北师大版八年级数学下册专题-1.1

2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.1等腰三角形的性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2020秋•长春期末)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为()
A．30°B．25°C．15°D．10°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB，再根据等腰三角形的性质求出∠BCD，再根据角的和差关系即可求解．
【解析】在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝(180°﹣60°)÷2＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝75°﹣60°＝15°．
故选：C．
2．(2020秋•建华区期末)下列四个说法：
①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；
②等腰三角形的两腰上的中线长相等；
③等媵三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周长为20或25．
其中正确的个数为()
A．1个B．2C．3D．4
【分析】根据直角三角形性质即可判断①，画出图形证△BDC ≌△CEB ，即可判断②，根据直角三角形性质即可判断根据等腰三角形的三线合一性质即可判断③，根据三角形的三边关系定理即可判断④．
【解析】如图1，∵在△ABD 中，∠BDA ＝90°，则AC ＝AB ≥BD ，
∴等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故①错误；
如图2，∵AB ＝AC ，AD ＝DC ，AE ＝EB ，
∴DC ＝BE ，∠DCB ＝∠EBC ．
在△BDC 和△CEB 中，
{BC =BC ∠BCD =∠CBE CD =BE
，
∴△BDC ≌△CEB (SAS )．
∴BD ＝CE ，故②正确；
∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故③错误；
∵等腰三角形的一边长为5，一边长为10，
∴只能三边是10，10，5，
∴它的周长是25，故④错误．
故选：A ．
3．(2020秋•喀什地区期末)下列说法错误的是( )
A ．等腰三角形的两个底角相等
B ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C ．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
D ．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．
【解析】A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；
B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；
C.
过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，
∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴OM＝ON，ON＝OQ，
∴OM＝ON＝OQ，
即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；
D.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EAC＝∠B+∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．(2020秋•香坊区期末)等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为() A．10B．13C．17D．13或17
【分析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，②当等腰三角形的三边长是3，7，7，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合，求出三角形的周长即可．
【解析】①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；
②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的
周长是3+7+7＝17；
综合上述：三角形的周长是17，
故选：C．
5．(2020秋•武都区期末)已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是() A．65°，65°B．80°，50°
C．65°，65°或80°，50°D．不确定
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，分为两种情况：①当底角∠B＝50°时，②当顶角∠A ＝50°时，根据∠B＝∠C和三角形的内角和定理求出即可．
【解析】
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；
②当顶角∠A＝50°时，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C=1
2
×(180°﹣∠A)＝65°；
即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，
故选：C．
6．(2020秋•肇州县期末)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为()
A．20°B．22.5°C．25°D．30°
【分析】可设∠C＝x，根据等腰三角形的性质可得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的
性质可得∠EDB＝25°+1
2x，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠A＝12.5°+
1
4x，再根
据三角形内角和为180°，列出方程即可求解．
【解析】设∠C＝x，根据等腰三角形的性质得∠EBC＝x，则∠DBE＝130°﹣x，根据等腰三角形的性质
得∠EDB＝25°+1
2x，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得∠A＝12.5°+
1
4x，
依题意有12.5°+1
4x+x+130°＝180°，
解得x＝30°．
故选：D．
7．(2020秋•崆峒区期末)如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于()
A．54°B．60°C．72°D．76°
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质，由角的和差关系可求∠BCO，再根据等腰三角形的性质可求∠B．
【解析】∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝36°，
∵BC∥AO，
∴∠BCA＝∠A＝36°，
∴∠BCO＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝72°．
故选：C．
