【成才之路】高中数学 1.3.2全集与补集同步测试 北师大版必修1
成才之路·北师大版数学必修1-3.2
第三章 §2一、选择题1.若(1-2x )-56 有意义,则x 的取值范围是( )A .x ∈RB .x ≠12C .x >12D .x <12[答案] D[解析] (1-2x )-56=16(1-2x )5,要使(1-2x )-56有意义,则需1-2x >0,即x <12.2.以下化简结果错误的是( )[答案] D[解析] ,故选项D 错误.3.下列各式中成立的是( ) A .(mn )7=n 7m 17B .12(-3)4=3-3 C.4x 3+y 3=(x +y ) 34D .39=33[答案] D[解析] (m n )7=(mn -1)7=m 7n -7,A 错;12(-3)4=1234=33,B 错;(x 3+y 3) 14 ≠(x +y ) 34 ,C 错.4.将3-22化为分数指数幂的形式为( )A .212B .-212 C .2-12D .-2-12[答案] B [解析] 原式=5.已知x 12 +x -12 =5,则x 2+1x的值为( )A .5B .23C .25D .27[答案] B[解析] x 2+1x =x +1x=x +x -1=(x 12 +x -12 )2-2=52-2=23. 故选B.6.计算(2a -3b -23 )·(-3a -1b )÷(4a -4b -53 )得( )A .-32b 2B .32b 2C .-32b 73D .32b 73[答案] A.二、填空题7.0.25×(-12)-4-4÷20-(116)-12 =________.[分析] 本小题考查分数指数幂的运算,利用运算性质,运用法则即可求解. [答案] -4[解析] 原式=14×(-12)-4-4÷1-1(116)12=14×(12)-4-4-(16) 12 =4-4-4=-4.8.若a =5b 3(a >0,b >0),则b =________(用a 的分数指数幂表示).[答案] a 53[解析] 由于a =5b 3=b 35 ,所以a 5=b 3,因此b =a 53 .三、解答题9.(1)已知3a 2+b =1,求9a ·3b3a 的值..[解析] (1).∵32a +b =1,∴9a ·3b3a =3. (2)原式==425b 12 .一、选择题1.下列命题中,正确命题的个数是( ) ①na n =a②若a ∈R ,则(a 2-a +1)0=0③3x 4+y 3=x 43+y④3-5=6(-5)2 A .0 B .1 C .2 D .3[答案] A[解析] ①中当a <0,n 为偶数时,na n ≠a ,故①错;③中3x 4+y 3=(x 4+y 3)13≠x 43+y ,故③错;④中3-5<0,6(-5)2>0,故④错; ②中a ∈R ,a 2-a +1>0, ∴(a 2-a +1)0=1,故②错,故选A.2.(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A .a 16B .a 8C .a 4D .a 2 [答案] C[解析] (36a 9)4·(63a 9)4=(3a 32)4·(6a 3)4=(a 12 )4·(a 12 )4=a 4.二、填空题3.设函数f 1(x )=x 12 ,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2014)))=________.[答案]12014[解析] f 1(f 2(f 3(2014)))=f 1(f 2(20142))=f 1((20142)-1)=((20142)-1) 12 =2014-1=12014.4.若2-x 有意义,则x 2-4x +4-|3-x |化简后的结果是________. [答案] -1[解析] ∵2-x 有意义,∴2-x ≥0. ∴x ≤2.∴x 2-4x +4-|3-x |=|x -2|-|3-x |=(2-x )-(3-x )=-1. 三、解答题5.已知x 12 +x -12 =3,求的值.[解析] ∵x 12 +x -12 =3, ∴两边平方,得(x 12 +x -12 )2=9,∴x +x -1=7.对x +x -1=7两边平方,得x 2+x -2=47.将x 12 +x -12 =3两边立方,得 x 32 +x -32 +3(x 12 +x -12 )=27. 即x 32 +x 32 =18.∴原式=47-218-3=4515=3.6.化简下列各式:(1);(2)a 3b 2·3ab 2(4a b)43b a(a >b ,b >0).[分析] 在指数式运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式..[点评] 这种混合运算的题型,运算的关键是化简顺序:先乘方、再乘除,最后做加减,步步紧扣运算法则,同时应注意将系数和字母分开计算.7.已知a 、b 是方程x 2-6x +4=0的两根,且a >b >0,求a -ba +b的值. [解析] ∵a 、b 是方程x 2-6x +4=0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b =6ab =4. (a -b a +b )2=a +b -2ab a +b +2ab =6-246+24=15, ∵a >b >0,∴a >b , ∴a -ba +b=15=55.。
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[答案] B
[解析] 由二次函数解析式y=-3x2+90x=-3(x-15)2+
675可知,当x=15时,y取最大值.
第二章第一§章4 第§21课时
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4.函数y=3x2-6x+1,x∈[0,3]的最大值是________,最 小值是________.
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销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得 最大利润?
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3.某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为
y=-3x2+90x,要使利润获得最大值,则产量应为( )
A.10件
B.15件
C.20件
D.30件
④抛物线有最低点,
④抛物线有最高点,
当4acx-=b-2 2ba时,y 有最小值,ymin= ___4_a_______
当 x=4-ac2b-a时b2,y 有最大值,ymax =______4_a_____
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成才之路北师大数学必修1同步测试:第三章指数函数和对数函数322
第三章 §2 2.2一、选择题1.如果x >y >0,则x y y xy y xx 等于( )A .(x -y )yxB .(x -y )xyC .(x y )y -xD .(x y)x -y[答案] C[解析] 原式=x y -x ·y x -y =(xy )y -x .2.已知m >0,则m 13 ·m 23=( )A .mB .m 13 C .1 D .m 29[答案] A[解析] 由于m >0,所以m 13 ·m 23=m 13+23=m 1=m .3.若a >0,n 、m 为实数,则下列各式中正确的是( ) A .a m ÷a n =a m nB .a n ·a m =a m ·nC .(a n )m =a m +n D .1÷a n =a 0-n[答案] D[解析] 由指数幂的运算法则知1÷a n =a 0÷a n =a 0-n 正确.故选D. 4.计算(-78)0+(18)-13 +4(3-π)4的结果为( )A .π-5B .π-1C .πD .6-π[答案] C [解析] 原式=1+1(18)13+π-3=π. 5.化简-a ·3a 的结果是( ) A.5-a 2B .-6-a 5C.6-a 5 D .-6a 5[答案] B[解析] 由题意可知a ≤0, 则-a ·3a =(-a )12 ·a 13 =-(-a )12 ·(-a )13=-(-a )56=-6(-a )5=-6-a 5.6.以下化简结果错误的是( )A .a 25·a -13·a -115=1B .(a 6·b -9)-23 =a -4·b 6C .(-2x 14·y -13)(3x -12·y 23)(-4x 14·y 23)=24yD.-15a 12·b 13·c -3425a -12·b 13·c 54=-35ac [答案] D[解析] -15a 12·b 13·c -3425a -12·b 13·c 54=-35ac -2, 故选项D 错误. 二、填空题 7.设函数f 1(x )=x 12,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2015)))=________.[答案] 12015[解析]f 1(f 2(f 3(2015)))=f 1(f 2(20152))=f 1((20152)-1)=((20152)-1)12=2015-1=12015.8.设2x =8y +1,9y =3x -9,则x -y =________.[答案] 15[解析] 由已知可得2x =(23)y +1,(32)y =3x -9,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3y +3=x ,2y =x -9,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =21,y =6. 于是x -y =15. 三、解答题9.求下列各式的值(1)⎝⎛⎭⎫2790.5+0.1-2+⎝⎛⎭⎫21027-23 -3π0+3748; (2)⎝⎛⎭⎫-338-23 +(0.002)-12 -10(5-2)-1+(2-3)0. (3)3xy 2xy -1·xy ·(xy )-1.[解析] (1)原式=⎝⎛⎭⎫25912 +10.12+⎝⎛⎭⎫6427-23 -3+3748=53+100+916-3+3748=100. (2)原式=(-1)-23⎝⎛⎭⎫338-23 +⎝⎛⎭⎫1500-12 -105-2+1 =⎝⎛⎭⎫278-23 +(500)12 -10(5+2)+1 =49+105-105-20+1=-1679. (3)原式=(xy 2·x 12 ·y-12 )13 ·(xy )12·(xy )-1=(x 32 y 32 )13 (xy )-12=(xy )12 ·(xy ) -12=(xy )12-12=(xy )0 =1.10.(1)已知3a 2+b =1,求9a ·3b3a 的值.(2)化简(14)-12 ·(4ab -1)30.1-2(a 3b -4)12(a >0,b >0). [解析] (1)9a ·3b 3a =32a ·3b 3a 2=32a +b ÷3a2=32a +b ×3-a2=32a +b -a 2=332a +b.∵32a +b =1,∴9a ·3b3a =3. (2)原式=412·432100·a 32 ·a -32 ·b -32 ·b 2=425a 0·b 12=425b12.