2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第六节 抛物线解析

课时作业 A 组——基础对点练
1、(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A 、(0,a ) B 、(a,0) C.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0),所以焦点坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，116a ,所以选C.
答案：C
2、(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦,|AB |＝4,则AB 中点C 的横坐标是( ) A 、2 B.12 C.3
2
D.52
解析：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4,又p ＝1,所以x 1＋x 2＝3,所以点C 的横坐标是x 1＋x 2
2＝
32. 答案：C
3、(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,A 、B 、C 为抛物线上三点,若F 为△ABC 的重心,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →
|的值为( ) A 、1 B 、2 C 、3
D 、4
解析：依题意,设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3),又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0,x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32,则|F A →|＋|FB →|＋
|FC →
|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.
答案：C
4、已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ,N 两点,F 为抛物线的焦点,若2FM →＝MN →
,则实数k 等于( ) A 、±33 B 、±1 C 、±3
D 、±2
解析：抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F (1,0),直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点,
如图、过M 作MM ′⊥准线x ＝－1,垂足为M ′,由抛物线的定义,得|MM ′|＝|MF |,易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等,由2FM →＝MN →
,得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝1
2,则tan ∠M ′MN ＝±3,∴直线l 的斜率k ＝±3,故选
C. 答案：C
5、已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点,Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A 、25－1 B 、25－2 C.17－1
D.17－2
解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4),半径r ＝1,抛物线的焦点F (1,0)、由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C
6、(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过P 作P A ⊥l 于点A ,当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时,|PF |＝ .
解析：设l 与y 轴的交点为B ,在Rt △ABF 中,∠AFB ＝30°,|BF |＝2,所以|AB |＝233,设P (x 0,y 0),则x 0＝±233,代入x 2＝4y 中,得y 0＝13,从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43. 答案：4
3
7、(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0),⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0,如果抛物线C 的准线与⊙M 相切,那么p 的值为 、
解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4,圆心坐标为(－4,0),半径r ＝2,又抛物线的准线方程为x ＝－p 2,∴|4－p
2|＝2,解得p ＝12或4. 答案：12或4
8.如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点
A ,
B ,
C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程是 、
解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ,分别交准线于点E 、D (图略),则|BF |＝|BD |,∵|BC |＝2|BF |,∴|BC |＝2|BD |,∴∠BCD ＝30°,又|AE |＝|AF |＝3,∴|AC |＝6,即点F 是AC 的中点,根据题意得p ＝32,∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x
9、已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ,圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .
(1)求直线l 的斜率；
(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点,△WAB 的面积为8,求抛物线的方程、
解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0),依题意直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为x ＝my ＋p ,因为W (－p,0), 所以点W 到直线l 的距离为
|－p －p |1＋(－m )
2＝p ,解得m ＝±3,所以直线l 的斜率为±3
3. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ,由于两条直线关于x 轴对称,不妨取x ＝3y ＋p , 联立⎩⎨⎧
x ＝3y ＋p ，
y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0,
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝43p ,y 1y 2＝－4p 2, 所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p , 因为△WAB 的面积为8,所以1
2p ×16p ＝8,得p ＝1, 所以抛物线的方程为y 2＝4x .
10、(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0),O 是坐标原点,点A ,B 为抛物线C 1上异于O 点的两点,以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1),求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)、
解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上,∴4＝2p ,p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，12,半径为|OA |2＝52,∴圆
C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122＝5
4.
(2)记A (x 1,x 212p ),B (x 2,x 222p )、则OB →＝(x 2,x 222p ),AB →
＝(x 2－x 1,x 22－x 2
12p )、 由OB →·AB →
＝0知,x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.
