数值分析简明教程课后习题答案(第二版)

0.1算法
1、 （p.11，题1）用二分法求方程013
=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不
超过10-3.
【解】 由二分法的误差估计式31
1*102
1
2||-++=≤=-≤
-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10
ln 3≈-≥
k ，因此取9=k ，即至少需
2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x
在区间[0,1]内有唯一个实根；使用
二分法求这一实根，要求误差不超过2102
1
-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x
，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且
012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.
又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.
由二分法的误差估计式211*1021
2
12||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .
两端取自然对数得6438.63219.322
ln 10
ln 2=⨯≈≥
k ，因此取7=k ，即至少需二分
0.2误差
1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：
因为111021
05.001828.0||-⨯=
<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1
2102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；
因为3
3102
10005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；
%85.17.205
.0||111=<-=
x x e r ε； %85.171.205
.0||222=<-=
x x e r ε； %0184.0718
.20005
.0||333=<-=
x x e r ε。

评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；
（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.
2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。

【解】 005.01=ε，31
1
11084.172
.2005
.0-⨯≈<
=
x r εε； 000005.02=ε，622
21084.171828
.2000005
.0-⨯≈<
=x r εε；
00005.03=ε，43
3
31096.60718
.000005
.0-⨯≈<
=
x r εε；
评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.
3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4
310184-⨯=x 的绝对误差限均为
2105.0-⨯，问它们各有几位有效数字？
【解】 由绝对误差限均为2105.0-⨯知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11=x ，有
三位；0184.02-=x 有一位；而0184.0101844
3=⨯=-x ，也是有一位。

1.1泰勒插值和拉格朗日插值
1、（p.54，习题1）求作x x f sin )(=在节点00=x 的5次泰勒插值多项式)(5x p ，并计算
)3367.0(5p 和估计插值误差，最后将)5.0(5p 有效数值与精确解进行比较。

【解】由x x f sin )(=，求得x x f
cos )()
1(=；x x f sin )()2(-=；x x f
cos )()
3(-=；
x x f sin )()4(=；x x f
cos )()
5(=；x x f sin )()6(-=，所以
)(5x p
500)5(2
00)2(00)
1(0)(!
5)()(!2)())(()(x x x f x x x f x x x f x f -++-+-+=
5)5(2)2()
1(!
5)0(!2)0()0()0(x f x f x f f ++++= 53!51
!31x x x +-=
插值误差：)(5x R 66060)6(!
61
)(!6|)sin(|)(!6|)(|x x x x x f ≤-=-=
ξξ，若5.0=x ，则 )3367.0(5p 3303742887.0!
53367.0!33367.03367.05
3≈+-=，而
566
5105.01002.2!
63367.0)3367.0(--⨯<⨯≈≈R ，精度到小数点后5位，
故取33037.0)3367.0(5=p ，与精确值 330374191.0)3367.0sin()3367.0(==f 相比
较，在插值误差的精度内完全吻合！
2、（p.55，题12）给定节点4,3,1,13210===-=x x x x ，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：
（1）234)(3
+-=x x x f ； （2）3
4
2)(x x x f -=
【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3
)
4(3)(!4)()(i i x x f
x R ξ （1）0)()
4(=x f
→ 0)(3=x R ；
（2）因为!4)()
4(=x f
，所以
)4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(!
4)
()()4(3---+=---+=x x x x x x x x f x R ξ
3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近
【解】依题意，3=n ，拉格朗日余项公式为 ∏=-=3
)
4(3)(!4)()(i i x x f
x R ξ （1） 线性插值
因为3367.0=x 在节点0x 和1x 之间，先估计误差
2
))(max())((2
)
sin())((!2)('')(1010101x x x x x x x x x x x x f x R --≤
--=--=
ξξ 42102
1201.0⨯=≤；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。

