【5套打包】锦州市初三九年级数学上期中考试检测试题(含答案解析)

新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(含答案)
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦 当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
2
．若0x
=是关于
x 的一元二次方程2
2
(
1)3
10k x x k +--+=（k 为系数）的根，则k 的值为（ ） A ．k =1
B ．k =－1
C ．k ≠1
D ．k =±1
3．某县为解决大班额问题，对学校进行扩建，计划用三年时间对全县学校进行扩建和 改造，2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的平均增长率相同，预计2018 年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的平均增长率为（ ） A ．20%、﹣220%
B ．40%
C ．﹣220%
D ．20%
4．下列关于圆的叙述正确的有（ ）
①圆内接四边形的对角互补；②相等的圆周角所对的弧相等； ③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④圆内接平行四边形是矩形． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5.二次函数2
281y x x =-+的最小值是（ ） A ．7
B ．－7
C ．9
D ．－9
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，4） B ．（1，1） C ．（1，2）
D ．（2，1）
7． 抛物线2
y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y
0）；②函数
2y ax bx c =++的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线1
2
x =
；④在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大．其中正确有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①③④
8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，且 这两个正方形的边长都为2．若正方形A 1B 1C 1O 绕点O 转动，则两个正方形重叠部分的 面积为（ ） A ．1
B ．4
C ．16
D ．2
9．若二次函数2
y x bx =+的图象的对称轴是经过（1，0）且平行于y 轴的直线，则关 于x 的方程23x bx -=的解是（ ）
A ．121
3x x =-=-， B ．1213x x ==-， C ．1213x x ==， D ．1213x x =-=， 10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD =4cm ，
则球的半径长是（ ） A ．2cm
B ．2.5cm
C ．3cm
D ．4cm
11．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交 PA 、PB 于点C 、D ，若PA =6，则△PCD 的周长为（ ） A ．8 B ．6 C ．12 D ．10 12．如图，无论x 为何值，2
y ax bx c =++恒为正的条件是（ ） A ．2
0,40a b ac >-< B ．2
0,40a b ac <-> C ．20,40a b ac >->
D ．2
0,40a b ac <-<
13
．如图，⊙M 的半径为
2，圆心M 的坐标为（3
，4
），点P 是⊙M
上的任意一点，
PA ⊥PB ，且
PA 、PB
与x 轴分别交于A 、
B 两点，若点A 、点B 关于原点O
对称，则AB 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 14．如图，正三角形EFG 内接于⊙O ，其边长为O 的内接正方形ABCD 的边 长为（ ）
A B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题（共1大题，5小题，每小题3分，共15分）
15.（1）关于x 的方程2
21)20kx k x k +++=-(有实数根，则k 的取值范围是 （2）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC 、OC 相交于点E 、F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②∠AOC =∠AEC ； ③BC 平分∠ABD ； ④△CEF ≌△BED ．其中一定成立的是 （把你认为正确结论的序号都填上）． （3）如图，《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五 步，问勾中容圆径几何？”其意思是：今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股 （长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是 步． （4）如图，在同一平面内，将△ABC 绕点A 逆时针旋转40°到△AED 的位置，恰好使得 DC ∥AB ，则∠CAB 的大小为 ．
（5）如图，一段抛物线：(2)y x x =--（0≤x ≤2）记为C 1，它与x 轴交于两点O 、A 1； 将C 1绕A 1旋转180°得到C 2，交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3，交x 轴于A 3；… 如此进行下去，直至得到C 7，若点P （13，m ）在第7段抛物线C 7上，则m = ．
三、解答题（共6小题，共63分）
16．
（每小题5分，共10分）用合适的方法解一元二次方程： （1）2
(4)5(4)x x +=+ （2）231212x x -=-
17．（本小题10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，点A 为切点，BP 与 ⊙O 交于点C ，点D 是AP 的中点，连结CD ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若AB =2，∠P =30°，求阴影部分的面积．
18．（本小题10分）工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的 长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm 2 时，裁掉的正方形边长多大？
19．（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的顶点分别是A （﹣3，1） B （0，4）C （0，2）．
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A 1B 1C 1； （2）分别连接AB 1，BA 1后，求四边形AB 1A 1B 的面积．
20．（本小题11分）如图，∠BAC =60°，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，连接OB 、OC 、 BD 、CD ．
（1）求证：四边形OBDC 是菱形；
（2）当∠BAC 为多少度时，四边形OBDC 是正方形？
21．（本小题13分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2
4(0)y ax bx a =+-≠的 图象与x 轴交于点A （﹣2，0）与点C （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴 交于点D ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ， PD ，BD ，AB ．请问是否存在点P ，使得△BDP 的面积恰好等于△ADB 的面积？若存在 请求出此时点P 的坐标，若不存在说明理由．
2018—2019学年度上学期期中学业水平质量调研试题
九年级数学参考答案 2018.11
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
新九年级（上）期中考试数学试题及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）
A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3 3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）
A．B．C．2 D．5
4．函数y＝﹣的图象位于（）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）
A．B．
C．D．
6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2
7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．
C．D．
9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）
A．2B．C．D．
10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）
11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC∽△AED．
12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．
13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知，求的值．
16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）指出y随x的变化情况．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．
18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：
（1）求证：AC2＝AD•AB；
（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．
六、（本题满分12分）
21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．
（1）求出y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果
各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
七、（本题满分12分）
22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．
八、（本题满分14分）
23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）