∵x 2≠0,且x 1≠x 2,∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2
,∴x 1
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋4p 2
x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4
x 2
2
＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2
,当且仅当
x 22＝16p 4
x 2
2
,即x 22＝4p 2
时取等号、
又|OA |
2
＝x 2
1＋
x 414p 2＝14p
2(x 41＋4p 2·x 21),注意到x 21≥16p 2
, ∴|OA |2
≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2
.而S ＝π·|OA |24,∴S ≥20πp 2,
即S 的最小值为20πp 2,当且仅当x 22＝4p 2时取得、
B 组——能力提升练
1、已知抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ,点A (0,－3)、若射线F A 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点D ,且|FM |∶|MD |＝1∶2,则点M 的纵坐标为( ) A 、－13 B 、－3
3 C 、－23
D 、－233
解析：依题意,F 点的坐标为(m
4,0),设点M 在准线上的射影为K ,由抛物线的定义知|MF |＝|MK |,因为|FM |∶|MD |＝1∶2,所以|KD |∶|KM |＝3∶1,k FD ＝3,k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ,所以43
m ＝3,解得m ＝4,
所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1),与y 2＝4x 联立,解得x ＝3(舍去)或x ＝13,所以y 2＝43,y ＝－23
3或y ＝233(舍去),故点M 的坐标为(13,－23
3),故选D. 答案：D
2、(2018·石家庄质检)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4,抛物线C 2：y 2＝2px (p >0),C 1与C 2相交于A ,B 两点,且|AB |＝85
5,则抛物线C 2的方程为( ) A 、y 2＝8
5x B 、y 2＝16
5x C 、y 2＝32
5x
D 、y 2＝64
5x
解析：由题意,知直线AB 必过原点,则设AB 的方程为y ＝kx (k >0),圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1
＝
22
－(455)2＝255,解得k ＝2(k ＝－2舍去)、由⎩
⎨⎧
y ＝2x x 2＋(y －2)2＝4,可取A (0,0),B (85,16
5),
把(85,165)代入抛物线方程,得(165)2＝2p ·85,解得p ＝165,所以抛物线C 2
的方程为y 2＝325x ,故选C. 答案：C
3、已知点P 在抛物线y 2＝x 上,点Q 在圆(x ＋1
2)2＋(y －4)2＝1上,则|PQ |的最小值为( ) A.35
2－1 B.332－1 C 、23－1
D.10－1
解析：设点P (y 2,y )(y ∈R),圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12,4),则|P A |2＝(y 2＋1
2)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654,令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋65
4,则t ′＝4y 3＋4y －8,令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8,则m ′＝12y 2＋4>0,所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数,因为t ′|y ＝1＝0,所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋65
4的极小值点也是最小值点,所以|P A |2
＝t 的最小值为454,所以|P A |的最小值为35
2,所以|PQ |的最小值为
35
2－1,故选A. 答案：A
4、(2018·山西八校联考)已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ,过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点,若|FB |＝2|F A |,则AB 的长度为 、 解析：依题意知P (－1,0),F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|FB |＝2|F A |,得x 2＋1＝2(x 1＋1),即x 2＝2x 1＋1 ①,∵P (－1,0),则AB 的方程为y ＝kx ＋k ,与y 2＝4x 联立,得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0,则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0,即k 2<1,x 1x 2＝1 ②,由①②得x 1＝12,则A (1
2,2), ∴k ＝2－0
1
2－(－1)
＝223.∴x 1＋x 2＝52,
|AB |＝
(1＋89)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝172.
答案：17
2
5、(2018·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点,曲线y ＝k
x (k >0)与C 交于点A ,直线F A 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ,F A 交C 的准线于点B ,则|F A |
|BA |等于 、
解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧
y 2
＝2px ，y ＝k
x
，解得⎩⎨
⎧
x ＝
k
32pk ，
y ＝32pk .
由y ＝k x ,得y ′＝－k x 2,
所以k F A ＝3
2pk
k
32pk －p 2＝－k k 2
34p 2k 2,化简得k ＝p 2
42
,
所以x ＝
k 3
2pk
＝p 4,
|F A ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p 4p 4－(－p 2)＝1
3.
答案：1
3
6、(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点,坐标原点为O ,OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；
(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程、 解析：(1)设l ：x ＝my －2,代入y 2＝2px , 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则y 1＋y 2＝2pm ,y 1y 2＝4p ,则x 1x 2＝y 21y 2
2
4p 2＝4.
因为OA →·OB →＝12,所以x 1x 2＋y 1y 2＝12,即4＋4p ＝12, 得p ＝2,抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0, y 1＋y 2＝4m ,y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ,
则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4,① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|
22由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2, 解得m 2＝3,m ＝±3.
所以,直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. 7.如图,由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0,x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成
和⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32. 的曲线称为“黄金抛物线C ”,若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)(1)求“黄金抛物线C ”的方程；
(2)设P (0,1)和Q (0,－1),过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相
交于A ,P ,B 三点,问是否存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由、 解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，32,
∴r 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
＝1,4＝3m ＋1,∴m ＝1.
∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)、
(2)假设存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ,显然直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l ：y ＝kx ＋1,联立⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1,消去y ,得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0,∴x B ＝1－2k
k 2,
y B ＝1－k k ,即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－2k k 2，1－k k ,∴k BQ ＝k 1－2k , 联立⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1
x 2＋y 2＝1,消去y ,得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0,
∴x A ＝－2k
k 2＋1,y A ＝1－k 2k 2＋1,
即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2
＋1，1－k 2k 2＋1,∴k AQ ＝－1k , ∵QP 平分∠AQB ,∴k AQ ＋k BQ ＝0, ∴k 1－2k
－1
k ＝0,解得k ＝－1±2, 由图形可得k ＝－1－2应舍去,∴k ＝2－1, ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1, 使得QP 平分∠AQB .。