2024年中考数学第一次模拟试卷(四川成都卷)(全解全析)

2024年中考第一次模拟考试（成都卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

A卷（共100分）
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．2024年央视春晚主题、主标识近日正式发布，本次龙年春晚主题为“龙行龖龖（dá），欣欣家国”，请问2024的相反数是（）
A．
1
2024
B．2024
-C．2024D．1
2024
-
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：2024的相反数是2024
-，故选：B．
2．杭州亚运会已闭幕，中国代表团共收获201金、111银、71铜，总计383枚奖牌，创历史．图①是2023年10月2日乒乓球男单颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了组合体的主视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键．根据从正面看到的是主视图进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，是主视图，故选：B ．
3．俄罗斯和乌克兰的战争从去年2月24日开始到现在还在持续，战争持续的主要原因是：以美国为首的
北约在不断拱火，据不完全统计仅美国就先后向乌克兰提供军火价值275.8亿美元，275.8亿用科学记数法如何表示（）
A ．82.75810⨯
B ．9
2.75810⨯C ．10
2.75810⨯D ．11
275810.⨯【答案】C
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：275.8亿用科学记数法表示为102.75810⨯．故选：C ．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1<10a ≤，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．若关于x 的方程230x mx -+=的一个根是11x =，则另一个根2x 及m 的值分别是（
）
A ．234x m ==-，
B ．214x m ==，
C ．224x m ==-，
D ．234
x m ==，【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把11x =代入方程先求出m 的值，从而确定出方程，再解方程即可求出2x ，理解方程的解并准确计算是解题的关键．
【详解】解：∵11x =是方程230x mx -+=的一个根，∴130m -+=,∴4m =，
∴方程为2430x x -+=，解得11x =，23x =，∴另一个根2x 为3，m 的值为4，故选：D ．5．关于x 的方程
11
2 22x x x
-=---，下列做法正确的是（）
A ．方程两边都乘以2x -得：()
1122x x -=--B ．2x =是方程的解
C ．方程两边都乘以2x -得：()1122x x -=--
D ．2x =是方程的增根【答案】D
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：A 、方程两边同乘以()2x -，得：()1122x x -=---，故本选项不符合题意；B 、解方程得2x =，当2x =时分母20x -=，2x =是方程的增根，故本选项不符合题意；
C 、方程两边同乘以()2x -，得：()1122x x -=--，故本选项不符合题意；
D 、解方程得2x =，当2x =时分母20x -=，2x =是方程的增根，故本选项符合题意；故选：D ．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．如图，矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，点P 是位似中心．若点()23B ，
，点E 的横坐标为1-，则点P 的坐标为（
）
A ．
()20-，
B ．
()02-，
C ．302⎛⎫
- ⎪⎝⎭，D ．302⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，【答案】A
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出EF OC ∥，DE OP ∥是解题的关键．根据位似图形的概念得到EF OC ∥，DE OP ∥，进而证明CED CPO POD PAB ∽，
∽，根据相似三角形的性质求出OP ，得到答案．
【详解】解：∵四边形OABC 为矩形，()23B ，
，∴32AB OC OA ===，，∵矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，∴EF OC ∥，DE OP ∥，∴CED CPO POD PAB ∽，
∽∴CD DE
CO OP
=，
PO OD PA AB =∴
31323
OD OP OD OP OP -==+，，解得：2OP =，3
2OD =∴点P 的坐标为()20-，
，故选：A ．7．每次监测考试完后，老师要对每道试题难度作分析．已知：题目难度系数=该题参考人数得分的平均分÷
该题的满分．上期全市八年级期末质量监测，有11623名学生参考．数学选择题共设置了12道单选题，每题5分．最后一道单选题的难度系数约为0.34，学生答题情况统计如表：
选项留空多选A
B
C
D
人数
11
22
420939342057
1390
占参考人数比（%）0.090.1936.2133.8517.711.96
根据数据分析，可以判断本次监测数学最后一道单选题的正确答案应为（）
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