一、选择题1.(36a9)4·(63a9)4的结果是()A.a16B.a8C.a4D.a2[答案] C[解析](36a9)4·(63a9)4=(3a32)4·(6a3)4=(a12)4·(a12)4=a4.2.计算(2a-3b-23)·(-3a-1b)÷(4a-4b-53)得()A.-32b2 B.32b2C.-32b73 D.32b73[答案] A[解析](2a-3b-23)·(-3a-1b)÷(4a-4b-53)=2a3b23·-3ba4a4b53=-6b13a4·a4b534=-32b2.二、填空题3.若5x2·5x=25y,则y的最小值是________.[答案]-18[解析]由5x2·5x=25y得5x2+x=52y,∴2y=x2+x,即y=12x2+12x=12(x+12)2-18,∴当x=-12时,y取最小值-18.4.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=________,(2α)β=________. [答案]14215[解析] ∵α,β是方程5x 2+10x +1=0的两个根, ∴α+β=-2,α·β=15,∴2α·2β=2α+β=2-2=14.(2α)β=2αβ=215 .三、解答题 5.已知x 12+x -12=3,求x 2+x -2-2x 32+x -32-3的值. [解析]∵x 12+x -12 =3,∴两边平方,得(x 12+x -12)2=9,∴x +x -1=7.对x +x -1=7两边平方,得x 2+x -2=47. 将x 12+x -12=3两边立方,得 x 32 +x -32 +3⎝⎛⎭⎫x 12+x -12=27. 即x 32 +x -32 =18.∴原式=47-218-3=4515=3.6.化简下列各式: (1)1.5-13+80.25×42+(32×3)6-(-23)23; (2)a 3b 2·3ab 2(4a b )43b a(a >b ,b >0).[分析] 在指数式运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.[解析] (1)原式=(23)13 +234 ×214 +(22×33)-(23)13 =234 +14+4×27=2+108 =110(2)原式=[a 3b 2(ab 2)13]12(a 14b 12)4⎝⎛⎭⎫b a 13=a 32b (ab 2)16a 13ab 2b 13=a 32ba 16b 13a 13ab 2b 13=a 32+16 + eq \s\up4(\f(1,3)) -1b 1+ eq \s\up4(\f(1,3)) -2- eq \s\up4(\f(1,3)) =ab -1.[点评] 这种混合运算的题型,运算的关键是化简顺序:先乘方、再乘除,最后做加减,步步紧扣运算法则,同时应注意将系数和字母分开计算.7.已知a 、b 是方程x2-6x +4=0的两根,且a>b>0,求 eq \f(\r(a)-\r(b),\r(a)+\r(b)) 的值.[解析] ∵a 、b 是方程x 2-6x +4=0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b =6ab =4. (a -b a +b )2=a +b -2ab a +b +2ab =6-246+24=15, ∵a >b >0,∴a >b , ∴a -b a +b=15=55.。
成才之路北师大数学必修1同步测试:第一章集合1
第一章 §3 3.1一、选择题1.(2015·广东高考)若集合M ={-1,1},N ={-2,1,0},则M ∩N =( ) A .{0,-1} B .{0} C .{1} D .{-1,1}[答案] B[解析] M ∩N ={1},故选B.2.已知集合A ={x |x >0},B ={-1≤x ≤2},则A ∪B 等于( ) A .{x |x ≥-1} B .{x |x ≤2} C .{x |0<x ≤2} D .{x |-1≤x ≤2} [答案] A[解析] 借助数轴,易知A ∪B ={x |x ≥-1}.3.已知A ={(x ,y )|x +y =3},B ={(x ,y )|x -y =1},则A ∩B =( ) A .{2,1} B .{x =2,y =1} C .{(2,1)} D .(2,1) [答案] C[解析] 由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =3,x -y =1解得x =2,y =1, 所以A ∩B ={(2,1)}.4.集合A ={0,2,a },B ={1,a 2}.若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .4[答案] D[解析] ∵A ={0,2,a },B ={1,a 2},A ∪B ={0,1,2,4,16},∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2=16a =4,∴a =4.故选D.5.设集合A ={x |x +2=0},集合B ={x |x 2-4=0},则A ∩B =( ) A .{-2} B .{2} C .{-2,2}D .∅[答案] A[解析]A={-2},B={-2,2},∴A∩B={-2}.6.设集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},则M∩N=()A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3] D.[2,3][答案] A[解析]利用数轴分别画出集合M、N,如图:∴M∩N={x|1≤x<2}.二、填空题7.(2015·江苏高考)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________.[答案] 5[解析]A∪B={1,2,3}∪{2,4,5}={1,2,3,4,5},5个元素.8.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=________.[答案]-4[解析]如图所示,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.三、解答题9.集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.[解析](1)由题意得B={x|x≥2},又A={x|-1≤x<3},如图.∴A∩B={x|2≤x<3}.(2)由题意得,C ={x |x >-a2},又B ∪C =C ,故B ⊆C ,∴-a2<2,∴a >-4.∴实数a 的取值范围为{a |a >-4}.10.设集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |2x 2-ax +2=0},若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围.[解析] 因为A ∪B =A ,所以B ⊆A , 由已知得A ={1,2}.(1)若1∈B ,则2×12-a ×1+2=0,得a =4,当a =4时,B ={1}⊆A ,符合题意. (2)若2∈B ,则2×22-2a +2=0,得a =5. 此时B ={x |2x 2-5x +2=0}=⎩⎨⎧⎭⎬⎫2,12⃘A ,所以a =5不符合题意. (3)若B =∅,则a 2-16<0, 得-4<a <4,此时B ⊆A ,综上所述,a 的取值范围为-4<a ≤4.一、选择题1.集合A ={a 2,a +1,-1},B ={2a -1,|a -2|,3a 2+4},A ∩B ={-1},则a 的值是( ) A .-1 B .0或1 C .2 D .0[答案] D[解析] 由A ∩B ={-1},得-1∈B .因为|a -2|≥0,3a 2+4>0,所以2a -1=-1,这时a =0,这时A ={0,1,-1},B ={-1,2,4},则A ∩B ={-1}成立.2.设集合A ={x |y =x 2-4},B ={y |y =x 2-4},C ={(x ,y )|y =x 2-4}给出下列关系式:①A ∩C =∅;②A =C ;③A =B ;④B =C ,其中不正确的共有( )A .1个B .2个C .3个D .4个[答案] C[解析] 事实上A =R ,B ={y |y ≥-4},C 是点集,只有①是正确的,其余3个均不正确. 二、填空题3.已知集合A ={x |x 2+x -6=0},B ={x |x 2-2x =0},则A ∩B =________,A ∪B =________. [答案] {2} {-3,0,2}[解析] ∵A ={-3,2},B ={0,2}, ∴A ∩B ={2},A ∪B ={-3,0,2}.4.已知A ={x |a <x ≤a +8},B ={x |x <-1,或x >5},若A ∪B =R ,则a 的取值范围为________.[答案] -3≤a <-1[解析] 由题意A ∪B =R 得下图,则⎩⎪⎨⎪⎧a <-1,a +8≥5,得-3≤a <-1. 三、解答题5.已知集合A ={x |x 2+px +q =0},B ={x |x 2-px -2q =0},且A ∩B ={-1},求A ∪B . [解析] 因为A ∩B ={-1},所以-1∈A ,-1∈B , 即-1是方程x 2+px +q =0和x 2-px -2q =0的解.所以⎩⎪⎨⎪⎧ (-1)2-p +q =0,(-1)2+p -2q =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =3,q =2.所以A ={-1,-2},B ={-1,4}. 所以A ∪B ={-2,-1,4}.6.设集合A ={-2},B ={x |mx +1=0,x ∈R },若A ∩B =B ,求m 的值. [解析] ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A . ∵A ={-2}≠∅, ∴B =∅或B ≠∅.当B =∅时,方程mx +1=0无解,此时m =0.当B ≠∅时,此时m ≠0,则B ={-1m },∴-1m ∈A ,即有-1m =-2,得m =12.综上,得m =0或m =12.7.已知A ={x |a ≤x ≤-a +3},B ={x |x <-1或x >5}. (1)若A ∩B =∅,求a 的取值范围; (2)若A ∪B =R ,求a 的取值范围. [解析] (1)①当A =∅时,A ∩B =∅, ∴a >-a +3,∴a >32.②当A ≠∅时,要使A ∩B =∅,必须满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤32-a +3≤5a ≥-1,解得-1≤a ≤32.综上所述,a 的取值范围是a ≥-1.(2)∵A ∪B =R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧-a +3≥5a ≤-1,解得a ≤-2.故所求a 的取值范围为a ≤-2.。
成才之路北师大数学必修1同步测试:第三章指数函数和对数函数33