8．(2020秋•松桃县月考)若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为() A．40°100°B．70°70°
C．40°100°或70°70°D．以上都不对
【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【解析】①当这个角为顶角时，底角＝(180°﹣40°)÷2＝70°；
②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；
综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．
故选：C ．
9．(2020秋•西湖区校级期中)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α，点D 在BC 上，且BD ＝BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE ＝CA ，则∠DAE 的大小为( )
A ．α
B ．34α
C ．23α
D ．12α 【分析】由AB ＝BD ，AC ＝C
E ，可得∠BAD ＝∠BDA ，∠E ＝∠CAE ，设∠BAD ＝∠BDA ＝x ，∠E ＝∠
CAE ＝y ，∠DAC ＝z ，则{x +z =αx =z +2y ，解得y +z ＝35°，由此即可解决问题．
【解析】∵AB ＝BD ，AC ＝CE ，
∴∠BAD ＝∠BDA ，∠E ＝∠CAE ，
设∠BAD ＝∠BDA ＝x ，∠E ＝∠CAE ＝y ，∠DAC ＝z ，
则{x +z =αx =z +2y ，
解得y +z =12α，
∴∠DAE ＝∠DAC +∠CAE =12α；
故选：D ．
10．(2020秋•江州区期中)已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm ，则腰长为( )
A ．5cm
B ．10cm
C ．11cm
D ．5cm 或11cm 【分析】根据分成的两个部分的周长的差等于腰长与底边的差，再分两种情况求出腰长，然后根据三角形的三边关系判断即可．
【解析】设腰长为xcm ，
根据题意得x ﹣8＝3或8﹣x ＝3，
解得x ＝11或x ＝5，
当x＝11时，三角形的三边分别为11cm、11cm、8cm，能组成三角形，
当x＝5时，三角形的三边分别为5cm、5cm、8cm，能组成三角形．
综上所述，腰长为5cm或11cm．
故选：D．
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上
11．(2020秋•沙河口区期末)等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是12cm．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解析】当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，舍去；
当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．
故答案为：12cm．
12．(2020秋•南关区期末)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝CD．若∠BAD＝40°，则∠C 的大小为35度．
【分析】在△ABD中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后利用∠ADB 是三角形ADC的一个外角即可求得答案．
【解析】∵AB＝AD，∠BAD＝40°，
∴∠B＝∠ADC=1
2(180°﹣40°)＝70°，
∵在三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，∴∠BDA＝∠DAC+∠C，
又∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C=1
2
×70°＝35°，
故答案为：35．
13．(2020秋•讷河市期末)已知等腰三角形的一个外角等于130˚，则它的顶角等于50˚或80˚．
【分析】等腰三角形的一个外角等于130°，则等腰三角形的一个内角为50°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解析】∵等腰三角形的一个外角等于130˚，
∴与其相邻的内角为50°．
当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；
当50°为底角时，其他两角为50°、80°．
所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．
故答案为：50°或80°．
14．(2020秋•宽城区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC的大小为72度．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以得到∠ABC和∠ACB的度数，再根据BD平分∠ABC，即可得到∠ABD的度数，然后根据∠BDC＝∠A+∠ABD，即可得到∠BDC的度数．
【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故答案为：72．
15．(2020秋•香坊区期末)如图，△ABC中，点P、点Q是边BC上的两个点，若BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠P AC的度数为90°．
【分析】根据等边三角形的性质，得∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，再根据等腰三角形的性质和三角
形的外角的性质求得∠BAP＝∠CAQ＝30°，从而求解．
【解析】∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°，
∴∠P AC＝∠P AQ+∠QAC＝60°+30°＝90°，
故答案为：90．
16．(2020秋•绿园区期末)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是80°．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，由外角性质可得∠O＝25°，即可求解．
【解析】∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，
∴∠DEC＝2∠O，
∴∠BDE＝∠O+2∠DEC＝3∠O＝75°，
∴∠O＝25°，
∴∠DCE＝∠DEC＝50°，
∴∠CDE＝80°，
故答案为：80°．
17．(2020秋•二道区期末)我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为90度．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解析】∵k＝2，
∴设顶角＝2α，则底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴该等腰三角形的顶角为90°，
故答案为：90．
18．(2020秋•定西期末)如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA 、OB 上分别取点A 1、B 1，使OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在A 1B 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2＝B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律下去，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n +1B n B n +1＝θn ，则θn ＝ (2n −1)⋅180°+α