【答案】B
【分析】先计算出最后一道单选题参考人数得分的平均分，再分别测算，进行比较即可．【详解】解： 题目难度系数=该题参考人数得分的平均分÷该题的满分，
∴最后一道单选题参考人数得分的平均分=题目难度系数⨯该题的满分0.345 1.7=⨯=，
如果正确答案应为A ，则参考人数得分的平均分为：36.21%5 1.8⨯≈，如果正确答案应为B ，则参考人数得分的平均分为：33.85%5 1.7⨯≈，如果正确答案应为C ，则参考人数得分的平均分为：17.7%50.9⨯≈，
如果正确答案应为D ，则参考人数得分的平均分为：11.96%50.6⨯≈，故选：B ．
【点睛】本题考查了统计表、新概念“题目难度系数”等知识，熟练掌握新概念“题目难度系数”，由统计表的数据计算出参考人数得分的平均分是解题的关键．
8．对于抛物线2y ax bx c =++，y 与x 的部分对应值如下表所示：
x (3)
-1
-034…y
…
102-5
-2
-3
…
下列说法中正确的是（）
A ．开口向下
B ．当0x >时，y 随x 的增大而增大
C ．对称轴为直线1x =
D ．函数的最小值是5
-【答案】C
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题．【详解】解：把()1,2--，()0,5-，()3,2-代入2y ax bx c =++，
得：2
5932a b c c a b c -+=-⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得∶125a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
，∴()2
22516y x x x =--=--，
∴10a =>抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，顶点坐标为()1,6-，即当1x =时，函数取最小值6-，当1x >时，y 随x 的增大而增大，故A ，B ，D 错误，C 正确，故选：C ．
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9．
《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的
倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为a ，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．【详解】解：设被称物的重量为a ，砝码的重量为1，依题意得，
2.531a =⨯，解得 1.2a =，故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
10．若关于x 的一元二次方程2210x x k +-+=没有实数根，则k 的值可以是．（写出一个即可）
【答案】1-（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况求参数．根据题意得()2
=24110k ∆-⨯⨯-+<，进行计算即可得．
【详解】解：∵一元二次方程2210x x k +-+=没有实数根，
∴()2
=24110k ∆-⨯⨯-+<，∴0k <，∴k 的值可能是1-（答案不唯一），
故答案为：1-（答案不唯一）．
11．如图所示是地球截面图，其中AB ，EF 分别表示南回归线和北回归线，CD 表示赤道，点P 表示太原市
的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬()23262326BOD ''︒∠=︒，太原市的纬度是北纬
()37323732POD ''︒∠=︒，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB 的延长线经过地心O ），则太原
市冬至正午时，太阳光线与地面水平线PQ 的夹角α的度数是
．
【答案】292'
︒【分析】设PQ 与OM 交于点K ，先由三角形内角和定理求出．292OKP '∠=︒，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】如图，设PQ 与OM 交于点K ，
∵2326BOD '∠=︒，3732POD '∠=︒，∴6058POM POD BOD '∠=∠+∠=︒，在OPK 中，180POK OPK OKP ∠+∠+∠=︒，90OPK ∠=︒，∴292OKP '∠=︒，∵PN OM ∥，∴292OKP α'∠=∠=︒，故答案为：292'︒．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．12．已知11(,)M x y ，22(,)N x y 两点都在反比例函数5
y x
-=
的图象上，且120x x >>，则1y 2y （填“>”“<”
或“=”）．【答案】<
【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】∵11(,)M x y ，22(,)N x y 两点都在反比例函数5
y x
-=
的图象上，50k =-<，且120x x >>，∴该图象在第二、四象限上，且每个分支上y 随x 的增大而增大，12,00y y <>，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，正确记忆反比例函数的性质是解题的关键．
13．如图，四边形ABCD 是平行四边形，以点B 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 和BC 于点P ，Q ；
分别以点P ，Q 为圆心，大于12
PQ 的长为半径画弧，两弧交于点H ，作射线BH 交边AD 于点E ：分别
以点A ，E 为圆心，大于
1
2
