浙教版八年级数学上册第二章：特殊三角形 培优检测卷(含答案)

第2章特殊三角形培优提高卷
一、选择题。

（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．如图，等腰直角△ABC中AB=AC，将其按下图所示的方式折叠两次，若DA’=1，给出下列说法：①DC’平分∠BDA’；②BA’长为；③△BC’D是等腰三角形；④△CA’D的周长等于BC的长．其中正确的有﹙﹚
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点成为格点．已知A，B是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是﹙﹚
A．6个B．7个C．8个D．9个
(第2题) (第3题) (第4题)
3．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：
①∠CDF=α；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有﹙﹚
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
4．如图，△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以3㎝/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2㎝/s的速度想点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）
A.2.5s；
B.3s;
C.3.5s;
D.4s
请你帮他找来﹙ ﹚ A ．13，12，12
B ．12，12，8
C ．13，10，12
D ．5，8，4
6．如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE +CF 的大小关系﹙ ﹚ A ．EF =BE +CF B ．EF ＞BE +CF C ．EF ＜BE +CF D ．不能确定
(第6题) (第7题) (第8题)
7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为﹙ ﹚ A ．
67 B ．65 C ．35 D ．3
4
8．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为
2
3
，则点P 的个数为﹙ ﹚ A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=23；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=33；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2014为止，则P 1P 2014=﹙ ﹚
A ．2012＋3
B ．2013＋3
C ．2014＋3
D ．2015＋3
(第9题) (第10题)
10．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）
A.6 B .23 C .5 D .4 二、填空题。

（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．将边长为6的正方形纸片ABCD 的顶点A 沿折痕EF （E 在AB 上，F 在CD 上）折叠，A 恰好与BC 的一个三等分点G （靠近B 侧）重合，则EF =________________.
12．如图，在等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD =________________cm ．
(第12题) (第13题) (第14题)
13．如图，已知△ABC 中，AC +BC =24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为________________.
14．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，则∠ADE 的度数是________________.
15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =30°，以直角顶点A 为圆心，AB 长为半径画弧交BC 于点D ，过D 作DE ⊥AC 于点E ．若DE =a ，则△ABC 的周长用含a 的代数式表示为________________.
(第15题) (第16题)
16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是________________.
三、解答题。

（本题有8个小题，共66分）
17．在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C l与点C不重合），
（1）当∠C=60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；
（2）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；
（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．
18．探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，结论：（1）∠AEB的度数为________________；
（2）线段AD、BE之间的数量关系是________________.
应用：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