01
0)(x-x 1)
x
)(1x P [])sin()()sin()(1
)sin()sin(01100
110100101x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+--=
--+--= )(1x P [])32.0sin()3367.034.0()34.0sin()32.03367.0(02.01
-+-=
[])32.0sin(0033.0)34.0sin(0167.002
.01
⨯+⨯=
3304.0≈
（2） 抛物线插值 插值误差：
)(2x R ))()((6
)
cos())()((!3)('''210210x x x x x x x x x x x x f ----=---=
ξξ 63210102
1601.036))()(m ax (-⨯=⨯≈---≤x x x x x x
01y=(x-x 0)(x-x 1)(x-x 2)x
y 2
抛物线插值公式为：
)(2x P )sin()
)(())(()sin())(())(()sin())(()
)((202120112101200201021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----+----+----=
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-----+--=
)sin(2))(()sin())(()sin(2))((02.012011200212x x x x x x x x x x x x x x x )3367.0(2P
[])36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302
.0102
5
⨯-⨯+⨯=- [])36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302
.0102
5
⨯-⨯+⨯=- 33037439.0= 经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2=P ，与 330374191
.0)3367.0sin(=精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！
1.3分段插值与样条函数
1、（p.56，习题33）设分段多项式 ⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+=2
11
210)(2
3
2
3x cx bx x x x x x S
是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b ，c 的值. 【解】依题意，要求S(x)在x=1节点
函数值连续：
)1(1111211)1(2323+-=-⨯+⨯+⨯=+=S c b S ，
即：)1(1
=+c b
一阶导数连续： )1(12161213)1('
2
2
'
+-=+⨯⨯+⨯=⨯+⨯=S c b S ，
即：)2(1
2-=+c b
解方程组（1）和（2），得3,
2=-=c b ，即
⎩⎨⎧≤≤-+-≤≤+=211
3221
0)(2
3
23x x x x x x x x S
由于)1(221262123)1('
'''+-=⨯-⨯⨯=+⨯⨯=S S ，所以S(x) 在x=1节点的二阶
导数亦连续。

2、 已知函数2
11
x
y +=
的一组数据，2,1,0210===x x x 和2.0,5.0,1210===y y y ，（1）求其分段线性插值函数；
（2）计算)5.1(f 的近似值，并根据余项表达式估计误差。

【解】（1）依题意，将x 分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为)()(21x S x S 和，利用拉格朗日线性插值公式，求得
15.05.0010
1101)(101001011+-=⨯--+⨯--=--+--=
x x x y x x x x y x x x x x S ；
8.03.02.01
21
5.0212)(212112122+-=⨯--+⨯--=--+--=
x x x y x x x x y x x x x x S
（2） 93076923076.05
.111
)5.1(2
≈+=
f ，而 35.08.05.13.0)5.1(2=+⨯-=S ，实际误差为：05.00423.0|)5.1()5.1(|2≤=- S f 。

由4
22)
3(3
22)
2(2
2)
1()
1()
1(24)(,)
1()31(2)(,)
1(2)(x x x x f
x x x f
x x
x f
+-=+--=+-=,可知5.0)1()
2(2==f
M ，则余项表达式
5.00625.05.05.0!
2|)2)(1(|!2|
)(|)(422)2(≤==⨯≤--=M x x f x R ξ
1.4 曲线拟合
1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧=+=+=-=+7
2623531142y x y x y x y x 【解】 构造残差平方和函数如下： 2222)72()62()353()1142(),(-++-++--+-+=y x y x y x y x y x Q ，
分别就Q 对x 和y 求偏导数，并令其为零：
0)
,(=∂∂x y x Q ： )1(176=-y x ，
0)
,(=∂∂y
y x Q ： )2(48463=+-y x ，
解方程组（1）和（2），得
24176.1273
17
3486,
04029.3273
48
1746≈⨯+⨯=
≈+⨯=
y x
2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如2
bx a y += 的多项式，使之与下列数据相拟合。

【解】令2
x X =，则bX a y +=为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========)
2()1(555
125151451251251
5
1
512
51i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x y X x b x a X b X a y x b a X b a ；
依据上式中的求和项，列出下表
将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得
⎩⎨
⎧
=+=+)
2(5.36932172776995327)1(4.2715327500b a b a
97258.080115661
.7791878532753277277699553275.36932172776994.271≈=⨯-⨯⨯-⨯=
a ；
05004.08011566
7.40085953275327727769954.27153275.3693215==⨯-⨯⨯-⨯=b ；
即：2
05004.097258.0x y +=。