AE 的长为半径画弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 交边AD 于点F ，连接CF ，交BE 于点G ．若4CD DE =，则EG
GB
的值为．
【答案】
25
【分析】本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．先根据作图得出AE 平分ABC ∠，MN 垂直平分AE ，再根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【详解】解： 四边形ABCD 是平行四边形，
4AB CD DE ∴==，AD BC ∥，AD BC =，AEB CBE ∴∠=∠，
由作图得：AE 平分ABC ∠，MN 垂直平分AE ，
ABE CBE ∴∠=∠，AF EF =，AEB ABE ∴∠=∠，
4AB AE CD ED ∴===，2EF DE ∴=，5BC AD DE ∴==，
AD BC ，EFG BCG ∴ ∽，∴
25
EG EF GB BC ==，故答案为：2
5．
三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
14．
（满分12分）（1）计算：1
312cos 301327sin 453-⎛⎫
︒--+-+︒ ⎪⎝⎭
；（2）解一元一次不等式组：()33215126x x x x ⎧+>-⎪
⎨+-≤-⎪⎩
．
【答案】（1）2
12
+
；（2）1x ≤-【分析】（1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂、化简二次根式，再去绝对值符号、计算乘法，最后计算加减即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找大大小小找不到确定不等式组的解集；
【详解】（1）1
312cos301327sin 453-⎛⎫︒--+-+︒
⎪⎝⎭
(
)
32231332
2
=⨯
--+-+
（4分）
2
331332
=-++-+（5分）212
=+
；（6分）（2）将()332x x +>-去括号得：336x x +>-（7分）解得：92
x <；（8分）将
15126
x x
+-≤-去分母得：()()3165x x +≤--（9分）去括号得：3365x x +≤-+（10分）解得：1x ≤-；（11分）
故方程组的解集为：1x ≤-．（12分）
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、实数的运算，特殊角三角函数，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则．
15．（满分8分）中国城市基础设施的现代化程度显著提高，新技术、新手段得到广泛应用，基础设施的功
能日益增加，承载能力、系统性和效率都有了显著的提升．城市经济发展了，居民生活条件改善了，如5G 基础进设、新能源汽车充电桩、人工智能等，其中，随着人们对新能源汽车的认可，公共充电桩的需求量逐渐增大．根据巾商情报网信息：某月“特来电”“星星充电”“国家电网”“云快充”等企业投放公共充电桩的数量及市场份额的统计图如图所示
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)①将统计图中“国家电网”的公共充电桩数量和市场份额补充完整；②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是
万台．
(2)小辉收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A ，B ，C ，D 的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A ”和“D “的概率．
【答案】(1)①见解析；②2(2)
1
6
【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，求解中位数，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键；
（1）①由星星充电10万台充电桩占比20%求解总的充电桩的数量，再求解国家电网的充电桩的数量与占比即可；②根据11家企业的充电桩是数量按照从大到小顺序排列后，排在第6的数据是中位数，从而可得答案；（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，再得到符合条件的结果数，结合概率公式可得答案．【详解】（1）解：①公共充电桩的总数为1020%50÷=（万台），
∴“国家电网”的公共充电桩数量为5015105222 1.510.538----------=（万台），“国家电网”的公共充电桩的市场份额为8
100%=16%50
⨯；如图，
（2分）
②统计图中所涉及的十一种企业投放公共充电桩数量的中位数是2万台．（4分）（2）画树状图为：
（6分）
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A ”和“D “的结果数为2，（7分）所以抽取到的两张卡片恰好是“A ”和“D “的概率21
126
=
=．（8分）16．（满分8分）“日照间距系数”反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数
()1:L H H =-，其中L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，1H 为北侧楼房底层窗台至地面高度，如图
②，山坡EF 朝北，EF 长为15m ，其坡度为1:0.75，山坡顶部平地EM 上有一高为24.3m 的楼房AB ，底部A 到E 点的距离为5m ．欲在AB 楼正北侧山脚的平地FN 上建一楼房CD ，已知该楼底层窗台P 处至地面C 处的高度为1.1m ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少多远?