19．图（1）中，C点为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗?如图（2）C点为线段AB上一点，等边三角形ACM和等边三角形CBN在AB的异侧，此时AN与BM相等吗?如图（3）C点为线段AB外一点，△ACM，△CBN是等边三角形，AN与BM相等吗?说明理由
20．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点．DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=23，求AB，BD的长。

（2）如图1，求证：HF=EF。

（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。

21．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在BC上截取CA′=CA，连接DA′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
图1 图2
请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是△≌△；
（2）BC和AC、AD之间的数量关系是．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9．
求AB的长．
图3
22．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF．
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠A CB的平分线CF相交于F，过点F 作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？并证明这种关系．
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）
23．【问题情境】
徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：
如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC
小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）
小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．可以证得：AE=DE（如图3）请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．
【变式探究】
“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4）
AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由．
【迁移拓展】
△ABC 中，∠B =2∠C ．求证：22AC AB AB BC =+⋅．（如图5）
24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于点E ．
（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形；
（2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系；
（3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．
参考答案与详解
1．C
【解析】本题是等腰直角三角形的折叠问题，由于AB=AC，所以∠B=∠C=45°，两次折叠后，有许多相等的量，利用这些条件结合勾股定理可得出正确答案．
解：∵等腰直角△ABC中，∴AB=AC
∴∠B=∠C=45°
∵折叠
∴DA'⊥BC，DA=DA'，AB=BA'DC=DC'，∠DC'C=∠C=45°，∠DBC'=∠ABC=×45°=22.5°，C'A'=CA'
∴∠BDC'=∠DC'C﹣∠DBC'=45°﹣22.5°=22.5°=∠DBC'
∴BC'=DC'，
∴△BC’D是等腰三角形
Rt△DA'C中，∠C=45°，∴∠A'DC=90°﹣45°=45°
∴A'C=A'D=1，∴CD==
∴BC'=
BA'=BC'+C'A'=+1
△CA’D的周长等于CD+CA'+DA'=DC'+C'A'+CA'=BC'+C'A'+CA'=BC
∠BDC'=22.5°．∠C'DA'=45°
∴DC’不平分∠BDA’
∴①错误，②，③，④正确，故选C．
2．A．
【解析】如图：分情况讨论
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选A．
【解析】在△ABC 中，AB =BC 可得∠A =∠C ,由旋转的性质可得∠C =∠C 1，∠A =∠A 1，BC =BC 1，∠ABA 1=∠CBC 1=α，在△CDF 和△FBC 1中，∠C =∠C 1，∠CFD =∠BFC 1，根据三角形的内角和定理可得∠CDF ==∠CBC 1=α；再由AB =BC 1，∠ABA 1=∠CBC 1,∠A =∠C 1，根据ASA 可判定△ABE ≌△C 1BF ,所以BE =BF ,又因A 1B =BC ,所以A 1E =CF ，故正确的结论有①②④三个，所以答案选C ．
4．D
【解析】设运动的时间为ts 时，△APQ 是等腰三角形则AP =20－3t ，AQ =2t
∵△APQ 是等腰三角形 ∴ 20－3t =2t 解得t =4s
5.C
