全等三角形中考真题汇编[解析版]

全等三角形中考真题汇编［解析版］
一S八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图所示，“ABC为等边三角形，P是4ABC内任一点，PDW AB9 PE//BC.
PF//AC,若厶ABC的周长为12cm ,则PD+PE+PF= C航.
【答案】4
【解析】
【分析】
先说明四边形HBDP是平行四边形，AAHE和AAHE是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可.
【详解】
解：∙.∙PD∣∣4B, PE 〃BC
・•.四边形HBDP是平行四边形
APD=HB
•・• MBC为等边三角形,周长为12Cm
ΛZ B=Z A二60°,AB二4
•・・ PE//BC
ΛZAHE=Z B=60o
ΛZAHE=Z A=60o
.∙. ∆AHE是等边三角形
AHE=AH
•・・ ZHFP=Z A=60o
••・ZHFP=ZAHE=60°
.∙∙ ΔAHE是等边三角形，
AFP=PH
ΛPD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm
故答案为4cm・
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键.
2.如图，点P是AoB内任意一点，OP = 5cm,点P与点C关于射线QA对称，点P与点D关于射线OB对称，连接CD交OA于点E,交OB于点F ,当的周长是
【答案】30
【解析】
【分析】
根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂宜平分线性质得出ZCOA ZAOP丄ZCOP f ZPoB /DOB丄ZPOD、PE=CE, OP=OC=5cm t
2 2
PF=FD, OP=OD=5cm,求岀ZkCOD是等边三角形，即可得岀答案.
【详解】
解：如图示：连接0C, 0D,
J点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称•
.∙.0A为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，
VOP=5cm,
:∙ ZCOA = ZAOP = LZCoP , ZPoB = ZDOB = LZPOD , PE=CEt OP=OC=5cm, PF=FD, 2 2 OP=OD=5cm,
V∆PEF的周长是5cm,
.∙∙ PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm,
CD=OD=OD=5cm»
Λ∆OCD是等边三角形，
ΛZ∞D=60∖
：• ZAoB = ΛAOP + ZBoP =丄ACOP + 丄ADOP= IZCoD = 30° ,
2 2 2
故答案为：30.
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判左，能求出ACOD 是等边三角形是解此题的关键.
3.如图，点P是ZAOB内任意一点，0P=5cm ,点M和点N分別是射线OA和射线
OB上的动点，PN + PM+MN的最小值是5cm,则ZAOB的度数是___________________________________ .
【答案】30°
【解析】
试题解析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,
分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD X PM X PN S MN,如图所示:
•••点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C ,
ΛPM=DM r OP=OD , ZDOA=ZPOA ；
T点P关于OB的对称点为C ,
APN=CN , OP=OC r ZCOB=ZPOB ,
AOC=OP=OD , ZAOB=- ZcOD f
2
VPN+PM+MN的最小值是5cm z
ΛPM+PN+MN=5 ,
ΛDM+CN+MN=5 ,
即CD=S=OP j
AOC=OD=CD r
即AOCD是等边三角形，
∙∙∙ ZCOD=60o Z
∙∙∙ZAOB=30° ・
4.如图，在厶ABC 中，AB>AC,按以下步骤作图：分别以点〃和点C 为圆心，大于
BC-半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ,过点M 、N 作直线交AB 于点D,
连接CD,若AB = 10, AC = 6,则的周长为 ________________________________________________________ •
【答案】16
【解析】
【分析】
利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC,则DC=DB,然后利用等线段代换得到MCD 的 周长=AB+AC,再把AB = 10, AC = 6代入计算即可.
【详解】
解：由作法得MN 垂直平分BC,则DC=DB,
C^CD =CD+ AC + AD = DB + AD + AC = AB + AC = ∖O + 6 = 16
故答案为：16.
【点睛】
本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知 线段：作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线：过一点作 已知直线的垂线）是本题的关键. 5.如图,AB = A l B , A l Bl = A i A 2, A 2B 2 = A 2A 3, A 3B 3=A 3A 4t ...» 当n≥2t
ZA = 70。