【答案】要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少30m 远
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点E 作EH CF ⊥，垂足为点H ，根据EF 的坡度为1:0.75，设4m EH x =，则3m FH x =，求得3x =，进而求得1,,L H H 的长，根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式
14
1.2536.3 1.1
CF +≥-，解不等式即可．
【详解】解：过点E 作EH CF ⊥，垂足为点H （1分）
90H ∴∠=︒，在Rt EFH △中，EF 的坡度为1:0.75，4
3
EH FH ∴
=，（2分）设4m EH x =，则3m FH x =，2222(4)(3)5m EF EH FH x x x ∴=+=
+=，
（3分）15m EF =Q ，515m x ∴=，3x =，39m FH x ∴==，412m EH x ==．（4分）
9514L CF FH EA CF CF ∴=++=++=+，（5分）
24.31236.3H AB EH =+=+=，1 1.1H =，（6分）
由题意得：14 1.2536.3 1.1CF +≥-解得：30CF ≥（7分）
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C 距F 处至少30m 远
（8分）17．（满分10分）如图1，AB 是O 的一条弦，BC 是O 的切线．AD 是O 的直径．E 是AB 上一动点，过点E 作直线EF AD ⊥于点G ，交BC 于点H ．
(1)求证BH EH =．(2)如图2，若E 是AB 的中点．8AB =，103
BH =，求AG 的长．
【答案】(1)见解析(2)16
3
AG =【分析】（1）本题考查等腰三角形的性质和判定和切线的性质，连接OB ，利用切线性质和等角的余角相等，再结合题干的条件证明HBE HEB ∠=∠，即可解题．（2）本题考查等腰三角形性质、勾股定理和相似三角形的性质和判定，作HM BE ⊥于点M ，利用等腰三角形性质、勾股定理和题干的条件，求得HM 、BM 、EM 、AE ，再证明AGE HME ∽△△，利用相似比，即可解题．
【详解】（1）解：连接OB ，如图所示：
BC 是O 的切线．90OBH ∴∠=︒，90HBE OBA ∴∠+∠=︒，（1分）
直线EF AD ⊥于点G ，有90A GEA ∠+∠=︒，（2分）
GEA HED ∠=∠ ，90A HEB ∴∠+∠=︒，（3分）
OA OB = ，A OBA ∴∠=∠，HBE HEB ∴∠=∠，BH EH ∴=．（4分）
（2）解：作HM BE ⊥于点M ，如图所示：90HMB HME ∴∠=∠=︒，（5分）
BH EH = ，BM EM ∴=，
（6分） E 是AB 的中点，8AB =，4AE BE ∴==，2BM EM ∴==，（7分）
103BH = ，2283
HM BH BM ∴=-=，（8分）90AGE HME ∠=∠=︒ ，则AEG HEM ∠=∠，AGE HME ∴∽△△，（9分）
AE AG ME HM ∴=，有4823
AG =，解得163AG =．（10分）18．（满分10分）如图1，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x
=（0,0k x ≠>）在第一象限内的图象经过点D 、E ，(1)点F 为对角线OB 上一点，
满足2OF BF =，点()6,E m 在边BC 上，且1tan 2
BOC ∠=，求反比例函数解析式；(2)在（1）的条件下，反比例函数上是否存在点Q ，满足:2:1OBC OBQ S S = ，若存在，求点Q 的横坐标；(3)我们把有一个内角为45︒的三角形称为“美好三角形”，这个45︒的内角称为“美好角”，这个角的两边称为“美好边”，如图2，若点B 的坐标为()2,1，则当ODE 为“美好三角形”时，直接写出反比例函数表达式中k 的值．
【答案】(1)8y x =；(2)存在，点Q 的横坐标为3732+或3732-+，理由见解析；(3)5412
-+或10．【分析】（1）过F 作FH x ⊥轴于H ，由矩形的性质得90BCO FHO ∠=∠=︒，根据相似三角形的判定和性质得4OH =，根据三角函数的定义得到2FH =，求得()4,2F ，代入即可；
（2）分情况①当Q 在OB 下方时，②当Q 在OB 上方时讨论即可得解；（3）分45DOE ∠=︒和45OED ∠=︒两种情况讨论，构造全等三角形，然后根据交点坐标及直线解析式求出k 的值即可．
【详解】（1）如图，过F 作FH x ⊥轴于H ，
∵四边形OABC 是矩形，∴90BCO FHO ∠=∠=︒，∴FH BC ∥，
∴OHF OCB ∽，∴OF OH OB OC
=，（1分）∵2OF BF =，点()6,E m ，∴6OC =，∴
263OH =，∴4OH =，∵1tan 2FH BOC OH ∠==，∴2FH =，∴()4,2F ，∴428k =⨯=，∴反比例函数解析式为8y x
=；（2分）（2）存在，理由：
①当Q 在OB 下方时，满足:2:1OBC OBQ S S = ，则需平行OB 且过OC 中点的直线，
找OC 中点P ，过1PQ OB 交反比例函数图象于点1Q ，
由（1）得：()4,2F ，∴直线OB 解析式为：12
y x =，∵()6,B m ，∴()6,0C ，则点()3,0P ，∴设直线1PQ 为12y x a =
+，∴1032a =⨯+，解得：32a =-，∴直线1PQ 为1322
