2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学
期10月月考数学试题
一、单选题
1．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 为ABC ∆内一点，若分别满足下列四个条件： ①0++=aOA bOB cOC ；
②tan tan tan 0⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ③sin 2sin 2sin 20⋅+⋅+⋅=A OA B OB C OC ； ④0OA OB OC ++=； 则点O 分别为ABC ∆的（ ） A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心 C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心
【答案】D
【解析】先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =，可得()0,4A ，()3,0B ，
()0,0C ，设(),O m n ，由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断
①③④为三角形的内心、外心和重心；考虑等腰ABC ∆，底角为30，设(C -，
()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ，由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角
形的垂心． 【详解】
先考虑直角ABC ∆，可令3a =，4b =，5c =， 可得()0,4A ，()3,0B ，()0,0C ，设(),O m n ，
①0aOA bOB cOC ++=，即为()()()()3,443,5,0,0m n m n m n --+--+--=，
即有12120m -+=，12120n -+=，解得1m n ==，
即有O 到x ，y 轴的距离为1，O 在BCA ∠的平分线上，且到AB 的距离也为1， 则O 为ABC 的内心；
③2220sin A OA sin B OB sin C OC ⋅+⋅+⋅=，
即为
()()()()2424
,43,0,0,02525
m n m n m n --+--+--=， 可得320m -=，420n -=，解得3
2
m =，2n =，
由5
2
OA OB OC ===，故O 为ABC 的外心；
④0OA OB OC ++=，可得()()()(),43,,0,0m n m n m n --+--+--=， 即为330m -=，430n -=，解得1m =，43
n =，
由AC 的中点D 为()0,2，DB =，3
OB =，即O 分中线DB 比为2:3， 故O 为ABC 的重心；
考虑等腰ABC ∆，底角为30，
设(C -，()2,0B ，()0,0A ，(),O x y ， ②0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=，
即为)))
(),2,10,0x y x y x y --+
--+
--=，
0x =10y +=，解得1x =-，y =
即(1,O -，由OC AB ⊥，1OA BC k k ⎛⋅==- ⎝⎭
，即有OA BC ⊥，
故O 为ABC 的垂心． 故选：D 【点睛】
本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建
立坐标系的方法求解，属于常考题型．
2．如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，点M ，N 分别在1l ，2l 上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）
A.15
B.12
C.10
D.9
【答案】A
【解析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM 、PN uuu r
，根据8PM PN +=，求出PM PN ⋅的解析式，再求其最大值． 【详解】
由点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，3，
可得平行线1l 、2l 间的距离为2；
以直线1l 为x 轴，以过点P 且与直线1l 垂直的直线为y 轴， 建立坐标系，如图所示：
由题意可得点()0,1P -，直线2l 的方程为2y =， 设点(),0M a 、点(),2N b ，
(),1PM a ∴=、(),3PN b =， (),4PM PN a b ∴+=+；
8PM PN +=， 2()1664a b ∴++=，
a b ∴+=
，或a b +=-；
当a b +=
(
)
2
333PM PN ab a a a ⋅=+=+=-++，
它的最大值为2315-+=；
当a b +=-
时，(
)
2
333PM PN ab a a a ⋅=+=-+=--+，
它的最大值为(2
(315----+=； 综上可得，PM PN ⋅的最大值为15． 故选：A 【点睛】
本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及数量积的坐标表示即可，属于常考题型. 3．如图，23
BAC π
∠=
，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD yAE x y R =+
∈、，
则x y +的取值范围是（ ）
A.1,4⎡+⎣
B.44⎡-+⎣
C.1,2⎡+
⎣
D.22⎡⎣
【答案】B
【解析】连接AM 并延长分别交圆M 于Q T 、，连接DE ，DE 与AM 交于R ，显然
11
22
AR AD AE =
+，此时1x y +=，分别过Q T 、作DE 的平行线，由于01,120AD AE BAC ==∠= ，
则2,A M D M ==，
则2AQ =，1
2
AR =
， 23
(423)(23)(23)2
AQ AR AD AE
-=
=-=-+- ，此时4x y +=-，
同理可得：(23)(23)AT AD AE =++
+，4x
y +=+，选B .
【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P 在等和线DE 上1x y +=去求
x y +的取值范围，由于点P 是圆M 及其内部任意一点，所以分别过Q T 、作圆的切
线，求出两条等和线的x y +值，就可得出x y +的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.
4．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，
1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 正确的个数是（ ） A.1 B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3
x −4y +5=0的两侧,
∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,5
4
a b +>
，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,
则2d =
=,则22a b +>4，故③正确；
当0a >且a ≠1时,
1
1
b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率。

∵当0a =,b =54时,5
1
194
114
b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34，
故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故④正确.