时，ZAI &坊T= ______________________ •
【解析】 【分析】 先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分別求岀ZB 1A 2A 1, ZB 2A 3A 2及么艮人人
的度数，再找出规律即可得出的度数•
【答案】
70°
【详解】
解：∙.∙在ΔABA 1 中，ZA = IO o
, AB = A l B .∙. ZBA l A = ZA = 70°
V A x A 2=A x B x , ZBA I A ^ΔA l A 2B l 的外角
故答案为：-τ
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根拯特殊情况找岀规律是解题关 键. 6.如图,A,B,C 三点在同一直线上,分别以AB,BC (AB>BC)为边,在直线AC 的同侧作等边
ΔABD 和等边ABCE,连接AE 交BD 于点M,连接CD 交BE 于点N,连接MN.以下结论：
φAE=DC, ©MN//AB,③BD 丄AE,④ZDPM=60°,⑤ABMN 是等边三角形.其中正确的是
______________ (把所有正确的序号都填上).
［答案］Φ©④⑤
【解析】
【分析】
① 由三角形ABD 与三角形BCE 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相 等，两个角相等都为60。

，利用SAS 即可得到三角形ABE 与三角形DBC 全等即可得结论：
② 由①中三角形ABE 与三角形DBC 全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等， 再由ZABD=ZEBC=60°,利用平角的泄义得到ZMBE=ZNBC=60°,再由EB=CB,利用ASA 可得出三角形EMB 与三角形CNB 全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB,再由 ZMBE=60%利用有一个角为60。