y x =-，（3分）联立13228y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得37327334x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或37327334x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩
（舍去）∴点1Q 的横坐标为3732+；（4分）②当Q 在OB 上方时，满足:2:1OBC OBQ S S = ，则需平行OB 且过OA 中点的直线，
找OA 中点M ，过2MQ OB ∥交反比例函数图象于点2Q ，
同（1）理：直线OB 解析式为：12
y x =，∵()6,B m ，∴3m =，∴点()0,3A ，∴30,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则直线2MQ 为1322y x =+，（5分）联立13228y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得37327334x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
或37327334x y ⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩（舍去）∴点2Q 的横坐标为3732-+，综上可知：点Q 的横坐标为
3732+或3732
-+；（6分）（3）∵()2,1B ，(),1D k ，2,2k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，①如图，当45DOE ∠=︒时，作EM OE ⊥，交OD 延长线于点M ，作MN BC ⊥，交CB 延长线于N ∴OEM △是等腰直角三角形，∴=OE EM ，
∵90OEC EOC ∠+∠=︒，90OEC MEN ∠+∠=︒，∴EOC MEN ∠=∠，
又∵90OCE ENM ∠=∠=︒∴()AAS OCE ENM ≌，∴EN OC =，MN EC =，（7分）
∴2,222k k M ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭，设直线OD 的解析式为y gx =，∴1kg =，解得：1g k =，∴直线OD 的解析式为x y k =
，∴12222k k k ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：5412k -+=或5412
k --=（负值舍去），（8分）②当45OED ∠=︒，作OG OE ⊥，交ED 延长线于点G ，过点G 作GH x ⊥轴于点H ，
同理①可证：GHO OCE ≌，∴OH EC =，GH OC =，∴,22k G ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，（9分）设直线DE 的解析式为y sx t =+，
∴62122k s t ks t k s t ⎧-+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩，解得：10124k s t =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩或43734k s t ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩
（不合题意，舍去）综上，符合条件的k 的值为5412
-+或10．（10分）【点睛】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
B 卷（共50分）
一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）19．如果2320a a +-=，那么代数式2231393a a a a -⎛⎫+⋅ ⎪-+⎝⎭的值为．
【答案】12
/0.5【分析】先算括号里，再算括号外，然后把2a 3a +的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：2
2313()93a a a a -+⋅-+2333(3)(3)a a a a a +--=⋅+-23(3)(3)a a a a a -=⋅+-1(3)a a =+213a a =+，2320a a +-= ，232a a ∴+=，∴原式12
=，故答案为：12．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，
()()()()211111a a a a a a -=-+-=-+．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解31a -=
=．
【答案】()()()2111a a a a a -+-+-()()
211a a a -++【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．
【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子：
()()()()()()2111111111a a a a a a a a a a a ⨯⨯-+⨯⨯⨯---+⨯=+-+-；
原式两边提取1a -，可得原式()()211a a a =-++．
故答案为：()()()2111a a a a a -+-+-；()()211a a a -++．
【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键．