2n ．(用含α的式子表示)
【分析】设∠A 1B 1O ＝x ，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x ＝180°，x ＝180°﹣θ1，即可求得θ1=180°+α2，同理求得θ2=180°+θ12
，即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案． 【解析】设∠A 1B 1O ＝x ，
则α+2x ＝180°，x ＝180°﹣θ1，
∴θ1=180°+α2
， 设∠A 2B 2B 1＝y ，
则θ2+y ＝180°①，θ1+2y ＝180°②，
①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，
∴θ2=180°+θ12=(22−1)⋅180°+α2
2， …
θn =(2n
−1)⋅180°+α2n ． 故答案为：(2n −1)⋅180°+α
2n ．
三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(2020秋•南关区期末)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝40°．求：
(1)∠ADC的大小；
(2)∠BAD的大小．
【分析】由已知AB＝AC，D是BC边上的中点，可得AD为三角形的高，在直角三角形中，可求解各个角的大小．
【解析】(1)∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；
(2)∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°．
20．(2020秋•莫旗期末)如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
【分析】由BD＝CD得∠BCD＝∠CBD，由AB＝BC＝AD得∠ABD＝∠ADB＝2∠DBC，∠A＝∠C，从而可推出∠ABC＝3∠C，根据三角形的内角和定理即可求得∠C的度数，从而不难求得∠ABC的度数．【解析】∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD，
设∠BCD＝∠CBD＝x°，
∵AB＝BC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，
∴∠ABC＝3∠C＝3x°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180，
解得x＝36，
∴∠C＝36°
∴∠ABC＝3∠C＝108°．
21．(2020秋•船营区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC 的度数．
【分析】由条件可先求得∠DAE，再根据等腰三角形的性质可求得∠ADC，则可求得∠EDC．
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝28°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE=1
2(180°﹣∠DAE)=
1
2
×(180°﹣28°)＝76°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．
22．(2020秋•乐亭县期末)若a、b是△ABC的两边且|a﹣3|+(b﹣4)2＝0
(1)试求a、b的值，并求第三边c的取值范围．
(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．
(3)若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为(2x﹣20)°试求此三角形各内角度数．
【分析】(1)利用非负数的性质可求得a、b的值，根据三角形三边关系可求得c的范围；
(2)分腰长为3或4两种情况进行计算；
(3)分这两个内角一个为顶角和两个都是底角三种情况，结合三角形内角和定理可求得x，可得出三个角
的度数．
【解析】(1)∵|a﹣3|+(b﹣4)2＝0，
∴a＝3 b＝4，
∵b﹣a＜c＜b+a，
∴1＜c＜7；
(2)当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系，周长为10；
当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11；
综上可知等腰三角形的周长为10或11；
(3)当底角为x°、顶角为(2x﹣20)°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+x+2x﹣20＝180，
解得x＝50，
此时三个内角分别为50°、50°、80°；
当顶角为x°、底角为(2x﹣20)°时，则根据三角形内角和为180°可得
x+2x﹣20+2x﹣20＝180，
解得x＝44，
此时三个内角分别为44°、68°、68°；
当底角为x°、(2x﹣20)°时，则等腰三角形性质可得
x＝2x﹣20，
解得x＝20，
此时三个内角分别为20°、20°、140°；
综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．23．(2020秋•萧山区月考)在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AD＝4，点E是AB的中点，连接DE．
(1)求∠B的度数；
(2)求三角形BDE的面积．
【分析】(1)根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理就可求解；
(2)根据等腰三角形的三线合一的性质，得到AD是等腰△ABC底边BC上的高，根据中线的性质求得答
案即可．．
【解析】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C=1
2(180°﹣∠BAC)＝45°；
(2)∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，
∵点E是AB的中点，
∴S△AED＝S△BED=1
2S△ABD=
1
2
×12AD•BD=12×12×4×4＝4．
24．(2020秋•朝阳区校级期中)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD ＝AE．
(1)如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为22.5°；
(2)如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明．
【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
【解析】(1)∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，
∴∠BAD＝45°，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，
∴∠2＝22.5°；
故答案为：22.5°．
(2)∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．。