∴正确命题的个数是2个. 故选：B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离. 5．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若
,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中
{}{},,1,2,3,4,5i j k ⊆,{}{},,1,2,3,4,5r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.
A.0,0m M =>
B.0,0m M
C.0,0m M <=
D.0,0m M <<
【答案】D
【解析】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ． 【考点定位】考查向量的运算，重点考查思维能力，综合分析及应用能力，属偏难题。

二、填空题
6．直线:51250-+=l x y 的单位方向向量为______．
【答案】125,1313⎛⎫
⎪⎝⎭，12
5,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【解析】设所求单位方向向量为(,)a x y =，根据题意得到225121
y x x y ⎧=
⎪⎨⎪+=⎩，求解即可得出
结果. 【详解】
设直线:51250-+=l x y 的单位方向向量为(,)a x y =，
所以有225121y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得1213513x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1213
513x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
该直线的单位方向向量为125,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭，12
5,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭
故答案为：125,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭，12
5,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．已知,i j 是相互垂直的单位向量，2,a i j b i kj =-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是______．
【答案】()1,22,2⎛
⎫-∞-- ⎪⎝
⎭
【解析】根据两向量的夹角为锐角知0a b ⋅>r
r ，且a 、b 不共线，由此求出k 的取值范
围． 【详解】
因为2,a i j b i kj =-=+，且a 与b 的夹角为锐角，
120a b k ∴⋅=->，解得12
k <
， 又a 、b 不共线，2k ∴≠-，
∴实数k 的取值范围是()1,22,.2∞⎛
⎫--⋃- ⎪⎝
⎭
故答案为：()1,22,2⎛
⎫-∞-- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查由平面向量的夹角求参数的问题，熟记平面向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
8．若直线l 过点(P -，且与直线:20-+=m x 的夹角为3
π
，则直线l 的方程是______．
【答案】2x =-，或10x -=
【解析】先求出直线m 的倾斜角，再根据直线l 和直线m 夹角为3
π
，可得直线l 的倾斜角，进而得到直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程． 【详解】
直线l 过点(P -，且与直线20m x -+=：的夹角为3
π，
且直线m
3=
，即直线m 的倾斜角为6π， 设直线l 的倾斜角为θ，则6
3
2
π
π
π
θ=
+
=
，或5636
πππ
θπ⎛⎫=+-=
⎪⎝⎭，
故直线m 的斜率不存在，或直线m 的斜率为566tan
tan ππ=-=，
故直线l 的方程为2x =-或)2y x -=+，
即直线l 的方程为2x =-或10x +-=，
故答案为：2x =-或10x -= 【点睛】
本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，熟记两直线的夹角公式即可，属于基础题型．
9．若直线l ：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】(,)62
ππ
【解析】若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：
则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾
斜角为
2π，当交点为()3,0B 时，斜率(030k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭。

故答案为,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
10．已知直线:10l x y --=，1:220--=l x y 若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为______．
【答案】210x y --=
【解析】先解方程组得l 与1l 的交点()1,0也在2l 上，然后在1l 上取一点()2,2，则该点关于l 的对称点()3,1也在2l 上，用两点式即可求得2l 的方程． 【详解】
联立10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得10
x y =⎧⎨=⎩，所以三条直线的交点为()1,0
在1l 上取点()2,2，依题意该点关于l 的对称点()3,1在2l 上 由两点式得2l 的方程为
01
1031
y x --=--，化简得210x y --= 故答案为：210x y --= 【点睛】
本题主要考查求关于直线对称的直线方程，熟记直线方程的一般式即可，属于常考题型.
11．函数y =______．
【解析】利用函数的表达式，转化为x 轴上的点与()1,3-，()0,1距离和的最小值． 【详解】
因为y =
=
表示x 轴上的点与()1,3-以及()0,1距离之和的最小值，
=
【点睛】
本题考查函数的最值的求法，灵活运用转化与化归的思想，将问题转化为直线上的点到定点的距离，即可求解，属于常考题型．
12．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC
的面积为1，则2
MB MC BC ⋅+的最小值为 .