第三章 §3 3.1、3.2一、选择题1.下列函数:①y =2·3x ;②y =3x +1;③y =3x ;④y =x 3,其中指数函数的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3[答案] B[解析] ①中,3x 的系数2不是1,因此不是指数函数;②中3的指数是x +1,不是x ,因此不是指数函数;③中满足指数函数的定义,故③正确;④中函数是幂函数,故选B.2.函数y =2-x 的图像是下图中的( )[答案] B[解析] ∵y =2-x =(12)x ,∴函数y =(12)x 是减函数,且过点(0,1),故选B.3.函数y =1-2x 的定义域是( ) A .[0,+∞) B .(-∞,0] C .[1,+∞) D .(-∞,+∞)[答案] B[解析] 由题意,得1-2x ≥0,∴2x ≤1,∴x ≤0, ∴函数y =1-2x 的定义域为(-∞,0].4.已知函数f (x )=2x -1+1,则f (x )的图像恒过定点( ) A .(1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(1,1)[答案] C[解析] 代入选项易知C 正确.5.经过点(-32,827)的指数函数的解析式为( )A .y =(94)xB .y =(32)xC .y =(49)xD .y =(23)x[答案] A[解析] 将点(-32,827)代入指数函数y =a x (a >0且a ≠1)中,则a -32 =827,即(1a )32 =(23)3,所以1a =23,即a =94.6.(2014·山东高考)设集合A ={x ||x -1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( ) A .[0,2] B .(1,3) C .[1,3) D .(1,4)[答案] C[解析] 本题考查指数函数集合的运算. |x -1|<2,∴-2<x -1<2 即-1<x <3,y =2x,0≤x ≤2 ∴20≤y ≤22,即1≤y ≤4 ∴A ∩B =[1,3) 二、填空题 7.函数f (x )=a x 2+2x -3+m (a >1)恒过点(1,10),则m =________.[答案] 9[解析] ∵函数f (x )=a x 2+2x -3+m (a >1)恒过点(1,10),∴10=a 0+m ,∴m =9. 8.(2015·江苏高考)不等式2 x 2-x<4的解集为________.[答案] (-1,2)[解析] 由题意得:x 2-x <2⇒-1<x <2, 解集为(-1,2).三、解答题9.若函数y =(4-3a )x 是指数函数,求实数a 的取值范围. [解析] y =(4-3a )x 是指数函数,需满足:⎩⎪⎨⎪⎧4-3a >0,4-3a ≠1,解得a <43且a ≠1, 故a 的取值范围为{a |a <43且a ≠1}.10.已知函数f (x )=a x +x -2x +1(a >1).(1)求f (x )的定义域;(2)判断函数f (x )在(-1,+∞)上的单调性.[解析] (1)只需x +1≠0时,f (x )都有意义,故f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠-1}. (2)设x 1,x 2是(-1,+∞)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a x 1+x 1-2x 1+1-(a x 2+x 2-2x 2+1) =(a x 1-a x 2)+3(x 1-x 2)(x 1+1)(x 2+1).∵-1<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1+1>0,x 2+1>0. 又a >1,∴a x 1<a x 2,即ax 1-ax 2<0, ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). ∴函数f (x )在(-1,+∞)上是增加的.一、选择题1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于( )A .-3B .-1C .1D .3[答案] A[解析] 本题考查分段函数求值.∵f (1)=21=2,∴由f (a )+f (1)=0知 f (a )=-2. 当a >0时 2a =-2不成立. 当a <0时a +1=-2,a =-3. 2.函数y =2x+1的图像是图中的( )[答案] B[解析] x =0时,y =2;且y =2x +1的图像是y =2x 的图像向左平移1个单位得到的,为增函数.二、填空题3.若指数函数f (x )的图像经过点(2,4),则f (3)=________. [答案] 8[解析] 设f (x )=a x (a >0,且a ≠1),因为图像经过点(2,4),所以f (2)=4,即a 2=4.因为a >0且a ≠1,得a =2,即函数的解析式为f (x )=2x ,∴f (3)=23=8.4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x-1,x ≤0x 12,x >0.则满足f (x )>1的x 的取值范围是________.[答案] {x |x >1或x <-1}[解析] 由已知f (x )>1可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,2-x -1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x 12>1,解得x >1或x <-1,故{x |x >1或x <-1}.三、解答题5.已知f (x )=12x -1+a 是奇函数,求a 的值及函数的值域.[解析] ∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x )对定义域内的每一个x 都成立. 即12-x -1+a =-[12x -1+a ], ∴2a =-12-x -1-12x -1=1,∴a =12.∵2x -1≠0,∴x ≠0.∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). ∵2x >0且2x ≠1,∴2x -1>-1且2x -1≠0, ∴12x -1<-1或12x -1>0, ∴y <-12或y >12.∴f (x )的值域为(-∞,-12)∪(12,+∞).6.画出函数y =|2x -1|的图像,并利用图像回答:k 为何值时,方程|2x -1|=k 无解?有一解?有两解?[解析] 函数y =|2x -1|的图像是由函数y =2x 的图像向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的,图像如图所示.当k <0时,直线y =k 与函数y =|2x -1|的图像无交点,即方程无解;当k =0或k ≥1时,直线y =k 与函数y =|2x -1|的图像有唯一的交点,所以方程有一解; 当0<k <1时,直线y =k 与函数y =|2x -1|的图像有两个不同交点,所以方程有两解. 7.设f (x )=4x4x +2,若0<a <1,试求:(1)f (a )+f (1-a )的值;(2)f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001)的值.[解析] (1)f (a )+f (1-a )=4a 4a +2+41-a41-a +2=4a 4a +2+44a44a +2=4a 4a +2+44+2·4a =4a 4a +2+22+4a=4a +24a +2=1. (2)f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001)=[f (11001)+f (10001001)]+[f (21001)+f (9991001)]+…+[f (5001001)+f (5011001)]=500×1=500.。
【成才之路】高中数学 第1章 集合测试题 北师大版必修1
【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章集合测试题北师大版必修1本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·全国新课标Ⅱ文,1)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B =( )A.∅B.{2}C.{0} D.{-2}[答案] B[解析] ∵B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A={-2,0,2},∴A∩B={2}.2.下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={1,2},N={(1,2)}[答案] B[解析] A选项中,元素为点,且不是同一点,C,D选项中的元素,一个为点,一个为数,都不可能为同一集合,故B正确.3.若集合M={y|y=1x2},P={y|y=x-1},那么M∩P=( ) A.(0,+∞)B.[0,+∞) C.(1,+∞)D.[1,+∞)[答案] A[解析] M={y|y=1x2}={y|y>0},N={y|y≥0},故M∩P=(0,+∞),故选A.4.设集合M={-1,0,1},N={a,a2},则使M∪N=M成立的a的值是( ) A.-1 B.0C.1 D.1或-1[答案] A[解析] 由M∪N=M知N⊆M.∴a2=0或1,∴a=0,1,-1.而当a=0,1时,不满足集合中元素的互异性.∴a=1.5.下列集合中,只有一个子集的是( )A.{x∈R|x2-4=0} B.{x|x>9,或x<3}C.{(x,y)|x2+y2=0} D.{x|x>9,且x<3}[答案] D[解析] A、B、C均为非空集合,任何非空集合本身和空集都是它的子集.D为空集,空集只有一个子集即为本身,故选D.6.满足{a,b A⊆{a,b,c,d,e}的集合A的个数是( )A.5 B.6C.7 D.8[答案] C[解析] ∵{a,b A,∴集合A中含有元素a和b,且包含c、d、e三个元素中的一部分.∵A⊆{a,b,c,d,e},∴A={a,b,c},A={a,b,d},A={a,b,e},A={a,b,c,d},A={a,b,c,e},A={a,b,d,e},A={a,b,c,d,e},故选C.7.设S=R,M={x|-1<x<13},N={x|x≤-1},P={x|x≥13},则P等于( )A.M∩N B.M∪N C.∁S(M∪N) D.∁S(M∩N) [答案] C[解析] ∵M∪N={x|-1<x<13}∪{x|x≤-1}={x|x<13},∴∁S(M∪N)={x|x≥13}=P.8.设U是全集,M、P、S是U的三个子集,则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪(∁U S)C.(M∩P)∪S D.(M∩P)∩(∁U S)[答案] D[解析] 阴影部分不属于S,属于P,属于M,故选D.9.下列四个命题:①{0}是空集;②若a∈N,则-a∉N;③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素;④集合{x∈Q|6x∈N}是有限集.