2.1 机械求积和插值求积
1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： ⎰-++-≈h
h
h f A f A h f A dx x f )()0()()()1(210；
⎰++≈1
0210)43
()21()41()()2(f A f A f A dx x f ；
⎰+≈1000)()0(4
1
)()3(x f A f dx x f 。

【解】 （1）令2
,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=+=+-=++)3(32)2(0
)1(220
20210h A A A A h
A A A 解得：h A h A A 34,3120===，即：⎰-++-≈h h h f f h f h
dx x f )]()0(4)([3
)(，可以
验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4
)(x x f =不成立，故公式（1）具有3次代数精度。

（2）令2
,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++)3(1627123)2(2
32)1(1
210
210210A A A A A A A A A 解得：31,32120-==
=A A A ，即：])4
3
(2)21()41(2[31)(10⎰+-≈f f f dx x f ，可以
验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4
)(x x f =不成立，故公式（2）具有3次代数精度。

（3）令x x f ,1)(=时等式精确成立，可解得：⎪⎩
⎪⎨⎧=
=324
300x A
即： ⎰+≈10)32(43)0(41)(f f dx x f ，可以验证，对2
)(x x f =公式亦成立，而对
3
)(x x f =不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

2、（p.95，习题6）给定求积节点,4
3
,4110==x x 试构造计算积分⎰=10)(dx x f I 的插值型
求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：
21)4321(24
34143
1
021
01
1
01
0=-⨯-=⋅--=⋅--=⎰⎰
x x dx x dx x x x x A ；
21)4121(24
14341
1
021
01
10
1=-⨯=⋅--=⋅--=⎰⎰
x x dx x dx x x x x A ；
插值求积公式：
⎰
∑+=
==1
)4
3(21)41(21)()(f f x f A dx x f n
k k k
①当1)(=x f ，左边=
⎰
=1
1)(dx x f ；右边=112
1
121=⨯+⨯；左=右；
②当x x f =)(，左边=
⎰
=
=1
1
02
2
1
2
1
)(x dx x f ；右边=2143214121=⨯+⨯；左=右；
③当2
)(x x f =，左边=
⎰
==1
1
033
1
31)(x dx x f ；
右边=1651692116121=⨯+⨯；左≠右；
故该插值求积公式具有一次代数精度。

2.2 梯形公式和Simpson 公式
1、（p.95，习题9）设已给出x e
x f x
4sin 1)(-+=的数据表，
分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dx x f I ⎰
⋅=1
)(的近似值。

【解】 （1）用复化梯形法：
28358
.1]72159.0)06666.155152.165534.1(200000.1[125.0)}00.1()]75.0()50.0()25.0([2)00.0({2
25.0)]
()(2)([2)]()([225.04
1
,5,1,05551
1
1105=+++⨯+⨯=+++⨯+⨯=++=+===-====∑∑-=+-=T T f f f f f T b f x f a f h
x f x f h T n a b h n b a n k k k k n k
（2）用复化辛普生法：
30939
.1]72159.010304.3888.1000000.1[121
)}00.1()50.0(2)]75.0()25.0([4)00.0({65
.0)]
()(2)(4)([6)]()(4)([65.02
1
,2,1,0221
1102
11211
02≈+++⨯=+⨯++⨯+⨯=
+++=++===-=
===∑∑∑-=-=+++-=S f f f f f S b f x f x f a f h
x f x f x f h S n a b h n b a n k k n k k k k k n k
2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分⎰=
1
dx e I x
，为使截断误差不超过5102
1-⨯，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？
【解】（1）用复化梯形法， x
e x
f x f x f b a =====)('')(')(,1,0，设需划分n 等分，则其截断误差表达式为：
e n
f n a b T I R n T 3
3
2312)01()(''max 12)(||||-=-=-=ξ； 依题意，要求5102
1
||-⨯≤
T R ，即 849.21261010211252
52
≈⨯≥⇒⨯≤-e n n
e ，可取213=n 。