【解析】因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，且M 是直线DE 上的动点，所以M 到直线BC 的距离等于A 到直线BC 的距离的一半，所以1122MBC ABC S
S =
=，则11
sin 2
2
MBC
S
MB MC BMC =
∠=
，所以1
sin MB MC BMC
=∠，则
cos cos sin BMC
MB MC MB
MC BMC BMC
∠⋅=∠=∠，由余弦定理，得
2
2
2
2cos BC BM CM BM CM BMC =+-∠，显然，,BM CM 都为正数，
所以2
2
2BM CM
BM CM +≥，222
2cos BC BM CM BM CM BMC =+-∠
()()21cos 21cos sin BMC BM CM BMC BMC
-∠≥-∠=
∠，
()2
21cos cos 2cos sin sin sin BMC BMC BMC
MB MC BC BMC BMC BMC
-∠∠-∠⋅+≥
+=
∠∠∠， 令2cos sin BMC y BMC -∠=
∠，则2
12cos sin BMC y BMC -∠=∠'，令0y '=，则1
cos 2
BMC ∠=， 当1cos 2BMC ∠>时，0y '<，当1
cos 2BMC ∠<时，0y '>，
即当1cos 2BMC ∠=时，2cos sin BMC
y BMC
-∠=∠.
13．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点在大圆上，
与小
圆相切于点，为小圆上的点，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
如图所示：不失一般性建立直角坐标系，则可得，∵，∴，
∴
，∵点在小圆上，故可设为
，则
，
，则
， 则
的取值范围是
，故答案为
.
点睛：本题主要考查了解析法在向量数量积中的应用，圆的参数方程与三角函数的性质在求最值的应用，建立坐标系是解决该题的关键所在，难度一般；以圆心为原点，将点
放在轴负半轴，根据圆的参数方程可得，将向量的数量积用坐标表示为
关于的三角函数，结合辅助角公式可得其最值.
14．已知平面上三个不同的单位向量a ，b ，c 满足1
2
a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为______．
【解析】柯西不等式可得：
()
2222222222(23)123(||3||)14((||||)
a e
b e
c e a e b e c e a e b e c e ⋅+⋅+⋅≤++⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅，再根据向量的数量积公式计算即可． 【详解】
由柯西不等式可得：
()
2222222222(23)123(||||)14((||||),
a e
b e
c e a e b e c e a e b e c e ⋅+⋅+⋅≤++⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅
由于12
a b b c ⋅=⋅=
， a ∴与b ，b 与c 的夹角为3
π
，
下面求2
2
2
||||a e b e c e ⋅+⋅+⋅，
由于22
||b e b e ⋅=-⋅，
不妨将b 换成b -，设b 与e 夹角为θ， 则()2
2
2
2
225||||33a e b e c e cos cos cos ππθπθθ⎛⎫⎛⎫
⋅+⋅+⋅=-+-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()11211111022222322223cos cos cos πθπθπθ⎛⎫⎛⎫
=
+⋅-++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
312114222223223cos cos cos πθθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=
+-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
311132222222222
cos sin cos cos θθθθθ⎛⎫=
+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭， 23
(23)14212
a e
b e
c e ∴⋅+⋅+⋅≤⨯
= 23a e b e c e ∴⋅+⋅+⋅
【点睛】
本题考查平面向量的数量积运算，熟记向量的数量积运算法则，灵活运用转化与化归的思想即可，属于常考题型，计算量较大．
15．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号） ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①③⑤
【解析】给直线l 分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①和⑤的直线；通过过原点的直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确. 【详解】
①令直线l 为：1
2
y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；
②令直线l 为：y =
-()2,0，②错误；
③令直线l 为：y kx =，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y 则11
2y kx y kx =⎧⎨
=⎩
，两式作差得：()1212y y k x x -=-
即直线l 经过整点()1212(),(),n x x n y y n Z --∈
∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；
④令直线l 为：11
32
y x =+，则l 不过整点，④错误； ⑤令直线l
为：y =
，则其只经过()0,0一个整点，⑤正确.
本题正确结果：①③⑤ 【点睛】
本题考查对于直线方程的理解，关键是能够通过特例来否定命题和验证存在性的问题，对于学生对直线方程特点的掌握有较高的要求.
三、解答题
16．已知直线()():20++++-=l a b x a b y a b 及点()3,4P ．
()1证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． ()2当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．
【答案】（1）证明见解析,定点坐标为()2,3-（2）570x y ++=
【解析】()1直线l 方程化成()()2110a x y b x y ++++-=，再联解关于x 、y 的方
程组21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩
，即可得到直线l 经过的定点坐标；
()2设直线l 经过的定点为A ，由平面几何知识，得到当PA l ⊥时，点P 到直线l 的距
离最大.因此算出直线PA 的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线l 的斜率，即可求出此时直线l 的方程． 【详解】
() 1直线l 方程可化为：()()2110a x y b x y ++++-=
由210
10
x y x y ++=⎧⎨
+-=⎩，解得2x =-且3y =，
∴直线恒l 过定点A ，其坐标为()2,3-．
()2直线恒l 过定点()2,3A -
∴当点P 在直线l 上的射影点恰好是A 时，
即PA l ⊥时，点P 到直线l 的距离最大
PA 的斜率431
325PA k -==+ ∴直线l 的斜率1
5PA
k k -=
=- 由此可得点P 到直线l 的距离最大时，
直线l 的方程为()352y x -=-+，即570x y ++=． 【点睛】
本题主要考查直线过定点的问题，以及求直线外一点P 到直线的距离最大时直线的方程；熟记两直线交点的求法、点到直线的距离公式，以及直线的一般式方程即可，属于基础题．
17．如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米． (1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC 的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？
【答案】（1）AB 和AC 的长度分别为750米和1500米（2）50万元 【解析】试题分析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得
8004001200000x y +=，即23000x y +=，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）
利用向量方法，将AD 表示为21
33
AD AB AC =
+，根据向量的数量积与模长的关系可
得结果.