【解析】等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形，腰为斜边，高和底边长一半为直角边，因此由三角形三边关系及勾股定理即可解答．每组线段中最长线段为腰，另两条线段中一条为高，一条为底，利用三角形三边关系定理判定即可得到哪条是底边，哪条是高．通过验证只有选项C 符合题意．
6．A ．
【解析】由BD 平分∠ABC 得，∠EBD =
12∠ABC ， ∵EF ∥BC ，
∴∠AEF =∠ABC =2∠EBD ，∠AEF =∠EBD +∠EDB ，
∴∠EBD =∠EDB ，
∴△BED 是等腰三角形，
∴ED =BE ，
同理可得，DF =FC ，（△CFD 是等腰三角形）
∴EF =ED +EF =BE +FC ，
∴EF =BE +CF ．故选A ．
7．A ．
【解析】设CE =x ，已知DE 是线段AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AE =BE =BC +CE =3+x ，在Rt △ACE 中，由勾股定理可列方程（3+x ）2=42+x 2，解得x =6
7，故答案选A ．
【解析】
如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，过点C 作CF ⊥BD 于F ，在Rt △BAD 中，AB =AD =22，由勾股定理可得BD =4，即可得AE =21BD =2，因2＞23，所以在边AB 、AD 都上存在点P ，使点P 到BD 的距离为2
3．在Rt △CFD 中，易证∠CDF =45°，CD =2，由勾股定理可得CE =1，又因1＜23，所以在边BC 、CD 上不存在点P ，使点P 到BD 的距离为2
3．故选A ． 9．B ．
【解析】从整个运动过程分析，可以判断该旋转变换在做以3为周期的周期运动，此为解题的关键性结论；由12P P ＝3，()15P P 333++＝，()18P P 3233++＝…可以发现线段1n P P （n 为大于1的自然数）的长存在等差关系，运用此规律即可解决问题，而2012=670×3+2，所以()
1014P P2*******=+++=20136713+．故选B ． 10．D
【解析】∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，∠ADC =∠BDH ，∵∠AHE +∠DAC =90°，∠DAC +∠C =90°，∴∠AHE =∠BHD =∠C ，∴△ADC ≌△BDH ，∴BH =AC =4．故选D ． 点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．由∠ABC =45°，AD 是高，得出BD =AD 是正确解答本题的关键． 11．2 【解析】先根据题意画出图形，连AG 、AF 、GF ，可知EF 是AG 的垂直平分线，故GF =AF ，再利用勾股定理求出AE 的长，设DF =y ，则CF =6﹣y ，CG =4，再由等腰三角形的性质及勾股定理可求出EH 、FH 的值，进而可求出答案．
解：连AG 、AF 、GF ，可知EF 是AG 的垂直平分线，故GF =AF ，
设AE =GE =x ，则BE =6﹣x ，BG =2，
在Rt△BEG中，由勾股定理得EG2=BE2+BG2，
即x2=（6﹣x）2+22，
解得x=，
设DF=y，则CF=6﹣y，CG=4，在Rt△ADF中，
AF2=AD2+DF2，即AF2=36+y2，
在Rt△CGF中，GF2=CG2+CF2，
由勾股定理得，
36+y2=（6﹣y）2+16，
解得y=，
设AG与EF交于H，
在Rt△ABG中，AG2=BG2+AB2，
即AG2=22+62，
解得AG=2，
故HG=AF=，
在Rt△AEH中，由勾股定理求出EH=，FH=．
故EF=EH+FH=+=2．
故答案为：2．
12．4
=，AD是底边上的高，所以CD=BD=3cm，由勾股定理可得【解析】AB AC
22
534
AD=-=cm
13．24
【解析】根据AO 、BO 分别是角平分线和MN ∥BA ，求证△AON 和△BOM 为等腰三角形，再根据AC +BC =24，利用等量代换即可求出△CMN 的周长
解：AO 、BO 分别是角平分线，
∴∠OAN =∠BAO ，∠ABO =∠OBM ，
∵MN ∥BA ，∴∠AON =∠BAO ，∠MOB =∠ABO ，
∴AN =ON ，BM =OM ，即△AON 和△BOM 为等腰三角形，
∵MN =MO +ON ，AC +BC =24，
∴△CMN 的周长=MN +MC +NC =AC +BC =24．故答案为：24．
14．60°．
【解析】已知∠C =90°，∠B =30°，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC =60°，由角平分线的定义可得∠EAD =BAC ∠2
1=30°，在Rt △ADE 中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ADE =90°﹣30°=60°．
15．(6a +．
【解析】∵∠C =30°，∠BAC =90°，DE ⊥AC ，∴BC =2AB ，CD =2DE =2a ，∵AB =AD ，∴点D 是斜边BC 的中点，∴BC =2CD =4a ，AB =12
BC =2a ，
∴AC ，∴△ABC 的周长
=AB +BC +AC =24a a ++=(6a +．故答案为：(6a +．
16．10
【解析】根据图形我们可以发现正方形A ，B ，C ，D 的边长正好是两个直角三角形的四条
直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A ，B ，C ，D 的面积和即是最大正方形的面积．根
据勾股定理的几何意义，可得A 、B 的面积和为S 1，C 、D 的面积和为S 2，S 1+S 2=S 3，于是S 3=S 1+S 2，即S 3=2+5+1+2=10．
