云南省玉溪市一中高二数学上学期期末考试试题 文

玉溪一中2014－2015学年上学期期末考试
高二数学试题（文科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1、已知集合A={y |y =
x
x ||(x ≠0)}，B={x | x 2
－x －2≤0}，则（ ） A ．A
B
B ．B
A
C ．A=B
D ． A ∩B=φ
2、已知：命题P ：R x ∈∀，总有|x |≥0；命题q :x =1是方程x 2
+x +1=0的根，则下列命题为
真命题的是（ ） A ．p ∧⌝q
B ．⌝p ∧q
C ．⌝p ∧⌝q
D ．p ∧q
3、函数f (x )=e x
+x －2的零点所在的一个区间是（ ）
A ．(－2, －1)
B ．(－1, 0)
C ．(0, 1)
D ．(1, 2)
4、若直线ax +2y +6=0与直线x +a (a +1)y +a 2
－1=0垂直，则实数a 的值为（ ）
A ．－
2
3
B ．0
C ．1
D ．0或－
2
3 5、曲线f (x )=x 3
－2x +1在点(1, 0)处的切线方程为（ ）
A ．y =－x +1
B ．y =x －1
C ．y =2x －2
D ．y =－2x +2
6、从正方形的四个顶点及中心这5个点中，任取2个点，则这两个点的距离不小于该正方形
边长的概率为（ ） A ．
5
1
B ．
5
2 C ．
5
3 D ．
5
4 7、执行如下图所示的程序框图，如果输入t ∈[－2, 2]，则输出的s 属于（ ）
A ．[－6, －2]
B ．[－5, －1]
C ．[－4, 5]
D ．[－3, 6]
8、一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉
成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（ ）
A ．33
B ．63
C ．93
D ．183
9、已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2
－4x =0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值
为（ ） A ．4
B ．5
C ．10
D ．15
10、若正数a , b 满足3a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（ ）
A ．6+23
B ．7+23
C ．7+43
D ．7－43
11、在矩形ABCD 中，若AB=3，AD=4，E 是CD 的中点，F 在BC 上，若·=10，则EF 等
于（ ） A ．－5
B ．－6
C ．－7
D ．
3
11
12、若f (x )=⎩⎨
⎧----122
2
x x x )
,0[)
0,[+∞∈-∞∈x x ，x 1＜x 2＜x 3，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，则x 1+x 2+x 3的值的范围是（ ） A ．[1, 2)
B ．(1, 2]
C ．(0, 1]
D ．[2,
3)
第Ⅱ卷（选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13、设数列{a n }满足a 1=7，a n +a n +1=20，则{a n }的前50项和为 .
14、若变量x , y 满足约束条件：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则z =2x +y 的最大值为 .
15、在三角形ABC 中，若A=60°，AB=4，AC=1，D 是BC 的中点，则AD 的长为 .
16、设直线x －3y +m =0（m ≠0）与双曲线22
22b
y a x -=1(a ＞0, b ＞0)的两条渐近线分别交于A 、
B 两点，若P(m , 0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分10分）已知直线的参数方程为⎩⎨
⎧=+=t
y t x 32(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程
为θρ2cos 2=1.
（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 被曲线C 截得的弦长.
18、（本小题满分12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图. （1）求频率分布直方图中的a 的值；
（2）分别求出成绩落在[50, 60)与[60, 70)中的学生人数.
（3）从成绩在[50, 70)的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60, 70)中的概率
.
19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E 、F 分
别为A 1C 1和BC 的中点.
（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； （2）求证：C 1F//平面ABE.
20、（本小题满分12分）在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若=(b , 3cos B)
，
=(sin A, －a )，且⊥.
（1）求角B 的大小；
（2）若b =3，sin C=2sin A ，求△ABC 的面积.
21、（本小题满分12分）若数列{a n }满足a 1=2，a n +1=
1
3+n n
a a .
（1）设b n =
n
a 1
，问：{b n }是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项b n ； （2）设c n =a n a n +1，求{c n }的前n 项和.
22、（本小题满分12分）设椭圆22
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆
上，DF 1⊥F 1F 2，
|
|||121DF F F =22，△DF 1F 2的面积为22.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线
互相垂直并分别过不同的焦点，求出这个圆的方程.