21．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A ，B ，C 三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中
的豆子数依次为m ，n ，3
4
n m -，则估计图中a 的值为
【答案】1
【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可．
【详解】解：A 区域面积为22π24πcm ´=，B 区域面积为()2
2π224π=12πcm ´+-，C 区域面积为()()()
2222π22π22=8ππcm a a a ´++-´++，
又 落在这三个区域中的豆子数依次为m ，n ，34
n m -，
4π112π3m n \==，即3n m =，238ππ44πn m a a m -+\=，解得：121,9a a ==-（不合题意，舍去），故答案为：1．
22．如图，抛物线213222
y x x =--与x 轴交于,A B 两点，抛物线上点C 的横坐标为5，D 点坐标为()3,0，连接,AC CD ，点M 为平面内任意一点，将ACD 绕点M 旋转180︒得到对应的A C D '''△（点,,A C D 的对应点分别为A '，C '，D ¢），若A C D '''△中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C '的坐标为
（点C '
不与点A 重合）【答案】533,2
8⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()2,3-【分析】根据题意，分别求出点,A C 的坐标，设(,)M m n ，根据旋转的性质，可用含,m n 的式子表示出对应点,,A C D '''的坐标，分类讨论，①当点,A C ''在抛物线213222
y x x =--上时；②当点,A D ''在抛物线213222y x x =--上时；③当点,C D ''在抛物线213222
y x x =--上时；列二元一次方程组并求解即可．【详解】解：抛物线213222y x x =
--与x 轴交于,A B 两点，令0y =，∴2132022
x x --=，解得，11x =-，24x =，∴(1,0)A -，(4,0)B ，∵点C 的横坐标为5，∴213552322
y =⨯-⨯-=，即(5,3)C ，∵将ACD 绕点M 旋转180︒得到对应的A C D '''△（点,,A C D 的对应点分别为A '，C '，D ¢），且(1,0)A -，
(5,3)C ，()3,0D ，∴设(,)M m n ，根据旋转的性质，则点A 与点A '关于点M 中心对称，点C 与点C '关于点M 中心对称，点D 与点D ¢关于点M 中心对称，
∴()21,2A m n '+，()25,23C m n '--，(23,2)D m n '-，
①当点,A C ''在抛物线213222
y x x =--上时，如图所示，()()()()2213212122221325252232
2m m n m m n ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪----=-⎪⎩，解方程组得，232m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则C '的坐标为(1,0)-，与点A 重合，不符合题意；②当点,A D ''在抛物线213222
y x x =--上时，如图所示，()()()()2213212122221323232222m m n m m n ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，解方程组得，54916m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，∴点59,416M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则C '的坐标为533,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，符合题意；③当点,C D ''在抛物线213222
y x x =--上时，如图所示，
()()()()2213252522322132323222
2m m n m m n ⎧----=-⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩，解方程组得，720m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴点7,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则C '的坐标为()2,3-，符合题意；综上所示，点C '的坐标为533,2
8⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()2,3-，故答案为：533,2
8⎛⎫-- ⎪⎝⎭或()2,3-．【点睛】本题主要考查二次函数图形与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，旋转的性质求点坐标，解二元方程组是解题的关键．
23．在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AD 边上一动点(不与端点重合)，将ABE 沿BE 翻折，点A 落在点H 处，直线EH 交CD 于点F ，连接BF ，BE ，BF 分别与AC 交于点P 、Q ，连接PD ，PF ．则以下结论中正确的有________(写出所有正确结论的序号)．①PB PD =；②2EFD FBC ∠=∠；③PQ AP QC =+；④BPF △为等腰直角三角形；⑤若连接DH ，则DH 的最小值为424-．