（2）用复化辛普生法， x
e x
f x f x f b a =====)('''')(')(,1,0，截断误差表达式为：
4
454528802880)01()(''''max )2(180)(||||n
e
e n
f n a b S I R n S =-=-=-=ξ； 依题意，要求5102
1
||-⨯≤
S R ，即 70666.3144010102
1288054
54≈⨯≥⇒⨯≤-e n n e ，可取4=n ，划分8等分。

2.3 数值微分
1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式
)
53()]
(3)(4)([21
)(')52()]
()([21
)(')51()]()(4)(3[21
)('21022012100x f x f x f h x f x f x f h x f x f x f x f h x f +-≈+-≈-+-≈
【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为
∏≠=+-⨯+=-=n
k
j j j k k n k k k x x n f x p x f x R 0
)1()()!1()()(')(')(ξ
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，1201,2x x x x h n -=-==，则
2
02010021
00)12(03)('''))((!3)(''')()!12()()(h f x x x x f x x f x R j j ξξξ=--=-⨯+=∏=+
202101121
11)12(16)('''))((!3)
(''')()!12()()(h f x x x x f x x f x R j j j ξξξ-=--=-⨯+=∏≠=+
2
21202222
22)12(23)('''))((!3)(''')()!12()()(h f x x x x f x x f x R j j j ξξξ-=--=-⨯+=∏≠=+
2、（p.96，习题25）设已给出2
)
1(1
)(x x f +=
的数据表，
试用三点公式计算)2.1('),1.1('),0.1('f f f 的值，并估计误差。

【解】已知1.0,2.1,1.1,0.11201210=-=-====x x x x h x x x ，用三点公式计算微商：
1870
.0]2066.032268.042500.0[1.021
)]2.1(3)1.1(4)0.1([21)2.1('2170
.0]2066.02500.0[1.021
)]2.1()0.1([21)1.1('2470.0]2066.02268.042500.03[1.021)]2.1()1.1(4)0.1(3[21)0.1('-=⨯+⨯-⨯=+-≈-=+-⨯=+-≈-=-⨯+⨯-⨯=-+-≈
f f f h f f f h f f f f h f 5432)1(24
)(''';)1(6)('';)1(2)(';)1(1)(x x f x x f x x f x x f +-=⇒+=⇒+-=⇒+=，
用余项表达式计算误差
0025
.0)0.11(31.0243)(''')0.1(52
20-≈+⨯-≈=h f R ξ00125
.0)0.11(!31.024!
3)(''')1.1(5
2
21≈+⨯≈
-
=h f R ξ04967.0)
1.11(31.0243)(''')
2.1(5
2
22-≈+⨯-≈=h f R ξ 3、（p.96，习题26）设x x f sin )(=，分别取步长001.0,01.0,1.0=h ，用中点公式（52）计算)8.0('f 的值，令中间数据保留小数点后第6位。

【解】中心差商公式：h h a f h a f a f 2)()()('--+≈
，截断误差：2
!
3)(''')(h a f h R =。

可
见步长h 越小，截断误差亦越小。

(1) 9.08.0,7.08.0,1.020=+==-==h x h x h ,则
695545.0]644218.0783327.0[1
.021)]7.0sin()9.0[sin(21)8.0('≈-⨯≈-≈
h f ； (2) 81.08.0,79.08.0,01.020=+==-==h x h x h ,则
6967.0]710353.0724287.0[01
.021
)]79.0sin()81.0[sin(21)8.0('≈-⨯≈-≈h f
(3) 801.08.0,799.08.0,001.020=+==-==h x h x h ,则
6965.0]716659.0718052.0[01
.021)]799.0sin()801.0[sin(21)8.0('≈-⨯≈-≈
h f 而精确值 6967067.0)8.0cos()8.0('==f ，可见当01.0=h 时得到的误差最小。