其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .0[答案] D[解析] ①{0}是含有一个元素0的集合,不是空集,∴①不正确. ②当a =0时,0∈N ,∴②不正确. ③∵x 2-2x +1=0,x 1=x 2=1, ∴{x ∈R |x 2-2x +1=0}={1}, ∴③不正确.④当x 为正整数的倒数时6x∈N ,∴{x ∈Q |6x∈N }是无限集,∴④不正确.10.设集合M ={x |x ≤23},a =11+b ,其中b ∈(0,1),则下列关系中正确的是( ) A .a M B .a ∉M C .{a }∈M D .{aM[答案] D[解析] 由集合与集合及元素与集合之间的关系知,显然A 、C 不正确.又因为23=12,所以当b =0时,a =11,可知11<12,而当b =1时,a =12,可知D 正确.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 11.(2013·江苏高考)集合{-1,0,1}共有________个子集. [答案] 8[解析] 共8个子集,分别为∅,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}. 12.设全集是实数集R ,M ={x |-2≤x ≤2},N ={x |x <1},则(∁R M )∩N =________. [答案] {x |x <-2}[解析] ∵M ={x |-2≤x ≤2}, ∴∁R M ={x |x <-2或x >2}. 又N ={x |x <1},∴(∁R M )∩N ={x |x <-2}.13.设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a 的值为________. [答案] 1[解析] ∵A ∩B ={3},∴3∈B . 又∵a 2+4≥4, ∴a +2=3,解得a =1.14.设集合A ={x ,y 2,1},B ={1,2x ,y },且A =B ,则x ,y 的值分别为________. [答案] 2,2[解析] 由集合相等可知,有⎩⎪⎨⎪⎧2x =x y 2=y 或⎩⎪⎨⎪⎧x =yy 2=2x ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =0y =1或⎩⎪⎨⎪⎧x =0y =0或⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =2.由集合中元素的互异性知只有x =2,y =2适合题意.15.集合M ={x |x =3k -2,k ∈Z },P ={y |y =3l +1,l ∈Z },S ={z |z =6m +1,m ∈Z }之间的关系是________.[答案] S P =M[解析] M 、P 是被3除余1的数构成的集合,则P =M ,S 是被6除余1的数,则S P . 三、解答题(本大题共6个小题,满分75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)已知全集U 为R ,集合A ={x |0<x ≤2},B ={x |x <-3或x >1}. 求:(1)A ∩B ; (2)(∁U A )∩(∁U B ); (3)∁U (A ∪B ).[解析] ∁U A ={x |x ≤0或x >2},∁U B ={x |-3≤x ≤1},A ∪B ={x |x <-3,或x >0}. ∴(1)A ∩B ={x |1<x ≤2};(2)(∁U A )∩(∁U B )={x |-3≤x ≤0}; (3)∁U (A ∪B )={x |-3≤x ≤0}.17.(本小题满分12分)设集合U ={1,2,3,4},且M ={x ∈U |x 2-5x +p =0},若∁U M ={1,4},求实数p 的值.[解析] ∵U ={1,2,3,4}, ∁U M ={1,4},∴M ={2,3},即方程x 2-5x +p =0有两实根2和3,由根与系数的关系得p =2×3=6. 18.(本小题满分12分)设数集A ={a 2,2},B ={1,2,3,2a -4},C ={6a -a 2-6},如果C ⊆A ,C ⊆B ,求a 的取值的集合.[解析] ∵C ⊆A ,C ⊆B ,∴C ⊆(A ∩B ). 又C 中只有一个元素,∴6a -a 2-6=2,解得a =2或a =4.当a=2时,a2=4,2a-4=0满足条件;当a=4时,a2=16,2a-4=4也满足条件.故a的取值集合为{2,4}.19.(本小题满分12分)已知M={x|x2-5x+6=0},N={x|ax=12},若N⊆M,求实数a所构成的集合A,并写出A的所有非空真子集.[解析] ∵M={x|x2-5x+6=0},解x2-5x+6=0得x=2或x=3,∴M={2,3}.∵N⊆M,∴N为∅或{2}或{3}.当N=∅时,即ax=12无解,此时a=0;当N={2}时,则2a=12,a=6;当N={3}时,则3a=12,a=4.所以A={0,4,6},从而A的所有非空真子集为{0},{4},{6},{0,4},{0,6},{4,6}.20.(本小题满分13分)已知A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.(1)若A∩B=A∪B,求a的值;(2)若∅A∩B,且A∩C=∅,求a的值;(3)若A∩B=A∩C≠∅,求a的值.[解析] (1)∵A∩B=A∪B,∴A=B,即x2-ax+a2-19=x2-5x+6,∴a=5.(2)由已知有B={2,3},C={-4,2}.∵∅A∩B,A∩C=∅,∴3∈A,而-4,2∉A.由32-3a+a2-19=0,解得a=-2或a=5.当a=-2时,A={3,-5},符合题意,当a=5时,A={3,2},与A∩C=∅矛盾,∴a=-2.(3)若A∩B=A∩C≠∅,则有2∈A.由22-2a+a2-19=0,得a=5或a=-3.当a=5时,A={3,2},不符合条件,当a=-3时,A={-5,2},符合条件.∴a=-3.21.(本小题满分14分)设非空集合S具有如下性质:①元素都是正整数;②若x∈S,则10-x∈S.(1)请你写出符合条件,且分别含有1个、2个、3个元素的集合S各一个.(2)是否存在恰有6个元素的集合S?若存在,写出所有的集合S;若不存在,请说明理由.(3)由(1)、(2)的解答过程启发我们,可以得出哪些关于集合S的一般性结论(要求至少写出两个结论)?[解析] (1)由题意可知,若集合S中含有一个元素,则应满足10-x=x,即x=5,故S={5}.若集合S中含有两个元素,设S={a,b},则a,b∈N+,且a+b=10,故S可以是下列集合中的一个:{1,9},{2,8},{3,7},{4,6},若集合S中含有3个元素,由集合S满足的性质可知5∈S,故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一个.(2)存在含有6个元素的非空集合S如下所示:S={1,2,3,7,8,9}或S={1,2,4,6,8,9}或S={1,3,4,6,7,9}或S={2,3,4,6,7,8}共4个.(3)答案不唯一,如:①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9};②若5∈S,则S中元素个数为奇数个,若5∉S,则S中元素个数为偶数个.。
高中数学集合1_3_2全集与补集高效测评北师大版
2016-2017学年高中数学第一章集合 1.3.2 全集与补集高效测评北师大版必修1一、选择题(每小题5分,共20分)1.若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( )A.M∪N B.M∩NC.(∁U M)∪(∁U N) D.(∁U M)∩(∁U N)解析:M∪N={1,2,3,4},M∩N=∅,(∁U M)∪(∁U N)={1,2,3,4,5,6},(∁U M)∩(∁U N)={5,6},故选D.答案: D2.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩∁U B=( )A.{3} B.{4}C.{3,4} D.∅解析:利用所给条件计算出A和∁U B,进而求交集.∵U={1,2,3,4},∁U(A∪B)={4},∴A∪B={1,2,3}.又∵B={1,2},∴{3}⊆A⊆{1,2,3}.又∁U B={3,4},∴A∩∁U B={3}.答案: A3.已知集合A={x|x<3或x≥7},B={x|x<a}.若(∁U A)∩B≠∅,则a的取值范围为( ) A.a>3 B.a≥3C.a≥7 D.a>7解析:因为A={x|x<3,或x≥7},所以∁U A={x|3≤x<7},又因(∁U A)∩B≠∅,则a>3.答案: A4.已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩∁I M=∅,则M∪N=( ) A.M B.NC.I D.∅解析:因为N∩∁I M=∅,所以N⊆M,则M∪N=M,选A.答案: A二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知集合A={x|0≤x≤5},B={x|2≤x<5},则∁A B=________.解析:∁A B={x|0≤x<2或x=5}.答案:{x|0≤x<2或x=5}6.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁U A={1,2},则实数m=________.解析: ∵U ={0,1,2,3},∁U A ={1,2}.∴A ={x |x 2+mx =0}={0,3}.∴0,3是方程x 2+mx =0的两根,∴0+3=-m ,即m =-3.答案: -3三、解答题(每小题10分,共20分)7.设A ={x |2x 2+ax +2=0},B ={x |x 2+3x +2a =0},且A ∩B ={2}.(1)求a 的值及集合A ,B ;(2)设全集U =A ∪B ,求(∁U A )∪(∁U B );(3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集.解析: (1)由交集的概念易得,2是方程2x 2+ax +2=0和x 2+3x +2a =0的公共解,则a =-5,此时A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,2,B ={-5,2}.(2)由并集的概念易得U =A ∪B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5,12,2 .由补集的概念易得,∁U A ={-5},∁U B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 .所以(∁U A )∪(∁U B )=⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5,12 .(3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5,12的所有子集:∅,⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,{-5},⎩⎨⎧⎭⎬⎫-5,12 . 8.设全集U ={a 2-2,2,1},A ={a,1},求∁U A .解析: 由补集的定义可知A ⊆U .若a =2;则a 2-2=2,集合U 中的元素不满足互异性,所以a ≠2.若a 2-2=a ,则a =2或a =-1,因为a ≠2,所以a =-1.此时,U ={-1,2,1},A ={-1,1},所以∁U A ={2}.尖子生题库☆☆☆ 9.(10分)已知集合A ={1,3,-x 3},B ={1,x +2},是否存在实数x ,使得B ∪(∁A B )=A ?实数x 若存在,求出集合A 和B ;若不存在,说明理由.解析:假设存在x,使B∪(∁A B)=A,∴B A.(1)若x+2=3,则x=1符合题意.(2)若x+2=-x3,则x=-1不符合题意.∴存在x=1,使B∪(∁A B)=A,此时A={1,3,-1},B={1,3}.。