的等腰三角形为等边三角形可得岀三角形BMN 为等边三 角形；可得ZBMN=60°,进行可得ZBMN=ZABD,故MN//AB,从而可判断②，⑤正确；
③ 无法证明PM=PN,因此不能得到BD 丄AE ：
④ 由①得ZEAB=ZCDB,根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.
【详解】
①•••等边AABD 和等边ZkBCE,
ΛAB=DB, BE=BC, ZABD=ZEBC=60°,
1 70°
∙∙∙ ZB 1A 2A 1 = ZA I B I A 2 =-ZBA 1A = — = 35°
1 70°
同理可得，ZB 2A 3A 2 = - ZBA I A = — = 17.5° 2
70°
∙*∙ ^-^n-∖∖βn -∖ =乔T •
ZB 3A 4A 3 =-ZBA i A 70° = 8.75°
∙∙∙ ZABE=ZDBC=I20%
在MBE和ZkDBC中.
AB=DB
•・• ZABE=ZDBC,
BE=BC
Λ ΔABE^ ΔDBC ( SAS),
Λ AE=DC,
故①正确：
V∆ABE^ΔDBC t
∙∙∙ ZAEB=ZDCB>
又ZABD=ZEBC=60%
•I Z MBE=I80o-60o-60o=60o >
即ZMBE=ZNBC=60°,
在AMBE和ANBC中,
ZAEB=ZDCB
V EB=CB ,
ZMBE=ZNBC
Λ∆MBE^∆NBC (ASA),
Λ BM=BN> ZMBE=60%
则ABMN为等边三角形，
故⑤正确：
V∆BMN为等边三角形，
ΛZBMN=60∖
T ZABD=60：
.∙.ZBMN=ZABD.
ΛMN∕∕AB,
故②正确：
③无法证明PM=PN,因此不能得到BD丄AE：
④由①得ZEAB=ZCDB, ZAPC+ ZPAC+ ZPCA=I80°,
∙∙∙ ZPAC+ ZPCA= ZPDB+ZPCB= ZDBA=60o,
VZDPM=ZPAC+ZPCA
AZDPM =60°,故④正确，
故答案为：①②④
【点睛】
此题考査了等边三角形的判怎与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判左与性
质是解本题的关键.
7.如图，在ZiABC中，P, O分别是BC, AC上的点，PR丄AB^ PS丄AC,垂足分别是/?, S,若ΛQ = PQ, PR = PS,那么下而四个结论：（DAS = AR;
②QP//ARx③厶BRP竺\ QSP；④BR = QS9 Jt中一立正确的是（填写编号）
【答案】①，②
【解析】
【分析】
连接AP,根拯角平分线性质即可推出①，根据勾股N理即可推出AR=AS,根据等腰三角形性质推岀
ZQAP=ZQPA,推出ZQPA=ZBAP,根据平行线判左推出QP〃AB即可：在RtΔBRP和RtZkQSP中，只有
PR=PS.无法判断厶BRP昌AQSP也无法证明BR=QS .
【详解】
解：连接AP
①TPR丄AB, PS丄AC, PR=PS,
•••点P 在ZBAC 的平分线上，ZARP=ZASP=90° ,
ΛZSAP=ZRAP l
在RtΔARP 和RIZ∖ASP 中，由勾股泄理得：AR2=AP2-PR2, AS2=AP2-PS2t
VAP=AP, PR=PS t
：• AR=AS,
・•・①正确：
②VAQ=QP f
Λ ZQAP=ZQP A,
VZQAP=ZBAP t
Λ ZQPA=ZBAP,
ΛQP∕∕AR,
・•・②正确：
③在RtΔBRP 和RtΔQSP 中，只有PR=PS t
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键・
8.如图，∆ABC中，AB=II , AC= 5 , Z BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线CD相交
于点D,过点D分别作DE丄AB, DF丄AC,垂足分别为E、F,则BE的长为 __________________________ ・
【答案】3
【解析】
【分析】
连接CD, BD,由ZBAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D, DE±AB, DF±AC,根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD, DF=DE,继而可得AF=AE,易证得Rt∆CDF^Rt∆BDE,则可得BE=CF,继而求得答案.
【详解】
TAD是ZBAC的平分线,DE丄AB, DF丄AC,
ΛDF=DE. ZF=ZDEB=90∖ ZADF=ZADEt
Λ AE=AF,
TDG是Be的垂直平分线，
ΛCD=BD.
在Rt∆CDF 和Rt∆BDE 中，
CD=BD
DF=DE
：.Rt∆ CDF^ Rt∆ BDE (HL),
ΛBE=CF, .∙∙ AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE f
VAB=Il, AC=5∙
Λ BE= - (11-5) =3.
2
故答案为：3.
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题・
9.如图，在3x3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点
三角形.图中的∆ABC为格点三角形，在图中最多能画出 __________________ 个格点三角形与LABC成轴
对称.
【解析】
【分析】根据网格结构分别确定岀不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解.
【详解】
如图，最多能画岀6个格点三角形与AABC成轴对称.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位垃是解题的关键，本题难点在于确定岀不同的对称轴・
10・已知，ZMoN二30。

，点人2、Zb在射线O/V上，点Bl、B2> Be在射线OM上，
∆AιBιA2. ∆A2B2A3.∆Λ3β3A4...均为等边三角形，若OAι=a,贝∖∖ΔA7B7A3的边长为__________________
【答案】64a
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得岀A1B i//A2B2//A3B i,根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到
A2B2=2B I A2^进而得出A5B3=ΛBιA2=4a98BιA2=Sa, ASBS^I6BιAr- 从而得到答案.
【详解】
V AALBIAZ是等边三角形，：.A I BI=A2B19Z3=Z4=Z12=60O, Λ Z2=120o .
V ZMON=30°, Λ Z 1=180° - 120° -30° =30° ・
又VZ3=60o, ΛZ5=180o・60° -30° =90° .
VZMOΛ/= Z 1=30° , ：. OAι=AιBι=a9 .∖A2Bι=a・
a , Z13二60。