在
001.0=h 时反而误差增大的原因是)8.0(h f +与)8.0(h f -很接近，直接相减会造成有效
数字的严重损失。

因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。

3.1 Euler 格式
1、（p.124，题1）列出求解下列初值问题的欧拉格式
)4.00(')1(2
2≤≤-=x y x y ，1)0(=y ，取2.0=h ；
)2.11(')2(2
≤≤+
⎪⎭
⎫
⎝⎛=x x y x y y ，1)0(=y ，取2.0=h ；
【解】 （1）)(2.0)('2
2221n n n n n n n n n y x y y x h y hy y y -⨯+=-+=+=+；
（2）)(2.0)(22221
n
n n n n n n n n n n x y
x y y x y x y h y y +⨯+=++=+。

2、（p.124，题2）取2.0=h ，用欧拉方法求解初值问题)6.00('2
≤≤--=x xy y y ，
1)0(=y 。

【解】欧拉格式：)(2.0)('2
21n n n n n n n n n n n y x y y y x y h y hy y y --⨯+=--+=+=+；化简后，2
12.08.0n n n n y x y y -=+，计算结果见下表。

3、（p.124，题3）取1.0=h ，用欧拉方法求解初值问题)40(211'2
2
≤≤-+=
x y x
y ，0)0(=y 。

并与精确解2
11
2x x y +=
比较计算结果。

【解】欧拉格式：)211(2.0)211(
'2
2
221n n
n n n n n n n y x y y x h y hy y y -+⨯+=-++=+=+；化简后，2
2
112
.04.0n
n n n x y y y ++
-=+，计算结果见下表。

1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。

【解】 因为)6.00(),('2
≤≤--==x xy y y x f y ，2.0=h ，且1)0(=y ，则改进的欧拉公式：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
+⨯-=--+=+=-=--+=+=+2)()(2.0)(),(2.08.0)(),(12
22
2c p n p n p n p n p n p n n c n n n n n n n n n n p y y y y x y y y x y h y y x hf y y y x y y x y h y y x hf y y 。

计算结果见下表。

3.3 龙格-库塔方法
1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y y 38'-=，2)0(=y ，试取步长2.0=h 计算)4.0(y 的近似值，要求小数点后保留4位数字。

【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧+=+=+==++++=++++)
,()
2,()2,()
,()
22
(6314
22
1312121
43211hK y x f K K h y x f K K h y x f K y x f K K K K K h
y y n n n n n
n n
n n n ； 列表求得)4.0(y 如下：
4.1 迭代法及收敛定理
1、（p.153，题1）试取10=x ，用迭代公式),2,1,0(10
220
21 =++=
+k x x x k k k ，求
方程0201022
3
=-++x x x 的根，要求准确到3
10-。

【解】 迭代计算结果列于下表
因为3891000082.0||-<≈-x x ，所以36906.19=≈*
x x 。

2、（p.153，题2）证明方程x x cos 2
1
=有且仅有一实根。

试确定这样的区间],[b a ，使迭代过程k k x x cos 2
1
1=
+对],[0b a x ∈均收敛。

【证明】设：x x g cos 21)(=，则当R x ∈时，]2
1
,21[cos 21)(-∈=x x g ，且一阶导数
x x g sin 21)('-=连续， 121|sin 21||)('|<≤-=x x g ，所以迭代过程k k x x cos 2
1
1=+对
R x ∈0均收敛。

（压缩映像定理），方程x x cos 2
1
=有且仅有一实根。

<证毕>
3、（p.153，题4）证明迭代过程k
k k x x x 1
21+=
+对任意初值10>x 均收敛于2。

【证明】设：x
x x g 1
2)(+=
，
对于任意1>x ，因为212212=⋅≥+x x x x ，所以2)(≥x g 。

一阶导数12
1
121)('2<≤-=
x x g ， 根据压缩映像定理，迭代公式k k k x x x 121+=+对任意
初值10>x 均收敛。

假设*
∞
→=x x k k lim ，对迭代式k
k k x x x 1
21+=
+两边取极限，则有***
+=x
x x 12，则()
22
=*
x ，解得2±=*x ，因2-=*x 不在1>x 范围内，须舍去。