2022高中数学 1-3-2全集与补集同步检测 北师大版必修1
1-3-2 全集与补集基础巩固一、选择题1.2022·江西文若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于A.M∪N B.M∩NC.∁U M∪∁U N D.∁U M∩∁U N[答案] D[解析] 本题主要考查集合的运算.∁U M∩∁U N={1,4,5,6}∩{2,3,5,6}={5,6}.2.设全集是实数集R,M={|-2≤≤2},N={|2或1} B.{|≥1}C.{|10}.借助数轴,∴对任意∈∁U M,必有∈∁U N又1∈∁U N但1∉∁U M,∴∁U M∁U N三、解答题9.设A={|a≤≤a+3},B={|5},当a为何值时,1A∩B≠∅;2A∩B=A;3A∪∁R B=∁R B [解析] 1A∩B≠∅,因为集合A的区间长度为3,所以由图可得a5解得a2,∴当a2时,A∩B≠∅2∵A∩B=A,∴A⊆B由图得a+35即a5时,A∩B=A3由补集的定义知:∁R B={|-1≤≤5},∵A∪∁R B=∁R B,∴A⊆∁R B由右图得错误!解得:-1≤a≤2能力提升一、选择题1.2022·安徽文集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},则S∩∁U T等于A.{1,4,5,6} B.{1,5}C.{4} D.{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 该题考查集合交集与补集运算,属基础保分题.∁U T={1,5,6},∴S∩∁U T={1,5}.2.如图所示,用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合,正确的表达式是A.A∪B∩A∩BB.∁U A∩BC.[A∩∁U B]∪[∁U A∩B]D.∁U A∪B∩∁U A∩B[答案] C[解析] 阴影有两部分,左边部分在A内且在B外,转换成集合语言就是A∩∁U B;右边部分在B内且在A外,转换成集合语言就是∁U A∩二、填空题3.设全集U=R,A={|>1},B={|+a1},如图所示,∴∁R A={|≤1}.∵B={|4a2a0,即a>-3时,B=A={1,2}.由韦达定理得错误!⇒错误!,矛盾;综上,a的取值范围是a≤-3;3∵A∩∁U B=A,∴A⊆∁U B,∴A∩B=∅;①若B=∅,则Δ2a-1+错误!。
北师大版高中数学必修一第一章3.2《全集与补集》同步测试(含解析)
《全集和补集》同步测试一.选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设集合{}110,U x x x Z =≤≤∈,{}1,3,5,7,8A =,{}2,4,6,8B =,则()UA B =( )A .{}2,4,6,7B .{}2,4,5,9C .{}2,4,6,8D .{}2,4,6,2.已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,2,3U M N ===则U C M N ⋂= ( ) A .{}2B .{}3C .{}2,3,4D .{}0,1,2,3,43.设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤,集合{}0,1,2A =,则U C A =( ) A .{}1,3-B .{}1,0-C .{}0,3D .{}1,0,3-4.设全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,3,4S T ==,则()C S T υ⋃等于( ) A .{}2,4B .{}4C .φD .{}1,3,45.设全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}2|680,A x x x x Z =-+≤∈,则UA =( ) A .{}2,3,4B .{}1,5,6C .{}4,5,6D .{}1,2,36.设012340{}{}{}123234U A B ===,,,,,,,,,,,,则()()UU A B ⋃=( )A .{}0B .{0}1,C .{014},, D .0123{}4,,,, 7.已知集合{}2|430A x x x =-+>,{}|230B x x =->,则集合()R C A B =( ) A .33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B .3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C .31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦8.已知全集{}21,2,23U a a =-+,{1,}A a =,{}C 3U A =,则实数a 等于( )A .0或2B .0C .1或2D .29.设集合,集合,若,则的取值范围是( ) A .B .C .D .10.设全集{}{}23525U A a ==,,,,-,{}5U C A =,则a 的值为( )A .2B .8C .2或8D .-2或811.设集合{}{}|2,A x x B x x a =<=,全集U R =,若R A C B ⊆,则有( ) A .0a =B .2a ≤C .2a ≥D .2a <12.已知M,N 都是U 的子集,则图中的阴影部分表示( )A .M ∪NB .∁U (M ∪N)C .(∁U M)∩ND .∁U (M∩N) 二.填空题13.已知集合{}220A x x x =-->,则RA =_____14.设全集{}1,3,5,7U =,集合{}1,5M a =-,M U ⊆,{}5,7UM =,则实数a 的值是____________.15.设全集U =R ,集合{}2|1A x x =<,{}2|20B x x x =->,则()A B =R___16.若{}{}|,23A x x a B x x =>=-<<且R AC B R =,则实数a 的范围是__三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设全集{1,2,3,4}U =,集合{2,3}=A ,{1,2,4}B =,{1,3}C =. (1)求AB ,A B ,()AC B ⋃⋂;(2)求()()U U C A C B ⋃.18.已知全集U =R ,集合{}2|340A x x x =+-≤,{}|11B x m x m =-≤≤+.(1)若1m =,求()UA B ;(2)若B A ⊆,求m 的取值范围.19.设全集1,5,33U ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,集合{}2350A x x px =+-=与集合{}23100B x x x q =++=,且13A B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭,求U C A ,U C B .20.已知全集,U R =集合{}27A x x =<<,{|4B x x =<-或}2x >,{}121,C x a x a a R =-≤<-∈,(1)求AB ;(2)若()U C C A B ⊆,求实数a 的取值范围.21.已知集合A ={}2|280,x x x x R --≤∈,B ={}2|(5)50,x x m x m x R -++≤∈ (1)若m =3,求A ∪B ;(2)设全集为R ,若B ⊆C R A ,求实数m 的取值范围.22.已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =,A U ⊆,B U ⊆,且{3,5}AB =,{4,8}U A B ⋂=,{1}UU A B ⋂=,求集合A ,B .23.已知{|33}A x x =-≤≤,{|21B x x a =-或}3x a >.设U =R ,若UA B A ⋃=,求实数a 的取值范围.参考解析1.【解析】由题得={2,4,6,9,10}U C A ,所以()UA B ⋂={}2,4,6.故选D2.【解析】∵全集U ={0,1,2,3,4},M ={0,1,2}, ∴∁U M ={3,4}.∵N ={2,3},∴(∁U M )∩N ={3}.故选B .3.【解析】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤,故{}1,0,1,2,3U =-,所以{}1,3U C A =-,故选A.4.【解析】{2,4}U C S =,()C S T υ⋃={}2,45.【解析】{}{}{}2|680,|24,2,3,4A x x x x Z x x x Z =-+≤∈=≤≤∈=,则{}U1,5,6A =.故选:B6.【解析】{4}U C A =,{0,1}U C B =, 由并集的运算得:()(){0,1,4}U U C A C B =.故选:C7.【解析】由()()24301301-+>⇒-->⇒<x x x x x 或3x >, 所以{1A x x =<或}3x >,则{}13R C A x x =≤≤,{}32302B x x x x ⎧⎫=-=>⎨⎬⎩⎭, 所以()333,322R C A B xx ⎧⎫⎛⎤⋂=<≤=⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦,故选:D 8.【解析】由题意,知22,233,a a a =⎧⎨-+=⎩则2a =.故选:D.9.【解析】{}|24(),2R R C A x x C A B a ∴=≤≤⋂≠∅∴>10.【解析】全集{}235U =,,,{}5U C A =,则{}2,3A =, 53a a ∴-=∴= 28或,故选C11.【解析】由{|2}A x x =<,解得{|22}A x x =-<<,又R A C B ⊆, 则2a ≥,满足条件R A C B ⊆.12.【解析】由题意,图中非阴影部分所表示的集合是A B ,所以图中阴影部分所表示的集合为A B 的 补集,即图中阴影部分所表示的集合为()U C AB ,故选B.13.【解析】解不等式220x x -->得12x x -或,所以{}|12A x x x =-或,所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤ 故答案为{}|12x x -≤≤。
成才之路北师大数学必修同步测试:第章测试题