试题解析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=，
1sin1202ABC S x y ∆=
⋅⋅
x y =⋅
28x y =⋅⋅
2
282x y +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
=2
m 当且仅当2x y =，即750,1500x y ==时等号成立，
所以当ABC 的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由21
33
AD AB AC =
+ 得2
2
2133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
22441
999
AB AB AC AC =+⋅+ 224411
750750150015009929
⎛⎫=
⨯+⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 250000= 500AD ∴=，
1000500500000⨯=元
所以，建水上通道AD 还需要50万元． 解法二：在ABC ∆
中，BC =
=
在ABD ∆中，222cos 2AB BC AC B AB AC
+-=⋅
2
2
2
7501500+-=
=
在ABD ∆中，AD
=500
1000500500000⨯=元
所以，建水上通道AD 还需要50万元．
解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()750,0B
()
1500cos120,1500sin120C ,
即(C -，设()00,D x y
由2CD DB =
，求得00250{x y ==
所以(D
所以，
AD =
500=
1000500500000⨯=元
所以，建水上通道AD 还需要50万元． 18．定义“矩阵”的一种运算+⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⋅= ⎪ ⎪⎢
⎥
+⎣⎦⎝⎭⎝⎭
a b ax by c d cx y x d y ，该运算的意义为点(),x y 在矩阵的变换下成点.a b
c d ⎛⎫
⎪⎝⎭设矩阵11A ⎛=-⎭
()1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为)
2，试求点P 的坐标；
()2是否存在这样的直线：
它上面的任一点经矩阵
A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）14
⎫⎪⎭（2
）存在，直线方程为：y x =或y = 【解析】()1设(),P x y ，由题意，得出关于x 、y 的方程，解之即得P 点的坐标；
()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：
()0y kx b k =+
≠，该直线上的任一点(),
M x y ，经变换后得到的点
()
N x y -仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k ，b 值，若出现
矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 【详解】
()
1设(),P
x y
由题意，有12
4x x y y ⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎪⎩
，
即P
点的坐标为14⎫⎪⎭． ()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，
所以设直线方程为：()0y kx b k =+≠
因为该直线上的任一点(),M x y ，
经变换后得到的点()
N x y -仍在该直线上
()
y k x b -=+
即
)(
)10k x y b --=，其中()0y kx b k =+≠
代入得
()
2220k x b +++
=对任意的x R ∈
恒成立
()
22020k b +=+=⎪⎩
解之得0
k b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
或0k b ⎧
=⎪⎨=⎪⎩
故直线方程为y x =
或y =． 【点睛】
此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．
19．平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OC =uuu r
（其中O 为坐标原点），点P
是直线OC 上的一个动点.
（1）若//PA PB ，求OP 的坐标；
（2）当PA PB ⋅取最小值时，求cos APB ∠的值.
【答案】（1）481717,⎛⎫ ⎪⎝⎭（2
） 【解析】先由题意，设(2,)=OP x x ，得到(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ， （1）根据//PA PB ，得到(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ，求出x ，即可得出结果；
（2）先由题意，得到25(2)8⋅=--PA PB x ，得到当2x =时，PA PB ⋅取最小值，求出(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，再由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】
因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =uuu r
，
所以可设(2,)=OP x x ，因为(1,7)OA =，(5,1)OB =，
所以(12,7)=-=--PA OA OP x x ，(52,1)=-=--PB OB OP x x ， （1）因为//PA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ， 解得178=
x ，所以1717,48⎛⎫
= ⎪⎝⎭
OP ；
（2）因为(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ，
所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--PA PB x x x x x x x ， 显然，当2x =时，PA PB ⋅取最小值， 此时(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，
所以
cos ⋅∠===⋅PA PB APB PA PB
uu r uu r
uu r uu r . 【点睛】
本题主要考查由向量共线求参数的问题，以及求向量的夹角的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量数量积的运算与夹角公式即可，属于常考题型.。