A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴对称轴是直线x＝0（y轴），
故选：C．
2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3
【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；
故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．
故选：A．
3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）
A．B．C．2 D．5
【分析】根据比例线段计算即可．
【解答】解：因为a＝5cm，b＝10mm，
所以的值＝，
故选：D．
4．函数y＝﹣的图象位于（）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
【分析】根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣2＜0，函数位于二、四象限．
【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，
根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．
故选：D．
5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪
裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2
【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，
∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，
当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，
当x＞1时，y随x的增大而增大，
故选：D．
7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，
∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，
∴＝，＝，
∴；＝，故A、D正确；
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴PF＝AE，
∵＝，
∴；故B正确；
同理，故C错误；
故选：C．
8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．
C．D．
【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k的符号，再根据k的符号确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．
【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；
B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx
﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；
C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx
﹣k的对称轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；
D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数
y＝x2+kx﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；
故选：B．
9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）
A．2B．C．D．
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，
∴AC⊥EF，AO＝CO，
在矩形ABCD，∠D＝90°，
∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，
∴CO＝，
∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，
∴△DAC∽△OFC，
∴，
∴，
∴EO＝，
∴EF＝2×＝．
故选：B．
10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．
【解答】解：点M从点A到点D的过程中，y＝＝x，（x≤3），故选项A、B、C错误，
当点M从D点使点N到点B的过程中，y＝4，（3＜x≤5），
点M到C的过程中，y＝4﹣＝﹣x+，（x＞5），故选项D正确，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：∠AED＝∠B（答案不唯一），使△ABC∽△AED．
【分析】根据∠AED＝∠B和∠A＝∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B 即可以求证△AED∽△ABC．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
故添加条件∠AED＝∠B即可以使得△AED∽△ABC，
故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．
12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 4 ．【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x ﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，
则AB＝|x2﹣x1|＝4．
13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是（2，）．
【分析】根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．【解答】解：设点P的坐标为（a，），
∵a＝，得a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴点P的坐标为（1，1），
∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，
∴AE＝DF，AE＝，
∴DF＝，
当y＝时，，得x＝2，
∴点F的坐标为（2，）．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝1或．
【分析】分两种情况，根据相似三角形的判定和性质以及翻折的性质解答即可．
【解答】解：①如图1所示，∠GA'C＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，
∵∠AA'G＝90°，
∴点A、A'、C在同一直线上，
∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠DAC，
∴△ABE∽△DAC，
∴＝，即＝，
解得：x＝1；
②如图2所示，∠A'GC＝90°，
∴∠DGC＝∠GAA'＝∠ABE，
∴△ABE∽△DGC，
∴＝，
设AE＝EA'＝EG＝x，
∴＝，
解得：x＝，或x＝3（舍去），
∴AE＝；
综上所述，x＝1或；
故答案为：1或．
三．解答题（共2小题）
15．已知，求的值．
【分析】设＝k，得到a＝3k．b＝4k，c＝6k，代入即可得到结论．
【解答】解：设＝k，
则a＝3k．b＝4k，c＝6k，
∴＝＝．
16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）指出y随x的变化情况．
【分析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标；
（2）当a＞0时，抛物线开口向上，根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标（﹣1，﹣4）；
（2）∵函数图象开口向上，其对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
四．解答题（共7小题）
17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．
【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；
（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．
【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC＝2，
∵点D为BC的中点，
∴CD＝1，
∴点D的坐标为（1，3），
代入双曲线y＝（x＞0）得k＝1×3＝3；
∵BA∥y轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，
∵点E在双曲线上，
∴y＝
∴点E的坐标为（2，）；
（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），
∴BD＝1，BE＝，BC＝2
∵△FBC∽△DEB，
∴
即：
∴FC＝
∴点F的坐标为（0，）
设直线FB的解析式y＝kx+b（k≠0）
则
解得：k＝，b＝
∴直线FB的解析式y＝
18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．
【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．
【解答】解：如图所示：
如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.5
19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①根据对称轴方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；
②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x
轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△＝52﹣4（6+k）＝0，
然后解关于k的方程即可．
【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝﹣＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则
平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52﹣4（6+k）＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：
（1）求证：AC2＝AD•AB；
（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．
【分析】（1）证明△ACB∽△ADC，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）证明△ACB∽△CDB，得到BC2＝BD•AB，与（1）中两式相加，得到答案．
