高考数学总复习 4.3两角和差、二倍角公式课件 文 新人教版B版

为
π A.2
B．π
()
C．2π
D．4π
[答案(dáàn)] B
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5．已知 tanα、tanβ 是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两根，
且 α、β∈(－π2，π2)，则 α＋β 等于
()
π A.3
B．－23π
C.3π或－23π
D．－π3或23π
[答案(dáàn)] B
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一、选择题
1．已知 α∈(2π，π)，sinα＝35，则 tan(α＋π4)等于
()
1 A.7
B．7
C．－17
D．－7
[答案(dáàn)] A
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2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
[答案(dáàn)] B
等．
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• 2．解答三角高考题的策略． • (1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差
异分析”． • (2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． • (3)合理(hélǐ)转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．
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• 3．“变”为主线、抓好训练，强化变形的灵活性： • 变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名
向来看，这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以 大题的形式出现． • 2．在2009年高考中有7套试卷考查(kǎochá)此知识点．如2009全 国Ⅱ，17，估计在2011年中仍将是考查(kǎochá)的重点．
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1.两角和差的正、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ tan(α±β)＝1ta∓ntaαn±αttaannββ
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(3)在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限 于 2α 是 α 的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数 关系，同时还要注意 2α，π4＋α，4π－α 三个角的内在 联系．
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例 3 求函数 y＝2cos(x＋4π)cos(x－4π)＋ 3sin2x 的值域和最小正周期．
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2．二倍角公式： (1)sin2α＝2sinαcosα； (2)cos2α＝cos2α－sin2α ＝2cos2α－1 ＝1－2sin2α； (3)tan2α＝1－2tatannα2α.
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3．公式的变式应用： tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ) 1－tanαtanβ＝ttaannα(＋α＋taβn)β 1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α. 在应用公式时一定要注意成立条件
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[解] y＝2cos(x＋π4)cos(x－π4)＋ 3sin2x ＝cos2x＋ 3sin2x＝2sin(2x＋π6)， ∴函数 y＝cos(x＋π4)cos(x－π4)＋ 3sin2x 的值域是 [－2,2]，最小正周期是 π.
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1．本题易错点 (1)找不到角的关系不能入题. (2)把 cos(x＋π4)cos(x－π4)展开化简，导致过程繁琐．
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4．常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝α＋2 β＋α－2 β； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＋2 β＝(α－β2)－(α2－β)； (π4－x)＋(4π＋x)＝π2.
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5．asinα＋bcosα 型： asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ) 其中 φ 是与 a、b 有关的定值． 6．在三角函数的化简时一定要分析条件和结论 中的“角、名、幂、形”四个方面的差异，利用公式 化异为同.
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[解法一] 由已知 sinα＋sinβ＝1①， cosα＋cosβ＝0②， ①2＋②2 得 2＋2cos(α－β)＝1； ∴cos(α－β)＝－21. ②2－①2 得 cos2α＋cos2β＋2cos(α＋β)＝－1， 即 2cos(α＋β)〔cos(α－β)＋1〕＝－1. ∴cos(α＋β)＝－1.
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[解法二] 由①得 2sinα＋2 βcosα－2 β＝1③ 由②得 2cosα＋2 βcosα－2 β＝0④ ④÷③得 cotα＋2 β＝0， ∴cos(α＋β)＝11－ ＋ttaann22αα＋ ＋22 ββ＝ccoott22αα＋＋22 ββ＋－11＝－1.
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• 如：2α＝(α＋β)＋(α－β)；
•
2β＝(α＋β)－(α－β)．
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• 思考(sīkǎo)探究1 在例1中若改成求tanαtanβ的值呢？
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例 2 化简下列各式： 21－21 12＋12cos2αα∈(32π，2π).