第一、二章综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·新课标Ⅰ)已知集合M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N =( ) A .(-2,1) B .(-1,1) C .(1,3) D .(-2,3)[答案] B[解析] 由M ={x |-1<x <3},N ={x |-2<x <1},得M ∩N =(-1,1),选B. 2.已知集合M ={x |-2<x <3},则下列结论正确的是( ) A .2.5∈M B .0⊆MC .∅∈MD .集合M 是有限集 [答案] A[解析] 因为-2<2.5<3,所以2.5是集合M 中的元素,即2.5∈M . 3.函数y =2x -1的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( )A .(-∞,0)∪⎝⎛⎦⎤12,2 B .(-∞,2] C.⎝⎛⎭⎫-∞,12∪[2,+∞) D .(0,+∞) [答案] A[解析] ∵x ∈(-∞,1)∪[2,5) ∴x -1∈(-∞,0)∪[1,4)当x -1∈(-∞,0)时,2x -1∈(-∞,0);当x -1∈[1,4)时,2x -1∈⎝⎛⎦⎤12,2. 4.已知函数f (x )=1+x 21-x 2,则( )A .f (x )是奇函数且f (1x )=-f (x )B .f (x )是奇函数且f (1x)=f (x )C .f (x )是偶函数且f (1x )=-f (x )D .f (x )是偶函数且f (1x )=f (x )[答案] C[解析] f (-x )=1+(-x )21-(-x )2=1+x 21-x 2=f (x ),又f (1x )=1+(1x )21-(1x)2=-(1+x 21-x 2)=-f (x ).故选C. 5.抛物线y =2x 2-x +1的对称轴和顶点坐标分别是( ) A .x =12,⎝⎛⎭⎫12,78 B .x =14,⎝⎛⎭⎫14,78 C .x =12,⎝⎛⎭⎫12,74 D .x =14,⎝⎛⎭⎫14,74 [答案] B[解析] ∵y =2x 2-x +1=2⎝⎛⎭⎫x -142+78, ∴对称轴为x =14,顶点坐标为⎝⎛⎭⎫14,78. 6.设集合M ={-1,0,1},N ={a ,a 2},则使M ∪N =M 成立的a 的值是( ) A .-1 B .0 C .1 D .1或-1 [答案] A[解析] 由M ∪N =M 知N ⊆M . ∴a 2=0或1,∴a =0,1,-1.而当a =0,1时,不满足集合中元素的互异性. ∴a =-1.7.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,它可以表示为商品数量的函数,现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c (x )=20+2x +12x 2(万元),若售出一件商品收入是20万元,那么该企业为获取最大利润,应生产这种商品的数量为( )A .18件B .36件C .22件D .9件 [答案] A[解析] y =20x -c (x )=20x -20-2x -12x 2=-12x 2+18x -20.∴x =18时,y 有最大值.8.若f [g (x )]=6x +3,且g (x )=2x +1,则f (x )=( ) A .3 B .3x C .6x +3 D .6x +1[答案] B[解析] 由f [g (x )]=f (2x +1)=6x +3=3(2x +1),知f (x )=3x . 9.设集合S ={x |x >-2},T ={x |x 2+3x -4≤0},则(∁R S )∪T =( ) A .(-2,1] B .(-∞,-4] C .(-∞,1] D .[1,+∞) [答案] C[解析] 本题考查集合的运算,由条件易知∁R S ={x |x ≤-2},T ={x |-4≤x ≤1},所以(∁R S )∪T ={x |x ≤1}.10.已知集合M ={x |x =1+a 2,a ∈N +},P ={x |x =a 2-4a +5,a ∈N +},试判断M 与P 的关系是( )A .M PB .PMC .M =PD .M ⃘P ,且P ⃘M[答案] A[解析] 由题设可知M 、P 都是整数的集合,为确定它们之间的关系,可从元素与集合的关系入手,对于任意x ∈M ,则x =1+a 2=(a +2)2-4(a +2)+5.∵a ∈N +,∴a +2∈N +,∴x ∈P .这说明集合M 中的任何一个元素1+a 2(a ∈N +)都是集合P 的元素,∴M ⊆P . 又1∈P ,此时a 2-4a +5=(a -2)2+1=1,即a =2. 而1∉M ,因为此时1+a 2=1在a ∈N +时无解. ∴综合知M P .11.已知定义在R 上的奇函数f (x ),在[0,+∞)上单调递减,且f (2-a )+f (1-a )<0,则实数a 的取值范围是( )A .(32,2]B .(32,+∞)C .[1,32)D .(-∞,32)[答案] D[解析] ∵f (x )在[0,+∞)单调递减且f (x )为奇函数,∴f (x )在(-∞,0)上单调递减,从而f (x )在(-∞,+∞)上单调递减,∴f (2-a )<f (a -1), ∴2-a >a -1,∴a <32,故选D.12.如果奇函数y =f (x )(x ≠0)在x ∈(0,+∞)上,满足f (x )=x -1,那么使f (x -1)<0成立的x 的取值范围是( )A .x <0B .1<x <2C .x <2且x ≠0D .x <0或1<x <2[答案] D[解析] x <0时,-x >0.由题设f (-x )=-x -1. 又f (x )为奇函数,∴f (-x )=-f (x ), ∴f (x )=x +1.∴函数y =f (x )的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1 (x <0)x -1 (x >0),∴不等式f (x -1)<0化为⎩⎨⎧x -1<0x <0,或⎩⎪⎨⎪⎧x -1>0x -2<0. ∴x <0或1<x <2.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.设全集U =R ,集合A ={x |x <-1或2≤x <3},B ={x |-2≤x <4},则(∁U A )∪B =__________.[答案] {x |x ≥-2}[解析]由数轴得,∁U A ={x |-1≤x <2或x ≥3},再由数轴得,(∁U A )∪B ={x |x ≥-2}.14.若⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1x -y -3=0⊆{(x ,y )|y =ax 2+1},则a =________.[答案] -12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1x -y -3=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =-1,由题意知,-1=4a +1, ∴a =-12.15.函数f (x )的定义域为[0,1],则函数g (x )=f (x -a )+f (x +a )⎝⎛⎭⎫0<a <12的定义域为________. [答案] [a,1-a ][解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x +a ≤10≤x -a ≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧-a ≤x ≤1-a ,a ≤x ≤1+a .∵0<a <12,得a ≤x ≤1-a .∴g (x )的定义域为x ∈[a,1-a ].16.函数f (x )的定义域为A ,若x 1,x 2∈A ,且f (x 1)=f (x 2)时总有x 1=x 2,则称f (x )为单函数.例如,函数f (x )=2x +1(x ∈R )是单函数,下列命题:①函数f (x )=x 2(x ∈R )是单函数;②若f (x )为单函数,x 1,x 2∈A 且x 1≠x 2,则f (x 1)≠f (x 2); ③若f :A →B 为单函数,则对于任意b ∈B ,它至多有一个原像; ④函数f (x )在某区间上具有单调性,则f (x )一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )=x 2时,不妨设f (x 1)=f (x 2)=4,有x 1=2,x 2=-2,此时x 1≠x 2,故①不正确;由f (x 1)=f (x 2)时总有x 1=x 2可知,当x 1≠x 2时,f (x 1)≠f (x 2),故②正确;若b ∈B ,b 有两个原像时,不妨设为a 1,a 2,可知a 1≠a 2,但f (a 1)=f (a 2),与题中条件矛盾,故③正确;函数f (x )在某区间上具有单调性时在整定义域上不一定单调,因而f (x )不一定是单函数,故④不正确.故答案为②③.三、解答题(本大题共6个小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设全集为R ,集合A ={x |3≤x <6},B ={x |2<x <9}. (1)分别求A ∩B ,(∁R B )∪A ;(2)已知C ={x |a <x <a +1},若C ⊆B ,求实数a 取值构成的集合. [解析] (1)A ∩B ={x |3≤x <6}. ∵∁R B ={x |x ≤2,或x ≥9},∴(∁R B )∪A ={x |x ≤2或3≤x <6,或x ≥9}. (2)∵C ⊆B ,如图所示:∴⎩⎨⎧a ≥2a +1≤9,解得2≤a ≤8, ∴所求集合为{a |2≤a ≤8}.18.(本小题满分12分)已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2-4x +3.(1)求f (f (-1))的值; (2)求函数f (x )的解析式.[解析] (1)因为f (-1)=-f (1)=0, 故f (f (-1))=f (0),由奇函数的性质知f (0)=0, 从而有f (f (-1))=0.(2)当x =0时,由奇函数的性质知f (0)=0; 当x <0时,-x >0,故f (x )=-f (-x )=-[(-x )2-4(-x )+3]=-x 2-4x -3.综上所述,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3,x >0,0,x =0,-x 2-4x -3,x <0.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,已知x ≥0时,f (x )=x 2-2x . (1)画出偶函数f (x )的图像;(2)根据图像,写出f (x )的单调区间;同时写出函数的值域. [解析] (1)f (x )的图像如图所示.(2)由图得函数f (x )的递减区间是(-∞,-1),(0,1). f (x )的递增区间是(-1,0),(1,+∞),值域为{y |y ≥-1}.20.