.
9.9AA
2B2A3y ZV⅛B√U 是等边三角形，ΛZll=Z10=60
VZ4=Z12=60o , .∖A1B1∕∕A2B2∕∕A3B3^ B1A2∕∕B2A3^ΛZ1=Z6=Z7=3O° ,
Z5=Z8=90 , /.A2B229B5∕43=2B2Λ39 ∙°∙^383=43/2=46 A^Ba=3B 1A2~30♦
AsBs=16BιA2=16a,以此类推：A7B7=6ΛBιA2=64a.
故答案为：64α.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据己矢口得出
<A333=4B√½, A i B i=BB1A2, ASBS=I6BιA2进而发现规律是解题的关键.
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11.平而直角坐标系中，已知A（2, O） , B（0, 2）若在坐标轴上取C点，使AABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B, Cn C2, C5,得到以A为顶点的等腰厶ABCn Δ ABC2, △ ABC5;
②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A, C3, C6, C7,得到以B为顶点的等腰
△ BAC3, △ BACβ> △ BAC7：
③作AB的垂直平分线，交X轴于点Ci得到以C为顶点的等腰AQAB
・•・符合条件的点C共7个
故选C
6
12.如图，丄&C, CD. BF分别是Z∖MC的角平分线，AG//BC9 AG丄3G,下列结论：(X)ZBAG=2ZABF；②BA 平分ZCBG；③ZABG=ZACB;④ZCFB=135°,其中正确的结论有( )个
A. 1 B・ 2 C. 3 D・ 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件可知ZABC+ZACB=9CΓ,又因为CD、BE分別是AABC的角平分线，所以得到ZFBC+ZFCB二45。

，所以求岀ZCFB=I35°：有平行线的性质可得到：ZABG=ZACB, ZBAG=2ZABF.所以可知选项①©④正确.
【详解】
VABlAC ・
AZBAC=90°,
T Z BAC+ ZABC+ ZACB = 180°,
Λ ZABC+ZACB=90°
VCD. BE分别是AABC的角平分线，
Λ2ZFBC+2ZFCB = 90o
ΛZFBC+ZFCB=450
AZBFC= 135°故④正确.
T AG 〃BC,
Λ ZBAG= ZABC
T ZABC = 2ZABF
∙∙∙ ZBAG = 2ZABF 故①正确.
VABlAC,
∙∙∙ ZABC+ZACB=90o
t
TAG 丄 BG,
.∙∙ ZABG+ZGAB=90o
VZBAG= ZABC,
∙∙∙ ZABG = ZACB 故③正确・
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判龙与性质，平行线的性质.掌握相关的判定立理和性质泄理是 解题的关键・ 13.在RtAABC 中，ZACB = 90。