【答案】①②④⑤
【分析】①正确．由正方形ABCD 的性质可证明SAS BCP DCP ≌（）
，可得结论；②正确．证明CFB EFB ∠=∠，推出90CBF CFB ∠∠=︒＋，推出22180CBF CFB ∠∠=︒＋，由2180EFD CFB ∠∠=︒＋，可得结论；③错误．可
以证明PQ PA CQ <＋；④正确．利用相似三角形的性质证明90BPF ∠=︒，可得结论；⑤正确．求出BD ，BH ，根据DH BD BH ≥-，可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴CB CD =，190452
BCP DCP ∠=∠=⨯︒=︒，在BCP 和DCP 中CB CD BCP DCP CP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()SAS BCP DCP ≌
△△，∴PB PD =，故①正确；∵ABE 沿BE 翻折，点A 落在点H 处，直线EH 交CD 于点F ，
∴ABE BHE ≌，则BH AB BC ==，90BHF BCF ∠=∠=︒，
∵BF BF =，∴()HL BHF BCF ≌，则HBF CBF ∠=∠，
∵ABE HBE ∠=∠，∴190452
EBF HBE HBF ∠=∠+∠=⨯︒=︒，∵45QCF EBF ∠=∠=︒，PQB FQC ∠=∠，
∴PQB FQC ∽，则BQ PQ CQ FQ =，BPQ CFQ ∠=∠，∴BQ CQ PQ FQ
=，∵PQF BQC ∠=∠，∴PQF BQC ∽，则QPF QBC ∠=∠，
∵90QBC CFQ ∠+∠=︒，∴90BPF BPQ QPF ∠=∠+∠=︒，
∴45PBF PFB ∠=∠=︒，∴PB PF =，则BPF △为等腰直角三角形，故④正确；
∵90BPF BPQ QPF ∠=∠+∠=︒，∴90EPF ∠=︒，
∵90EDF ∠=︒，∴P ，E ，D ，F 四点共圆，∴PEF PDF ∠=∠，∵PB PD PF ==，∴PDF PFD ∠=∠，∵180AEB DEP ∠∠=︒＋，180DEP DFP ∠∠=︒＋，∴AEB DFP ∠=∠，∴AEB BEH ∠=∠，∵BH EF ⊥，∴90BAE BHE ∠=∠=︒，∵BE BE =，∴()AAS BEA BEH ≌，∴AB BH BC ==，∵90BHF BCF ∠∠=︒，BF BF =，∴()Rt Rt HL BFH BFC ≌，∴BFC BFH ∠=∠，∵90CBF BFC ∠∠=︒＋，∴22180CBF CFB ∠∠=︒＋，
∵2180EFD CFH EFD CFB ∠∠=∠∠=︒＋＋，∴2EFD CBF ∠=∠，故②正确，
将ABP 绕点B 顺时针旋转90︒得到BCT ，连接QT ，
∴ABP CBT ∠=∠，∴90PBT ABC ∠=∠=︒，∴45PBQ TBQ ∠=∠=︒，
∵BQ BQ =，BP BT =，∴()SAS BQP BQT ≌，∴PQ QT =，
∵QT CQ CT CQ AP <=＋＋，∴PQ AP CQ <＋，故③错误，连接BD ，DH ，
∵224442BD =+=，4BH AB ==，∴424DH BD BH ≥-=-，
∴DH 的最小值为424-，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
24．
（满分8分）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含A 、B 两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台A 型机器人和1台B 型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台B 型机器人先工作5小时后，再加入1台A 型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各处理垃圾多少吨？
分析可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系．
由图可得如下的数量关系：
①1台A型10小时的垃圾处理量1
+台B型10小时的垃圾处理量5
=吨；
②________+________5
=吨．
（2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题．
（3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对A、B两款机器人的报价如下表：
型号A型B型
报价（万元／台）2014
若垃圾处理厂采购的这批机器人（A、B两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？
【答案】（1）1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量
（2）1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨
（3）当采购A型机器人66台，B型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元
【分析】（1）根据第二个线段图可以得到解答；
（2）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨，由题意得到关于x、y的二元一次方程组并解方程组即可；
