴OM＝OB＝ 3.
∵在△OMC中，OC＝1，MC＝2，OM＝ 3.
∴OC2＋MC2＝OM2.
∴∠OCM＝90°.
7．A
8．C
【变式】135°．
9．
专题2利用旋转理解几何模型
1．_120°_．
2．2
3．
解：①②都还成立．
证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB＋∠DOA＝∠COD＋∠DOA.
∴∠COA ＝∠DOB. 在△ACO 和△BDO 中，
⎩⎨⎧CO ＝DO ，
∠COA ＝∠DOB ，OA ＝OB ，
∴△ACO ≌△BDO （SAS ）． ∴AC ＝BD ，∠OBD ＝∠OAC.
设AO 与BD 交于点E ，AC 与BD 交于点N ，则∠BEO ＝∠AED. ∴∠AOB ＝∠ANE ＝90°. ∴AC ⊥BD.
综上所述：①AC ＝BD ，②AC ⊥BD 都还成立． 4．①②③④． 5．①④．
6．（1）BD 2＋CE 2＝DE 2；
图1 图2
（2）如图2，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，D ，E 在BC 上，∠DAE ＝60°，∠ADE ＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD ，DE ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．
解：仿照（1）将△AEC 绕点A 顺时针旋转120°后为△AFB ，连接DF ，则△AEC ≌△AFB. ∴BF ＝CE ，AE ＝AF ，∠EAC ＝∠FAB. ∵∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，
∴∠BAD ＋∠EAC ＝60°，即∠FAD ＝∠DAE ＝∠FAB ＋∠BAD ＝60°. ∴△AFD ≌△AED （SAS ）． ∴∠ADF ＝∠ADE ，FD ＝DE.
∵∠ADE ＝45°，∴∠ADF ＝45°.∴∠BDF ＝90°. 在Rt △BDF 中，由勾股定理，得BF 2＝BD 2＋DF 2. ∴CE 2＝BD 2＋DE 2.
7．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使得DE ＝AD ，再连接BE （或将△ACD 绕点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB ，AC ，2AD 集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得2＜AE ＜8，则1＜AD ＜4.
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥
DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
①求证：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
解：①延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，EG.
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG.
∵DE⊥DF，∴EF＝EG.
在△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF.
②BE2＋CF2＝EF2.
证明：若∠A＝90°，则∠EBC＋∠FCB＝90°，
由①知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2，
∴BE2＋CF2＝EF2.。