故2=
*
x 。

<证毕>
4.2 牛顿迭代法
1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：
（1）0133
=--x x ，20=x （2）0232=+--x
e x x ，10=x
【解】 （1）设13)(3--=x x x f ，则33)('2
-=x x f ，牛顿迭代公式：
),2,1,0()
1(31
23313)(')(2
3
231
=-+=----=-=+k x x x x x x x f x f x x k k k k k k k k k k ，迭代计算过
因为231000006.0||<≈-x x ，所以879.13=≈x x 。

（2）设23)(2
+--=x
e x x x
f ，则x
e x x
f --=32)('，牛顿迭代公式：
),2,1,0(322
)1(3223)(')(2
21
=-----=
--+---=-=+k e x x e x e x e x x x x f x f x x k
k k k x k k x k x k x k k k k k k k
因为231000000.0||<≈-x x ，所以2575.04=≈x x 。

2、（p.154，题18）应用牛顿法于方程03
=-a x ，导出求立方根)0(3>a a 的迭代公式，
并证明该迭代公式具有二阶收敛性。

【证明】（1）设：a x x f -=3
)(，则2
3)('x x f =，对任意0>x ，牛顿迭代公式
2
3
231
323)(')(k
k k k k k k k k x a
x x a x x x f x f x x +=--=-=+ ,2,1,0=k （2）由以上迭代公式，有：3
lim a x x k k ==*
∞→。

设 )0(32)(23>+=x x
a
x x g **=x x g )(；0)1(32)('33=-=
=*a x x a x g ；3
42
2)(''3
a
x
a
x g a
x =
==*。

21)(!
2)
(''))((')()(*****+-+
-=-=-x x g x x x g x g x g x x k k k k ξ 3211
!2)('')(lim a x g x x x x k
k k ==--***+∞→，可见该迭代公式具有二阶收敛性。

<证毕>
5.1 线性方程组迭代公式
1、（p.170，题1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：⎩⎨⎧=+=+1
22
32121x x x x ，要求结
果有3位有效数字。

【解】 雅可比迭代公式：⎪⎪
⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=++)
1(111)2(3
13231)(1)(1)1(2)
(2)(2)1(1k k k k k k x x x x x x ，迭代计算结果列于下表。

200.0;600.02211≈≈≈≈x x x x ；
由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则误差限为
3102
1
-⨯。

高斯-赛德尔迭代公式：⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=-=+-=+++)1(111)2(3
13231)(2)1(1)1(2)
(2)(2)1(1k k k k k k x x x x x x ，迭代计算结果列于下表。

200.0;600.02211≈≈≈≈x x x x ；
2、（p.171，题7）取25.1=ω，用松弛法求解下列方程组，要求精度为
4102
1
-⨯。

⎪⎩⎪
⎨⎧-=+-=-+=+12
42043163432
32121x x x x x x x
【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：
)1(251616493~41~241169541~43~44
3~)(3)(2)
(2)1()(3)(2)(3
)(1)
1()(2)
1(3
21
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧-+=-=++=++-=+-=+++k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x
引入松弛因子，得
)2(~4541~)1(~4541~)1(~4
541~)1()1()(3)1()(3)1(3)1()(2)1()(2)1(2)1()(1)1()(1)1(1
3
3
22
1
1⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=+-=+-=+++++++++k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωωωωω
将方程组（1）代入（2），并化简
)3(82564112564525
1656429516
1541)(3)(2)
1(3
)(3)(2)1(2
)(2)(1)
1(1
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧--=++=+--=+++k k k k k k k k k x x x x x x x x x
迭代解：.1667.2,3333.3,5001.1)
17(33)17(22)
17(11≈=≈=≈=***x x x x x x
精确解：.1667.26
13
,3333.33
10
,5.12
3
321≈-
=≈=
==
x x x 5.1 线性方程组迭代公式
1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++-=+-+=-+-=-+17
7222382311387510432143213
21431x x x x x x x x x x x x x x 【解】（1）雅可比迭代公式：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+
-+-=-++=+
+-=-+-
=++++717727271823814183811838110721101)(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (1) =J G ⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----07
27
27
1810418408308
12110100，18
7
<=
∞
J G ，迭代收敛。