(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x 且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈[-1,1]时,不等式f (x )>2x +m 恒成立,求实数m 的取值范围. [解析] (1)设f (x )=ax 2+bx +c , 则f (x +1)=a (x +1)2+b (x +1)+c .从而,f (x +1)-f (x )=[a (x +1)2+b (x +1)+c ]-(ax 2+bx +c )=2ax +a +b , 又f (x +1)-f (x )=2x ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a =2,a +b =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1又f (0)=c =1,∴f (x )=x 2-x +1. (2)由(1)及f (x )>2x +m ⇒m <x 2-3x +1,令g (x )=x 2-3x +1,x ∈[-1,1],则当x ∈[-1,1]时,g (x )=x 2-3x +1为减函数, ∴当x =1时,g (x )min =g (1)=-1,从而要使不等式m <x 2-3x +1恒成立,则m <-1. 21.(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足: ①对任意的x ,y ∈R ,都有f (xy )=f (x )+f (y ); ②当x >1时,f (x )>0.求证: (1)f (1)=0;(2)对任意的x ∈R ,都有f (1x )=-f (x );(3)判断f (x )在(-∞,0)上的单调性. [解析] (1)证明:令x =y =1,则有 f (1)=f (1)+f (1)⇒f (1)=0. (2)对任意x >0,用1x 代替y ,有f (x )+f (1x )=f (x ·1x )=f (1)=0,∴f (1x)=-f (x ). (3)f (x )在(-∞,0)上是减函数. 取x 1<x 2<0,则x 1x 2>1,∴f (x 1x 2)>0,∵f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (1x 2)=f (x 1x 2)>0,∴f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(-∞,0)上为减函数.22.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)(a ,b ,c ∈R ),且同时满足下列条件:①f (-1)=0;②对任意实数x ,都有f (x )-x ≥0;③当x ∈(0,2)时,有f (x )≤(x +12)2.(1)求f (1);(2)求a ,b ,c 的值;(3)当x ∈[-1,1]时,函数g (x )=f (x )-mx (m ∈R )是单调函数,求m 的取值范围. [解析] (1)由f (-1)=0,得a -b +c =0,①令x =1,有f (1)-1≥0和f (1)≤(1+12)2=1,∴f (1)=1.(2)由f (1)=1得a +b +c =1② 联立①②可得b =a +c =12,由题意知,对任意实数x ,都有f (x )-x ≥0,即ax 2+(a +c )x +c -x ≥0, 即ax 2-12x +c ≥0对任意实数x 恒成立,于是⎩⎨⎧a>0Δ≤0 即 eq ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a>0,14-4ac≤0. ∵c = eq 12 -a ,∴ eq ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a>014-2a +4a2≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0(2a -12)2≤0⇒a =14, ∴a =c =14,b =12.(3)由(2)得:g (x )=f (x )-mx =14x 2+12x +14-mx =14[x 2+(2-4m )x +1]∵x ∈[-1,1]时,g (x )是单调的, ∴|-2-4m2|≥1,解得m ≤0或m ≥1. ∴m 的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞).。
【成才之路】高中数学 1-3-2全集与补集同步检测 北师大版必修1
A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{1,4}
[答案] C
[解析] 排除法:∵(∁UA)∩(∁UB)={2},
∴2∈(∁UA),∴2∉A,排除选项 A、B. 又∵(∁UA)∩B={1},∴1∈(∁UA),∴1∉A. 排除 D,故选 C.
5.如图阴影部分可表示为( )
对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,系电,力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决,机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配,料置而试时且卷,可调需保控要障试在各验最类;大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安,与全要过,加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料;中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整,中核或资对者料定对试值某卷,些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置,卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线,高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试,高方要中案求资,技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高,料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术,以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案,中;为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中,料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工,置作合调并理试且利技进用术行管,过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指:灵导在活。分。对线对于盒于调处差试,动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术,调问应试题采技,用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一,隔变需开压要处器在理组事;在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资,障料强时、电,设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料,料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与,采相要用关进高技行中术检资资查料料和试,检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。
高一数学北师大版必修1练习1.3.2全集与补集 Word版含解析
.全集与补集时间:分钟满分:分班级姓名分数一、选择题:(每小题分,共×=分).设全集={},集合={},集合={},则∩∁等于( ).{}.{}.{}.{}答案:解析:由题意知∁={},故∩∁={}∩{}={}.故选..已知全集={},集合={},={},则集合(∁)∪=( ).{}.{}.{}.∅答案:解析:依题意,知={},又={},所以()∪={}.故选..已知={},={},={},则图中阴影部分表示的集合是( ).{}.{}.{}.{}答案:解析:图中阴影部分表示的集合是∩(),而={},所以∩()={}∩{}={}.故选. .已知,为集合的非空真子集,且,不相等,若∩()=∅,则∪=( )....∅答案:解析:由∩()=∅,可知与没有公共元素,则⊆,又≠,所以,所以∪=.故选. .设为全集,下列四个命题中,不正确的是( ).若∩=∅,则(∁)∪(∁)=.若∩=∅,则==∅.若∪=,则(∁)∩(∁)=∅.若∪=∅,则==∅答案:解析:当=,=∅时,∩=∅成立,但≠,故∩=∅不一定有==∅.故应选..已知集合={>},={<},且⊆,那么实数的值可以是( )....答案:解析:由={<},得={≥}.因为⊆,可知≤,解得≤.故选.二、填空题:(每小题分,共×=分).设集合={},={},全集=∪,则集合(∩)中的元素共有个.答案:解析:因为=∪={},∩={},则(∩)={},可知其中的元素有个..已知集合={-≤<},={<-},则∩()=.答案:{-≤<}解析:因为={<-},则={≥-},所以∩()={-≤<}∩{≥-}={-≤<}..设全集=,={++=}={-+=}若(∁)∩={}.∩(∁)={},则∪=.答案:{、、}解析:∵(∁)∩={}∴∈且∉∩(∁)={}∴∈且∉∴(\\(++=-+=))∴(\\(=-=))∴={}{}∪={}三、解答题:(共分,++).已知全集={≤},集合={-<<},={-≤≤}.()求()∪;()求∩().解:易知={≤-或≤≤},={<-或<≤}.则()()∪={≤或≤≤}.()∩()={<<}..设=,集合={=-+,∈},={-≤<}.()求∩(),()∩;()求()∩(),(∩).解:因为={=-+,∈}==,所以=.又因为={-≤<},所以={<-或≥}.()∩()=∩{<-或≥}={≥},()∩=∩{-≤<}=.()()∩()=∩{<-或≥}={<-},因为∩=∩{-≤<}=,所以(∩)=..已知集合={},={},求:() ∁∪,∁(∩).()从()中你可以发现什么规律?()用()的规律解答下列问题:已知={∈-->},={∈++≤}且∪=,∩={<≤},求+的值.解:()因为∪={},所以∁∪={}.因为∩={},所以∁(∩)={};()由()可发现∁∪=∁(∩);()因为={>或<-},∁=∁(∩)={<-或>},所以={-≤≤},所以+=-(-+)+(-)×=-.。
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第一章§3 3.2全集与补集
一、选择题
1.已知全集U={0,1,2},且∁U A={2},则集合A等于( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.∅
[答案] C
[解析]∵∁U A={2},且U={0,1,2},∴A={0,1}.