玉溪一中2014－2015学年上学期期末考试
高二数学答案（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
13、500
14、7
15、
2
21 16、
2
5. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17、解：（1）由θρ2cos 2=1得 )sin (cos 222θθρ-=1 (θρcos )2
－(θρsin )2
=1
∵θρcos =x ，θρsin =y ∴x 2
－y 2
=1
（2）直线l 的方程为y =3(x －2) 将y =3(x －2)代入x 2
－y 2
=1得
2x 2
－12x +13=0
解得x 1=
2
106+，x 2=210
6-
∴弦长为||1212x x k -+=||3121x x -+=210。

18、解：（1）70a +60a +30a +20a +20a =1
200a =1
∴ a =0.005
（2）成绩落在[50, 60)的人数为2×0.005×10×20=2(人)
成绩落在[60, 70)的人数为3×0.005×10×20=3(人)
（3）将成绩落在[50, 60)的两人记为A 、B ，
成绩落在[60, 70)的三人记为C 、D 、E ， 从这5人中任取2人有如下结果： AB
AC AD AE
BC
BD
BE
CD CE
DE
两人的成绩都在[60, 70)的概率为p =
10
3.
19、证明：（1）∵BB 1⊥平面ABC
AB ⊂平面ABC
∴AB ⊥BB 1
又AB ⊥BC ，BB 1∩BC=B ∴AB ⊥平面B 1BCC 1 而AB ⊂平面ABE ∴平面ABE ⊥平面B 1BCC 1
（2）取AC 的中点G ，连结C 1G 、FG
∵F 为BC 的中点 ∴FG//AB 又E 为A 1C 1的中点 ∴C 1E//AG ，且C 1E=AG ∴四边形AEC 1G 为平行四边形 ∴AE//C 1G
∴平面C 1GF//平面EAB 而C 1F ⊂平面C 1GF
∴C 1F//平面EAB. 20、解：（1）=(b , 3cos B) =(sin A, －a )
⊥
∴b sin A －3a cos B=0 sin B ·sin A －3sin A cos B=0 而sin A ≠0
∴sin B －3cos B=0
tan B=3又0°＜B ＜180°
∴B=60°
（2）b 2
=a 2
+c 2
－2ac cos B ，b =3
∴a 2
+c 2
－ac =9 ……………………①
又∵sin C=2sin A ∴c =2a
……………………②
由①②得a =3，c =23 ∴S △ABC =
21·3·23·sin 60°=2
3
3.
21、解：（1）∵b n +1－b n =
11+n a －n a 1=n n a a 13+－n
a 1
=3
∴{b n }是公差为3的等差数列 又b 1=
11a =2
1
∴b n =3n －2
5
（2）∵b n =
n
a 1 ∴a n =
5
62
-n
由a n +1=
1
3+n n
a a 得：3a n +1 a n +a n +1=a n
a n a n +1=3
1
(a n －a n +1) ∴C n =
3
1
(a n －a n +1) ∴{C n }的前n 项和为 S n =
3
1
[(a 1－a 2)+(a 2－a 3)+…+(a n －a n +1)
=
31
(a 1－a n +1) =31(2－162+n )
=1
64+n n
22、解：（1）设F 1(－c , 0)，F 2(c , 0)
|DF 1|=a
b 2
又
|
||
|121DF F F =22 222
1=F DF S △
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2222222a
c b b
ac
∴a =2，b =1
∴椭圆方形为12
22
=+y x .
（2）设圆心在y 轴上的圆与椭圆交于A(x 0, y 0)，B(－x 0, y 0)
F 1A ，F 2B 是圆C 的两条切线 F 1(－1, 0)，F 2(1, 0)
F 1=(x 0+1, y 0)，F 2=(－x 0－1, y 0) A F 1⊥B F 2
∴－(x 0+1)2
+y 02
=0 ………………① 即y 02
=(x 0+1)
2
而2
2
0x +y 02
=1
………………②
由①②得：
∴x 0=－
3
4，y 0=31
∴A(－34, 31)，B(34, 3
1)
设圆心为C(0, m )
则=(3
4, m －31
)
F 1=(－31, 3
1
)
A F 1⊥，－94+31m －9
1
=0
m =3
5
∴圆心C(0,
35)，半径r ==
+2
34234)()(23
4 ∴圆方程为x 2
+(y －
35)2=9
32
.。