（2）高斯-赛德尔迭代公式：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+
-+-=-++=+
+-=-+-
=++++++++++7177272718238141838
11838110721101)1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x (2)
将方程组（1）带入（2），经化简后，得：
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=-+=+-=-+-
=++++1120399122439112012132078764193201980117161803110721101)(4)(3)1(4)(4)(3)1(3)(4)(3)1(2)(4)(3)1(1k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x (3) =-S
G G ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--
-
22439112089006419320190
016180310211010
0，15
3
<=
∞
-S
G G
，迭代收敛。

2、（p.171，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=+-=+231
221
21x x x x
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+=+-=-+11
52425235321
321321x x x x x x x x x
【解】（1）雅可比迭代：
⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=++2312)
(1)1(2
)
(2)1(1
k k k k x x x x ，13>=∞
G ,不收敛。

高斯-赛德尔迭代：
⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=+++2312)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧+=--=++5612)
(1)1(2
)(2)1(1
k k k k x x x x ，16>=∞
G ,不收敛。

（2）雅可比迭代：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
++=-+=++-=+++511515222125235)(2)(1)1(3)
(3)(1)(2)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，18>=∞
G
,不收敛。

高斯-赛德尔迭代：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=-+=++-=++++++511515222125235)1(2)1(1)1(3)(3
)1(1)(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 或 ⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧++-=++-=++-=+++5185142138225235)(3)(2)
1(3)
(3)(2)(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 18>=∞
G
,不收敛。

3、（p.171，题6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，以保证迭代过程
的收敛性。

【解】加工后结果如下：
（1）⎩⎨⎧-=+=+122321
21x x x x
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧-=-+=-+=+-11
52235425321
321321x x x x x x x x x
方程组（1）的雅可比迭代：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-
-=+-=++212132313)(1)1(2)(2)
1(1k k k k x x x x ，12
1
<=
∞
J
G ，迭代收敛。

方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-=++326132313)(1)1(2)(2)
1(1k k k k x x x x ，13
1
<=
∞
-S
G G ，迭代收敛。

方程组（2）的雅可比迭代：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧++=++-=+-=+++511
51525253515
4
5152)(2)(1)1(3
)(3)(1)
1(2
)(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，15
4
<=
∞
J G ，迭代收敛。

方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧++=++-=+-=+++12532112561251825625162525
4
5152)(3)
(2)1(3
)(3)(2)
1(2
)(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x ，125
18
<=
∞
-S G G ，迭代收敛。

6.1 高斯消元法
1、（p.198，题2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组：
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=+--=+-11
2123454
321
321321x x x x x x x x x
（2）⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++5
3367435
532321
321321x x x x x x x x x
【解】 （1）⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---
-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-↔11581211
25251
03451141211211134511124112345111215121r r r r
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⨯+-⨯7981211302103455798125151302103451181211221034535315235r r r r
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→+↔179121001130345132579121325001130345879122101130345325133213132r r r r r
所以： 13-=x ，613793
2=+=x x ,35
12
)1(36451234321=--⨯-⨯=--=x x x . （2）⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-↔5363311107435163313131074355633153274356533174353223213221r r r r r
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛→⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛→↔+-3961102507439362501107433363
2350110
7433233313
1
r r r r r
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→+-29610025074356965300250743335325
1
r r r
所以： 23=x ，159232=+-=x x ,45
6
27143674321-=+⨯-⨯-=+--=x x x .
2、（p.199，题9）计算下列三阶坡度阵的条件数：
（1）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡
514
13
14131213121
1。

【解】令：⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡
=514
13
1413121
3121
1A ，先求A -1。

⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
+-1005
141310121
121
1210001
31211100514
13
10104131210013121
12
121r r ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
--→⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→+-1031
454121
001261100013
1211100514
13
1012611000131211213
1212r r r
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--→⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→+-1801803010001261100013
1211116118010001261100013121131803212
1
r r r
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡
---→+-+-1801803010018019236010606090211180180301001801923601000131211133
123r r r r
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→+-180180301001801923601030369001122
1
r r ，所以 ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-180180301801923630369
1A
最后求得条件数为：7484086
11
)(1
=⨯=
⋅=∞
-∞
A A A cond。