17．（1）AB1∥BC；（2）AB1∥BC，证明详见解析；（3）图形详见解析，（1）、（2）中的结论还成立，证明详见解析．
【解析】（1）由△ABC≌△AB1C1，得到∠BAC=∠B1AC1，AC1=AC，进而证得∠B1AB=∠C1AC，应用等角对等边，以及三角形的内角和定理证得∠C1AC=180°－2∠ACC1，∠ABC=180°－2∠ACC1，从而得到∠ABC=∠C1AC=∠B1AB，所以AB1∥BC；
（2）由△ABC≌△AB1C1，得到∠BAC=∠B1AC1，AC1=AC，进而证得∠B1AB=∠C1AC，应用等角对等边，以及三角形的内角和定理证得∠C1AC=180°－2∠ACC1，∠ABC=180°－2∠ACC1，从而得到∠ABC=∠C1AC=∠B1AB，所以AB1∥BC；
（3）利用三边分别相等的两个三角形全等，用尺规作图，由△ABC≌△AB1C1，得到∠BAC=∠B1AC1，AC1=AC，进而证得∠B1AB=∠C1AC，应用等角对等边，以及三角形的内角和定理证得∠C1AC=180°－2∠ACC1，∠ABC=180°－2∠ACC1，从而得到∠ABC=∠C1AC=∠B1AB，
所以AB1∥B C．
解：（1）AB1∥B C．
理由如下：由已知得△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC=∠B1AC1，
∴∠B1AB=∠C1AC，
∵AC1=AC，
∴∠AC1C=∠ACC1，
∵∠C1AC＋∠AC1C＋∠ACC1=180°，
∴∠C1AC=180°－2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°－2∠ACC1，
∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB，
∴AB1∥B C．
（2）当∠C＞60°时，AB1∥B C．
理由如下：由已知得△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC=∠B1AC1，
∴∠B1AB=∠C1AC，
∵AC1=AC，
∴∠AC1C=∠ACC1，
∵∠C1AC＋∠AC1C＋∠ACC1=180°，
∴∠C1AC=180°－2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°－2∠ACC1，
∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB，
∴AB1∥B C．
（3）如图2，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．
理由如下：显然△ABC≌△AB1C1，
∴∠BAC=∠B1AC1，
∴∠B1AB=∠C1AC，
∵AC1=AC，
∴∠AC1C=∠ACC1，
∵∠C1AC＋∠AC1C＋∠ACC1=180°，
∴∠C1AC=180°－2∠ACC1，
同理，在△ABC中，
∵BA=BC，
∴∠ABC=180°－2∠ACC1，
∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB，
∴AB1∥B C．
18．结论：（1）60；（2）AD=BE；应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；
【解析】
（1）通过证明△CDA≌△CEB，得到∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°探究：
－60°= 60°；
（2）已证△CDA≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD=BE；
应用：通过证明△ACD≌△BCE，得到AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°，所以∠AEB =∠BEC －∠CED=135°－45°= 90°；根据等腰直角三角形的性质可得DE= 2CM，所以AE= DE+AD=2CM+BE．
试题解析：解：探究：（1）在△CDA≌△CEB中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，
∴△CDA≌△CEB，
∴∠CEB=∠CDA=120°，
又∠CED=60°，
∴∠AEB=120°－60°= 60°；
（2）∵△CDA≌△CEB，
∴AD=BE；
应用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，
∴AC = BC，CD = CE，∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB，即∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．
∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－45°= 90°．
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM = DM = ME，∴DE = 2CM．
∴AE = DE+AD=2CM+BE．
19．（1）相等，理由见解析；（2）相等，理由见解析；（3）相等，理由见解析．
【解析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=CM，CN=BC，又因∠ACN=∠MCN+60°，∠MCB=∠MCN+60°，可得∠ACN=∠MCB，根据SAS即可判定△ACN≌△MCB，即可得AN=BM；（2）利用SAS判定△ACN≌△MCB即可得N=BM；（3）类比（1）的方法即可解决．
解：（1）相等，理由如下：
∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM；
