2017-2018年广西北海市银海区初三上学期期末数学试卷及参考答案

2017-2018学年广西北海市银海区初三上学期期末数学试卷
一、选择题
1．抛物线y=3x2的顶点坐标是（）
A．（3，0）B．（0，3）C．（0，0）D．（1，3）2．二次函数y=x2+5x+4，下列说法正确的是（）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是x=﹣
3．二次函数y=x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）
A．（1，2）B．（1，6）C．（﹣1，6）D．（﹣1，2）4．关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）
A．开口向上B．与x轴有一个交点
C．对称轴是直线x=1D．当x＞1时，y随x的增大而减小
5．如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（）
A．B．C．D．
6．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（）
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖
B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能没有抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数D．无实数根
8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0
9．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
10．某物体的三视图如图所示，那么该物体是（）
A．长方体B．圆锥体C．正方体D．圆柱体
二、填空题
11．已知y=x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是．
12．分解因式：a3b﹣9ab=．
13．分解因式：a3b﹣4a2b+4ab=．
14．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=°．
三、解答题
15．如图所示，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x﹣4交于B、D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．
16．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？
17．2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）
18．某校九年级举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
19．旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x（元）．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
（注：净收入=租车收入﹣管理费）
20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x米，矩形区域ABCD的面积为y米2．
（1）求证：AE=2BE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
2017-2018学年广西北海市银海区初三上学期期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．抛物线y=3x2的顶点坐标是（）
A．（3，0）B．（0，3）C．（0，0）D．（1，3）
【解答】解：∵抛物线y=3x2，
∴抛物线y=3x2的顶点坐标是：（0，0），
故选：C．
2．二次函数y=x2+5x+4，下列说法正确的是（）
A．抛物线的开口向下
B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2
D．抛物线的对称轴是x=﹣
【解答】解：y=x2+5x+4=（x+）2﹣，
二次项系数是1＞0，则函数开口向上，故A错误；
函数的对称轴是x=﹣，顶点是（﹣，﹣），B错误；
则D正确，函数有最小值是﹣，选项C错误．
故选：D．
3．二次函数y=x2﹣2x+3的图象的顶点坐标是（）
A．（1，2）B．（1，6）C．（﹣1，6）D．（﹣1，2）
【解答】解：∵y=x2﹣2x+3
=x2﹣2x+1﹣1+3
=（x﹣1）2+2，
∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故选：A．
4．关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）
A．开口向上B．与x轴有一个交点
C．对称轴是直线x=1D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【解答】解：
∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴A、C正确，D不正确；
令y=0可得（x﹣1）2=0，该方程有两个相等的实数根，
∴抛物线与x轴有一个交点，
∴B正确；
故选：D．
5．如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是（）
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．
故选：D．
6．商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（）
A．抽10次奖必有一次抽到一等奖
B．抽一次不可能抽到一等奖
C．抽10次也可能没有抽到一等奖
D．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为O.1”就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，
故选：C．
7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数D．无实数根
【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＜1且k≠0
【解答】解：依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故选：D．
9．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
10．某物体的三视图如图所示，那么该物体是（）
A．长方体B．圆锥体C．正方体D．圆柱体
【解答】解：根据主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，符合这样条件的物体应该是圆柱．
故选：D．
二、填空题
11．已知y=x2+mx﹣6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是﹣3＜x＜．
【解答】解：
∵1≤m≤3，y＜0，
∴当m=3时，x2+3x﹣6＜0，
由y=x2+3x﹣6＜0，
得＜x＜；
当m=1时，x2+x﹣6＜0，
由y=x2+x﹣6＜0，得﹣3＜x＜2．
∴实数x的取值范围为：﹣3＜x＜．
故本题答案为：﹣3＜x＜．
12．分解因式：a3b﹣9ab=ab（a+3）（a﹣3）．
【解答】解：a3b﹣9ab=a（a2﹣9）=ab（a+3）（a﹣3）．
故答案为：ab（a+3）（a﹣3）．
13．分解因式：a3b﹣4a2b+4ab=ab（a﹣2）2．
【解答】解：原式=ab（a2﹣4a+4）=ab（a﹣2）2．
故答案为：ab（a﹣2）2
14．如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=70°．
【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，∴△OAB≌△OA1B1，
∴∠A1OB1=∠AOB=30°．
∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．
故答案为：70．
三、解答题
15．如图所示，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x﹣4交于B、D两点．
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），将点C的坐标代入得：﹣8a=﹣8，解得：a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
将y=x﹣4代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=x﹣4，解得：x=4或x=﹣1，
将x=﹣1代入y=x﹣4得：y=﹣5．
∴D（﹣1，﹣5）．
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
=S△DPE+S△BPE=PE•（x p﹣x D）+PE••（x B﹣x E）=PE•（x B﹣x D）=（﹣∴S
△BDP
x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
16．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？
【解答】解：∵AC=120×=12（海里），BC=50×=5（海里），
∵AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形
∵∠CBA=50°，
∴∠CAB=40°，
∴甲的航向为北偏东50°．
17．2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡
上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）
【解答】解：（1）延长BA交EF于一点G，如图所示，
则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE=180°﹣38°﹣（90°﹣23°）=75°；
（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，
在Rt△ADH中，∠ADC=60°，∠AHD=90°，
∴∠DAH=30°，
∵AD=3，
∴DH=，AH=，
在Rt△ACH中，∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°，
∴∠C=45°，
∴CH=AH=，AC=，
则树高++（米）．
18．某校九年级举行毕业典礼，需要从九（1）班的2名男生1名女生、九（2）
的1名男生1名女生共5人中选出2名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
男1男1女1男2女2男1﹣﹣﹣（男1，男1）（女1，男1）（男2，男1）（女2，男1）男1（男1，男1）﹣﹣﹣（女1，男1）（男2，男1）（女2，男1）女1（男1，女1）（男1，女1）﹣﹣﹣（男2，女1）（女2，女1）男2（男1，男2）（男1，男2）（女1，男2）﹣﹣﹣（女2，男2）女2（男1，女2）（男1，女2）（女1，女2）（男2，女2）﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种；
（2）2名主持人来自不同班级的情况有12种，即P==；
（3）2名主持人恰好1男1女的情况数有12种，即P==．
19．旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是x（元）．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
（注：净收入=租车收入﹣管理费）
【解答】解：设每天的净收入为y元，
当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，
∵y1随x的增大而增大，
∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；
当x＞100时，
y2=（50﹣）x﹣1100
=﹣x2+70x﹣1100
=﹣（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为5025，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
20．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x米，矩形区域ABCD的面积为y米2．
（1）求证：AE=2BE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
又∵EF是公共边，
∴AE=2BE；
（2）设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=，AB=3a，
∴y=3ax=3••x=﹣x2+30x，
∵a=﹣x+40＞0，
∴x＜40，
∴0＜x＜40
（3）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．。