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[解] 因为32π<α<2π，
2 B. 2
3 D. 2
()
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[解析] 23－－csoins27100°°＝23－－ccooss22100°° ＝3－2(－2cocso2s12100°－° 1)＝2， 选 C. [答案(dáàn)] C
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• 例1 已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos(α＋β)的值．
• 从近年高考的考查方向来看，这部分常以选择题和填空题的形 式出现，有时也以大题的形式出现，一般出现在高考试卷 (shìjuàn)的第17或18题，分值大约为15分～17分，因此能否掌 握好本节重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与 否．
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• 1．两角和与两角差的正弦(zhèngxián)、余弦、正切公式，二倍 角的正弦(zhèngxián)、余弦、正切公式在学习时应注意以下几 点：
• (1)不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要 熟悉；
• (2)善于拆角、拼凑角：如α＝(α＋β)－β， • 2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＋β＝(α＋β)＋α等；
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• (3)注意倍角的相对性； • (4)要时时(shíshí)注意角的范围； • (5)化简的方法与技巧：如切化弦，异名化同名，异角化同角
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[解] (1)由 cosα＝17，0<α<2π，得 sinα＝ 1－cos2α＝ 1－(17)2＝473 ∴tanα＝csoinsαα＝473×17＝4 3，于是 tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×(44 33)2＝－8473
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(2)由 0<β<α<π2，得 0<α－β<π2
的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等 比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键(guānjiàn)，但 题目不可太难，较特殊技巧的题目少做或不做，立足课本，掌 握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分 析比较，寻找解题规律．
6．(2009 丰都中学)如果ssiinn((αα－ ＋ββ))＝mn ，则ttaannαβ＝
m－n A.m＋n
m＋n B.m－n
()
n－m C.m＋n
n＋m D.n－m
[答案(dáàn)] B
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7．(2008 海南、宁夏)23－－csoins27100°°＝
1 A.2 C．2
• 1．本题易错点 • (1)不能灵活运用三角公式，找不到思路； • (2)要时时注意角的范围． • 2．方法(fāngfǎ)与总结 • (1)化简时一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消
元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧． • (2)角的变换如：β＝α－(α－β)．
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又∵cos(α－β)＝1134，
∴sin(α－β)＝ 1－cos2(α－β)＝ 由 β＝α－(α－β)得：
1－(1134)2＝3143
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12 所以 β＝3π.
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()
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• 3．(2009年重庆朝阳(cháoyáng)中学)已知f(sinx)＝sin3x.则
• f(cosx)＝
()
• A．sin3x
B．cos3x
• C．－sin3x
D．－cos3x
• [答案] D
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4．(2009 重庆市)函数 y＝sinx·cosx 的最小正周期
• 1．本题易错点 • (1)不能灵活认识角的倍数、半数与和差； • (2)对于两角的和差关系公式记不准(bù zhǔn)，导致不能正确变
形．
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• 2．方法(fāngfǎ)与总结
• 方法(fāngfǎ)：将sinα＋sinβ与cosα＋cosβ两式平方作和、作差是 常用方法(fāngfǎ)．同时还要注意所求式子的结构特征．角的关 系、次数关系、三角函数名称的关系
所以 12＋12cos2α＝|cosα|＝，所以 所以，原式＝sinα2.
12－12cosα＝|sinα2|＝sinα2，
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(1)化简时一定要找准解题的突破口或切入点，其 中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同 角是常用的化简技巧．
(2)公式变形 cosα＝s2isni2nαα，cos2α＝1＋c2os2α， sin2α＝1－c2os2α.
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• 最新考纲解读(jiě dú) • 1．掌握两角和差的正弦、余弦、正切公式． • 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． • 3．能正确运用公式化简三角函数式，求某些角的三角函数值．
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• 高考考查(kǎochá)命题趋势 • 1．本节内容是高考的重点之一，从近年高考的考查(kǎochá)方
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从而 cos2α＝sin(2α＋π2)
＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)
＝2×(－45)×35＝－2245
sin2α＝－cos(2α＋π2)
＝1－2cos2(α＋π4)
＝1－2×(35)2＝275.
∴cos(2α＋π4)＝
22×(－2254－275)＝－3150
2 .
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思考探究 3 (2002 年全国新课程理，天津理) 已知 cos(α＋π4)＝53，2π≤α<32π. 求 cos(2α＋π4)的值．
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又∵34π≤α＋π4<74π，cos(α＋π4)>0 ∴得32π<α＋π4<74π ∴sin(α＋π4)＝－ 1－cos2(α＋π4) ＝－ 1－(35)2＝－54.
(1)求 f(x)的最大值及相应的 x 的值； (2)若 f(θ)＝85，求 cos2(4π－2θ)的值．
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[解] (1)因为 a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)， b＝(1，sinx＋cosx)，所以 f(x)＝1＋sin2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x ＝ 2sin(2x－4π)＋1. 因此，当 2x－4π＝2kπ＋2π，即 x＝kπ＋38π(k∈Z)时， f(x)取得最大值 2＋1；
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2．方法与总结 通过模式联想，引入辅助角 asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ) ＝ a2＋b2cos(α－θ)(其中 tanφ＝ba，tanθ＝ab)在历 年高考中使用的频率是相当高的，在总复习时要以 关注．
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思考探究 2 (2008 年 1 月份广东期末试题)已知向 量 a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，函 数 f(x)＝a·b.
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(2)由 f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ 及 f(θ)＝85得 sin2θ－cos2θ＝53，两边平方得 1－sin4θ＝295，即 sin4θ＝1265. 因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1265.
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例 4 (2007 年四川文、理)已知 cosα＝17，cos(α－β)＝1134且 0<β<α<π2， (1)求 tan2α 的值； (2)求 β.