相等，理由如下：
∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM；
相等，理由如下：
∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CN=BC，
又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°，
∴∠ACN=∠MCB，
∴△ACN≌△MCB，
∴AN=BM．
20
．（1）AB=BD=（2）证明见解析；（3）△CEF为等边三角形．
【解析】三角形全等的有关证明，常与证明线段或角相等相关．而在有直角的情况下，取斜
边的中点，连结斜边上的中线是常见辅助线做法． 解：（1）∵点H 是AC 的中点，32=AC ，∴32
1
==
AC AH ． ∵︒
︒=∠=∠60,90CAB ACB ，∴︒=∠30ABC ，∴342==AC AB ．
∵AC DH AB DA ⊥⊥,，∴︒=∠=∠90DHA DAB ． ∴︒=∠30DAH ，∴2=AD ．
在ADB Rt ∆中，∵︒=∠90DAB ，∴222AB AD BD +=． ∴132)34(222=+=
BD ．
（2）证明：连接AF ，易证：△DAE ≌△ADH ，故DH =AE 30EAF EAB FAB FAB ∠=∠-∠=︒-∠
60(90)6030FDH FDA HDA FDA FBA FBA ∠=∠-∠=∠-︒=︒-∠-︒=︒-∠
故EAF FDH ∠=∠ 易证：△DHF ≌△AEF ∴HF =EF
（3）（方法不唯一，有很多，合理即可） （法一）取AB 的中点M ，连接CM 、FM ． 在RT △ADE 中，AD =2AE ，
FM 是△ABD 的中位线，故AD =2FM ，∴FM =AE ． 易证△ACM 为等边三角形，故AC =CM 1
302CAE CAB ∠=∠=︒
30CMF AMF AMC ∠=∠-∠=︒
故△ACE ≌△MCF
故易证：△CEF 为等边三角形
（法二）延长DE 至点N ，使EN =DE ，连接AN ；延长BC 至点M ，使CB =CM ，连接AM ；延长BD 交AM 于点P ．
易证：△ADE ≌△ANE ，△ABC ≌△AM C ． 易证：△ADM ≌△ANB ，故DM =BN ．
CF 是△BDM 的中位线，EF 是△BDN 的中位线． 故11
22
EF BN DM CF =
== 180180260CFE CFD DFE MDP DBN MDP DBA ABN
MDP DBA AMD DPA DBA PAB CAB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-∠=︒
故△CEF 为等边三角形．
21．阅读材料（1）△ADC ≌△A ′DC ；（2）BC =AC +AD .解决问题: AB =21
【解析】阅读材料:观察图形可得（1）△ADC ≌△A ′DC ；（2）BC =AC +AD 解决问题: 在AB 上截取AE =AD ，连接CE .可证得△ADC ≌△AEC 从而得到 AE =AD =9，CE =CD =10=BC ，然后过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △CFB 和Rt △CF A 中，由勾股定理得CF 2=CB 2－BF 2=102－x 2及CF 2=AC 2－AF 2=172－(9+x )2，然后解方程即可解决问题. 解：阅读材料
（1）△ADC ≌△A ′DC ； （2）BC =AC +AD .
解决问题
如图，在AB上截取AE =AD，连接CE.
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠EAC.
又∵AC=AC，
∴△ADC≌△AEC.
∴AE=AD=9，CE=CD=10=B C．
过点C作CF⊥AB于点F．
∴EF=BF．
设EF=BF=x．
在Rt△CFB中，∠CFB=90°，由勾股定理得CF2=CB2－BF2=102－x2．
在Rt△CF A中，∠CF A=90°，由勾股定理得CF2=AC2－AF2=172－(9+x)2．
∴ 102－x2=172－(9+x)2，
解得x=6．
∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21．
∴AB的长为21．
22．（1）证明见解析；（2）BD+CE=DE，证明见解析；（3）BD－CE=DE．
【解析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义得出∠DFB=∠CBF，∠ABF=∠CBF，推出∠DFB=∠DBF，根据等角对等边推出即可；
（2）与（1）证明过程类似，求出BD=DF，EF=CE，即可得出结论；
（3）与（1）证明过程类似，求出BD=DF，EF=CE，即可得出结论．
解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，
∴∠DFB =∠DBF ， ∴BD =DF ； （2）BD +CE =DE ， 理由是：∵BF 平分∠ABC ， ∴∠ABF =∠CBF ， ∵DF ∥BC ， ∴∠DFB =∠CBF ， ∴∠DFB =∠DBF ， ∴BD =DF ； 同理可证：CE =EF ， ∵DE =DF +EF ， ∴BD +CE =DE ； （3）BD －CE =DE ． 23．证明见解析．
【解析】小敏的证明思路是：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ．
由SAS 证明△ABD ≌△AED ，得到BD =DE ，∠ABD =∠AED ，由∠AED =∠EDC +∠C 和∠B =2∠C ，得到∠EDC =∠C ，从而有 DE =EC ，故AB +BD =AC ；