2.(2015·安徽高考)设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩(∁U B)=( )
A.{1,2,5,6} B.{1}
C.{2} D.{1,2,3,4}
[答案] B
[解析]∵∁U B={1,5,6},∴A∩(∁U B)={1},∴选B.
3.(2014·辽宁高考)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}
[答案] D
[解析]A∪B={x|x≤0或x≥1},
∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.
4.设全集U={x∈Z|-1≤x≤5},A={1,2,5},B={x∈N|-1<x<4},则B∩(∁U A)=( ) A.{3} B.{0,3}
C.{0,4} D.{0,3,4}
[答案] B
[解析]∵U={-1,0,1,2,3,4,5},
B={0,1,2,3},
∴∁U A={-1,0,3,4},
∴B∩(∁U A)={0,3}.
5.如图所示,U是全集,A,B是U的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.A∩B B.A∪B
C.B∩(∁U A) D.A∩(∁U B)
[答案] C
[解析]由Venn图可知阴影部分为B∩(∁U A).
6.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是( )
[答案] B
[解析]∵M={-1,0,1},N={x|x2+x=0}={-1,0},∴N⊆M,故选B.
二、填空题
7.已知集合A={0,2,4,6},∁U A={-1,1,-3,3},∁U B={-1,0,2},则集合B=________.
[答案]{1,4,6,-3,3}
[解析]∵∁U A={-1,1,-3,3},
∴U={-1,1,0,2,4,6,-3,3},
又∁U B={-1,0,2},
∴B={1,4,6,-3,3}.
8.若全集U=R,集合A={x|x≥1}∪{x|x≤0},则∁U A=______________.
[答案]{x|0<x<1}
[解析]∵A={x|x≥1}∪{x|x≤0},
∴∁U A={x|0<x<1}.
三、解答题
9.设全集U=R,集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},求A∩B,A∪B,∁U(A∩B),∁U(A∪B).
[解析]集合A、B在数轴上表示如图所示.
A∩B={x|-1<x<2}∩{x|1<x<3}={x|1<x<2};
A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3};
∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥2};
∁U (A ∪B )={x |x ≤-1或x ≥3}.
10.设A ={x |a ≤x ≤a +3},B ={x |x <-1或x >5},当a 为何值时,(1)A ∩B ≠∅;(2)A ∩B =A ;(3)A ∪(∁R B )=∁R B .
[解析] (1)A ∩B ≠∅,因为集合A 的区间长度为3,所以由图可得a <-1或a +3>5
解得a <-1或a >2,
∴当a <-1或a >2时,A ∩B ≠∅. (2)∵A ∩B =A ,∴A ⊆B .由图得
a +3<-1或a >5.
即a <-4或a >5时,A ∩B =A .
(3)由补集的定义知:∁R B ={x |-1≤x ≤5},
∵A ∪(∁R B )=∁R B , ∴A ⊆∁R B .
由图得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≥-1a +3≤5,
解得:-1≤a ≤2.
一、选择题
1.已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集,且∁U (A ∪B )={4},B ={1,2},则A ∩(∁
U
B )=( )
A .{3}
B .{4}
C .{3,4}
D .∅
[答案] A
[解析] 由A ∪B ={1,2,3},B ={1,2},U ={1,2,3,4}知A ∩(∁U B )={3}.
2.如图所示,用集合A 、B 及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合,正
确的表达式是( )
A.(A∪B)∩(A∩B) B.∁U(A∩B)
C.[A∩(∁U B)]∪[(∁U A)∩B] D.∁U(A∪B)∩∁U(A∩B)
[答案] C
[解析]阴影有两部分,左边部分在A内且在B外,转换成集合语言就是A∩(∁U B);右边部分在B内且在A外,转换成集合语言就是(∁U A)∩B.故选C.
二、填空题
3.设全集U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0},B∁R A,实数a的取值范围为________.[答案]a≥-1
[解析]∵A={x|x>1},如图所示,
∴∁R A={x|x≤1}.
∵B={x|x<-a},要使B∁R A,则-a≤1,即a≥-1.
4.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.
[答案]12
[解析]方法一:如图,全班同学组成集合U,喜欢篮球的组成集合A,喜欢乒乓球运动的组成集合B,则A∩B中人数为:15+10+8-30=3人,∴喜欢篮球不喜欢乒乓球运动的人数为15-3=12人.
方法二:设所求人数为x,则只喜爱乒乓球运动的人数为10-(15-x)=x-5,故15+x-5=30-8⇒x=12.
三、解答题
5.已知全集U=R,A={x|-4≤x≤2},B={x|-1<x≤3},P={x|x≤0,或x≥5
2 },
(1)求A∩B;
(2)求(∁U B)∪P;
(3)求(A∩B)∩(∁U P).[解析]借助数轴,如图
(1)A∩B={x|-1<x≤2}.
(2)∵∁U B ={x |x ≤-1,或x >3}, ∴(∁U B )∪P ={x |x ≤0,或x ≥5
2}.
(3)∁U P ={x |0<x <5
2}.
(A ∩B )∩(∁U P )
={x |-1<x ≤2}∩{x |0<x <5
2}
={x |0<x ≤2}.
6.已知全集U ={1,3,x 3
+3x 2
+2x },集合A ={1,|2x -1|},如果∁U A ={0},则这样的实数x 是否存在?若存在,求出x ;若不存在,请说明理由.
[解析] ∵∁U A ={0},∴0∈U ,但0∉A , ∴x 3
+3x 2
+2x =0, ∴x (x +1)(x +2)=0, ∴x 1=0,x 2=-1,x 3=-2.
当x =0时,|2x -1|=1,A 中已有元素1,故舍去; 当x =-1时,|2x -1|=3,而3∈U ,故成立; 当x =-2时,|2x -1|=5,而5∉U ,故舍去, 综上所述,实数x 存在,且它只能是-1.
7.设全集U =R ,A ={x ∈R |a ≤x ≤2},B ={x ∈R |2x +1≤x +3,且3x ≥2}. (1)若B ⊆A ,求实数a 的取值范围; (2)若a =1,求A ∪B ,(∁U A )∩B . [解析] (1)B ={x |x ≤2,且x ≥2
3}
={x |2
3≤x ≤2},
又∵B ⊆A ,∴a ≤2
3
.
(2)若a =1,则A ={x |1≤x ≤2}, 此时A ∪B ={x |1≤x ≤2}∪{x |2
3≤x ≤2}
={x |2
3≤x ≤2}.
∵∁U A ={x |x <1或x >2},
∵(∁U A )∩B ={x |x <1,或x >2}∩{x |2
3
≤x ≤2}
2 3≤x<1}.
={x|。