（3）设采购A型机器人t台，由题意可以用t表示B型机器人的台数，并求得t的取值范围．然后用t表示出采购费用，根据一次函数的增减性即可得解．
【详解】解：（1）根据第二个线段图可得：
1台A型8小时的垃圾处理量1+台B型13小时的垃圾处理量5=吨；
故答案为：1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量；（2分）
（2）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨，
则：
10105
8135
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解之可得：
0.3
0.2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，（3分）
经检验，
0.3
0.2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是原方程组的解，且符合题意，
答：1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨；（4分）
（3）设采购A 型机器人t 台，则采购B 型机器人200.3100 1.50.2
t t -=-（台），则：()100 1.5800.3200.2100 1.520t t t t ⎧-+≤⎪≤⎨⎪-≤⎩
，解之可得：4066t ≤≤（t 为整数），（5分）
由题意可知，采购费用为：()2014100 1.51400w t t t =+-=-+，（6分）
∵10-<，∴w 随t 的增大而减小，
∴当66t =时，采购费用最低，为1400661334-=（万元），（7分）
此时100 1.51t -=台，即采购A 型机器人66台，B 型机器人1台，
答：当采购A 型机器人66台，B 型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元．（8分）
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的增减性是解题关键．
25．
（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于B C ，两点（B 在C 的左边），交y 轴正半轴于点3A OA OB OC ==，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D 在抛物线上，E 在抛物线的对称轴上，以A B D E ，，，为顶点的四边形是平行四边形，且AB 是此平行四边形的一条边，求点D 的坐标；
(3)抛物线的对称轴交x 轴于点G F ，在对称轴上，且在第二象限，2FG BC =，不平行于y 轴的直线l 分别交线段BF CF ，（不含端点）于M N ，两点，直线l 与抛物线只有一个公共点，求证：MF NF +的值是个定值．
【答案】(1)223y x x =--+(2)D 的坐标为()4,5--或()2,5-；(3)证明见解析
【分析】（1）先求解A 的坐标，再求解B ，C 的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）设()1,E t -，()2,23D n n n --+，而AB DE ∥，分两种情况讨论：当平行四边形为平行四边形ABDE ，
当平行四边形为平行四边形ABED ，再结合平行四边形的性质可得答案；
（3）先求解()1,8F -，直线FB 为412y x =+，直线FC 为44y x =-+，设直线MN 为y kx e =+，由()2230x k x e +++-=有两个相等的实数根，可得()21234e k =
++，求解直线MN 为()21234
y kx k =+++，再求解M ，N 的坐标，结合勾股定理进行计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线23y ax bx =++，
当0x =时，3y =，即3OA =，()0,3A ，∵3OA OB OC ==，∴1OC =，3OB =，∴()3,0B -，()1,0C ，（1分）
∴933030
a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线为：223y x x =--+；（2分）（2）∵抛物线223y x x =--+，∴对称轴为直线()
2121x -=-=-⨯-，设()1,E t -，()2,23D n n n --+，而AB DE ∥，()0,3A ，()3,0B -，（3分）
由平行四边形ABDE 的性质可得：
2013233n t n n +=--⎧⎨=--++⎩
，解得：42n t =-⎧⎨=-⎩，∴()4,5D --，（4分）由平行四边形ABED 的性质可得：
231323n t n n -=-⎧⎨+=--+⎩
，解得：28n t =⎧⎨=-⎩，∴()2,5D -；综上：D 的坐标为()4,5--或()2,5-；（5分）
（3）∵抛物线223y x x =--+，∴对称轴为直线()
2121x -=-
=-⨯-，∵4BC =，2FG BC =，∴8FG =，即()1,8F -，设直线FB 为y mx n =+，∴308m n m n -+=⎧⎨-+=⎩，解得：412m n =⎧⎨=⎩
，∴直线FB 为412y x =+，（6分）同理可得：直线FC 为44y x =-+，设直线MN 为y kx e =+，
∴223
y kx e y x x =+⎧⎨=--+⎩，∴结合题意可得：223x x kx e --+=+即()2230x k x e +++-=有两个相等的实数根，∴()21234e k =++，∴直线MN 为()21234
y kx k =+++，（7分）。