小捷的证明思路是：延长CB 至点E ，使BE =AB ，连接AE ，则∠E =∠BAE ，∠ABC =2∠E ，由∠ABC =2∠C ，得到∠E =∠C ， AE =AC ，再证△AED 是等腰三角形，得到EA =ED =AC ，故AB +BD =AC ； 【变式探究】
AB +BD =AC 不成立，正确结论：AB +BD =CD ，在CD 上截取DE =DB ，由AD ⊥BC ，得到 AD 是BE 的中垂线，故AE =AB ，∠B =∠AED ，证明∠C =∠CAE ，得到 AE =EC ，即AB +BD =CD ； 【迁移拓展】
过点A 作AD ⊥BC 于D ，由勾股定理得：222AB BD AD =+，222AC CD AD =+，故2222AC AB CD BD -=-=（CD －BD ）（CD +BD ）=BC （CD －BD ），由AB +BD =CD ，得到 CD －BD =AB ，
故22AC AB -= BC （CD －BD ）=BC ·
AB ，即22AC AB AB BC =+⋅． 解：小敏的证明思路是：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ．（如图2）
∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD =∠EAD ，∵AD =AD ，∴△ABD ≌△AED ，∴BD =DE ，∠ABD =∠AED ，又∵∠AED =∠EDC +∠C ，∠B =2∠C ，∴∠EDC =∠C ，∴ DE =EC ，即AB +BD =AC ；
小捷的证明思路是：延长CB 至点E ，使BE =AB ，连接AE ，则∠E =∠BAE ，∴∠ABC =2∠E ，∵∠ABC =2∠C ，∴∠E =∠C ，∴AE =AC ，∵∠ADE =∠DAC +∠C ，∠DAE =∠BAD +∠BAE ，又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD =∠DAC ，∴∠ADE =∠DAE ，∴△AED 是等腰三角形，∴EA =ED =AC ，∴AB +BD =AC ；
【变式探究】
AB +BD =AC 不成立 正确结论：AB +BD =CD ，证明如下：
在CD 上截取DE =DB ，∵AD ⊥BC ，∴ AD 是BE 的中垂线，∴AE =AB ，∴∠B =∠AED ，∵∠AED =∠C +∠CAE ，∵∠B =2∠C ，∴∠C =∠CAE ，∴ AE =EC ，即AB +BD =CD ；
【迁移拓展】
证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，由勾股定理得：222AB BD AD =+，222AC CD AD =+，∴2222AC AB CD BD -=-=（CD －BD ）（CD +BD ）=BC （CD －BD ），∵AB +BD =CD ，∴ CD －BD =AB ，∴22AC AB -= BC （CD －BD ）=BC ·
AB ，即22AC AB AB BC =+⋅．
24．（1）证明见解析：（2）AD =DG +DM ．（3）AD =DG －DN ．理由见解析. 【解析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC 是等边三角形；
（2）延长ED 使得DN =DM ，连接MN ，即可得出△NDM 是等边三角形，利用△NGM ≌△DBM 即可得出BD =NG =DG +DM ，再利用AD =BD ，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H =∠2，进而得出∠DNG =∠HNB ，再求出△DNG ≌△HNB 即可得出答案．
解：（1）证明：如图1所示：
在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°， ∴∠ABC =60°，BC =1
2
A B ． ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠1=∠DBA =∠A =30°． ∴DA =D B ． ∵DE ⊥AB 于点E ． ∴AE =BE =
1
2
A B ．
∴BC=BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD=DG+DM．
证明：如图2所示：延长ED使得DN=DM，连接MN，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DN，
∴△NDM是等边三角形，
∴MN=DM，
在△NGM和△DBM中，
∵
N MDB MN DM
NMG DMB ∠=∠
=
∠=∠
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∴△NGM≌△DBM，
∴BD=NG=DG+DM，
∴AD=DG+DM．
（3）结论：AD=DG－DN．
证明：延长BD至H，使得DH=DN．由（1）得DA=DB，∠A=30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2=∠3=60°．
∴∠4=∠5=60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH =ND ，∠H =∠6=60°． ∴∠H =∠2． ∵∠BNG =60°，
∴∠BNG +∠7=∠6+∠7． 即∠DNG =∠HN B ． 在△DNG 和△HNB 中，
2DNG HNB DN HN
H ∠=∠=∠=∠⎧⎪
⎨⎪⎩
∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =H B ．
∵HB =HD +DB =ND +AD ， ∴DG =ND +A D ． ∴AD =DG －N D ．。