【解答】证明（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB；
（2）∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴＝，
∴BC2＝BD•AB，
∴AC2+BC2＝AD•AB+BD•AB＝AB×（AD+BD）＝AB2．
21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．
（1）求出y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）销售利润之和W＝甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），
∴，
解得，
∴y2＝﹣x2+x．
（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，
∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，
∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．
22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是y＝（x﹣2）2+3 ；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．
【分析】（1）根据“反簇二次函数”定义写出所求即可；
（2）把A坐标代入y1，求出m的值，进而表示出y1+y2，根据y1+y2与y1互为“反簇二次函数”，求出a，b，c的值，确定出y2，写出满足题意的范围即可．
【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2+3；
故答案为：y＝（x﹣2）2+3；
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2﹣2m+m+2＝2，
解得：m＝2，
∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，
∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”，
∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，
∴，
解得：，
∴函数y2的表达式为：y2＝﹣4x2+8x﹣4，
当0≤x≤3时，y2的最小值为﹣16．
23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．
【分析】方法一：
（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC＝MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
方法二：
（1）略．
（2）求出点M，N的参数坐标，并得到MN的长度表达式，从而求出MN的最大值．（3）因为BM与NC相互垂直平分，所以四边形BCMN为菱形，因为MN∥BC，所以只需MN ＝BC可得出四边形BCMN为平行四边形，再利用NC⊥BM进行求解．
【解答】方法一：
解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，
根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是：y＝﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），
则M（x，﹣x+1），P（x，0）．
∴MN＝PN﹣PM
＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）
＝﹣x2﹣x
＝﹣（x+）2+，
则当x＝﹣时，MN的最大值为；
（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，
即四边形BCMN是菱形，
则MN＝BC，且BC＝MC，
即﹣x2﹣x＝，
且（﹣x+1）2+（x+3）2＝，
解x2+3x+2＝0，得：x＝﹣1或x＝﹣2（舍去）．
故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．
方法二：
（1）略．
（2）设N（t，﹣），
∴M（t，﹣t+1），
∴MN＝NY﹣MY＝﹣+t﹣1，
∴MN＝﹣，
当t＝﹣时，MN有最大值，MN＝．
（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．∴NC⊥BM且MN＝BC＝，
即﹣＝，
∴t1＝﹣1，t2＝﹣2，
①t1＝﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），
∴K NC＝＝2，
∵K AB＝﹣，
∴K NC×K AB＝﹣1，
∴NC⊥BM．
②t2＝﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），
∴K NC＝＝，K AB＝﹣，
∴K NC×K AB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．
∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．
新人教版九年级（上）期中模拟数学试卷(答案)
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2.观察下列汽车标志，其中是中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
3.x=2不是下列哪一个方程的解（）
A. B. C. D.
4.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.若一元二次方程x2=m有解，则m的取值为（）
A. 正数
B. 非负数
C. 一切实数
D. 零
6.函数y=（m+2）x+2x+1是二次函数，则m的值为（）
A. B. 0 C. 或1 D. 1
7.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）
A. B.
C. D.
8.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线的对称轴是
C. 当时，y的最大值为4
D. 抛物线与x轴的交点为，
9.若三角形的两边长分别是4和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角
形的周长是（）
A. 13
B. 16
C. 12或13
D. 11或16
10.如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的
是（）
A. 点B和点E关于点O对称
B.
C. △ ≌△
D. △与△关于点B中心对称
11.如图所示，△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，则下
列结论成立的有（）
①AE=AC；②∠EAC=∠BAD；⑧BC∥AD；④若连接BD，则
△ABD为等腰三角形
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12.二次函数y=ax2+bx+c中，b=4a，它的图象如图所示，有以
下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③b2-4ac＜0；④abc＜0；
⑤4a＞c．其中正确的是（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13.已知一元二次方程2x2+x+m=0的一个根是1，则m的值是______．
14.在直角坐标系中，点（-3，6）关于原点的对称点是______．
15.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价
的百分率为x，根据题意可列方程是______．
16.若抛物线y=-x2-8x+c的顶点在x轴上，则c的取值是______．
17.把二次函数y=x2+2的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象
对应的解析式为______．
18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到
△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则∠B=______度．
三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）
19.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．
20.如图，A（-1，0）、B（2，-3）两点在一次函数y2=-x+m与二次函数y1=ax2+bx-3的图
象上
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围．
四、解答题（本大题共5小题，共46.0分）
21.用适当的方法解下列方程
（1）（y+3）2-81=0
（2）2x（3-x）=4（x-3）
（3）x2+10x+16=0
（4）x2-x-=0
22.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比
赛，问应邀请多少个球队参加比赛？
23.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
24.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1
元，其销售量就减少10个．为了赚得8000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？
25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，
得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A、2x-y=1，是二元一次方程，故此选项错误；
B、x+3xy+y2=2，是二元二次方程，故此选项错误；
C、=，是一元二次方程，正确；
D、x2+=3，含有分式，故此选项错误．
故选：C．
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握方程定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】
解：A、不是中心对称图形，本选项错误；
B、不是中心对称图形，本选项错误；
C、是中心对称图形，本选项正确；
D、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：C．
结合中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后两部分重合．
3.【答案】D
【解析】
解：A，当x=2时，方程的左边=3×（2-2）=0，右边=0，
则左边=右边，
故x=2是A中方程的解；
B，当x=2时，方程的左边=2×22-3×2=2，右边=2，。