，以ΔABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三 个顶点在ΔABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？
【答案】B
【解析】
【分析】
先以RiMBC 三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确宦等 腰三角形的第三个顶点：也可以作三边的垂直平分线确左等腰三角形的第三个顶点即得.
解：①如图1,以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D,则JBCD 就是等腰三角 形: ② 如图2,以A 为圆心，Ae 长为半径画弧，交AB 于点E,则ZIACE 就是等腰三角形:
③ 如图3,以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于交AC 于点F,则ZIBCNk JBCF 是等腰三角形；④如图4,作AC 的垂直平分线交AB 于点H.则ZIACH 就是等腰 三角形；⑤如图5,作AB 的垂宜平分线交AC 于点G,则ZlAGB 就是等腰三角形：⑥如 图6,作BC 的垂直平分线交AB 于I,则ZlBCl 就是等腰三角形.
()
A. 9个
B. 7个
C. 6个
D. 5个
【详
解】
图4 图5 图6
故选：B.
【点睛】
本题考查等腰三角形的判左的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确左相等的边是解题关键・
14.如图，MBC中，AB的垂直平分线DG交ZACB的平分线CD于点D ,过Z）作
DE丄AC于点若AC = IO, CB = 4,则AE=（）
A. 7
B. 6 C・ 3 D・ 2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接BD、AD,过点D作DF丄CB于点F,利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出
BD=AD, DE=DF,依据HL左理可判断出RtΔAED^RtΔBFD,根据全等三角形的性质即可得岀BF=AE＞再运用AAS左理可证得RtΔCED^RtΔCFD.证出CE=CF,设AE的长度为X，根据CE=CF列方程求解即可.
【详解】
如图，连接BD. AD,过点D作DF丄CB于点F.
V AB的垂直平分线DG交ZACB的平分线CD于点D , DE±AC, DF丄BC,
ABD=AD> DE=DF. ΛRt∆AED^RtΔBFD ・
∙∙∙BF 二AE ・
又V ZECD=ZFCD, ZCED二ZCFD, CA=CA, ΛRtΔCED^RtΔCFD.
ACE=CF >
设 AE 的长度为 x,则 CE=10-χ, CF=CB+BF= CB+AE= 4+x,
•••可列方程 IO-X=4+x, x=3, ΛAE=3;
故选C.
【点睛］
本题涉及到线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定左理及性质，解答 此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形解答.
15・如图，在RtΔABC 中，AC=BC, ZACB = 90° , D 为AB 的中点，E 为线段AD 上一 点，过E 点的线段FG 交CD 的延长线于G 点，交AC 于F 点，且EG=AE,分别延长CE,
BG 交于点H,若EH 平分ZAEG, HD 平分ZCHG 则下列说法：（DZGDH=45° :②GD=
【分析】 首先证明厶AEC^^GEC （SAS ）,推出 CA=CG, ZA=ZCGE=45° ,推出 DE=DG,故②正 确：再证明△ EDC^AGDB.推岀ZCED=ZBGD. ED=GD,由三角形外角的性质得出 ZHDG=ZHDE ∖进而得出ZGDH=ZEDH=45° ,即可判断①正确： 通过证明AEDC 和AEMD 是等腰直角三角形，得到ED=忑MD,再通过证明
EDC.得到FQED,从而可判断③错误；由CG=CD+DG, CD=AD. ED=GD,变形即 可判断④正确.
【详解】 9： AC=BC. ZACB=90° , AD=DB 9 ：.CD 丄AB, CD=AD=DB, ZA=ZCBD=45° ・
TEH 平分ZAEG 9 ：.ZAEH=ZGEH.
V ZAEH^ZAEC=180° , Z G£H+ZCeG=I80° ,
∙∙∙ ZAEC=ZCEG.
VAE=GE. EC=EC,
Λ ∆AEC^ΔGEC (SAS) •
：.CA=CG. ZA=ZCGE=45° ・
V ZFDG=90o ,
Λ ZDEG=ZDGE=45° ,
：.DE=DG 9 ZAEF=ZDEG=ZA=Λ5ζt t
故②正确：
9JDE=DG 9 ZCDE=ZBDG=90。

, DC=DB.
：.AEDC^AGDB (SAS),
C.②③④
ED ：③EF = 2DM:④CG = 2DE+AE> 正确的是（
【解
析】
∙∙∙ZCE D=ZBGD, ED=GD.
9：HD平分ZCHG,
:∙ZGHD=ZEHD ・
I ZCED=ZEHD七ZHDE, ZBGD=ZGHD十ZHDG,
：• ZHDG=ZHDE.
V ZfDG=ZΛDC=90o ,
：• ZGDH=ZEDH=45° ,故①正确；
V ZfDC=90° , ED=GD.
MEDC是等腰直角三角形，
Λ ZDEG=45° ・
V ZGDH=45",
Λ ZEDH=45° ,
.,.∆FMD是等腰直角三角形，
.9.ED=y f2 MD ・
V ZAEF=ZDEG=ZA=45° ,
∙∙∙ZAFE=ZCFG=90° .
V ZEDC=90° ,
∙∙∙ZEFC=ZEDC=90° .
TEH 平分ZAEG9
：.ZAEH=ZGEH.
•：ZFEC=ZGEH, ZDEC=ZAEH,
:∙ZFEC=ZDEC ・
T EC=EC,
：• ∖EFC9'EDC、
:∙ EF=ED.
:∙EF=迥MD.
故③错误：
∙.∙ CG=CDWG=AD^ED=AE^ED^ED f
.9.CG=2DE+AE.
故④正确.
故选B.
【点睛］
本题考查了等腰直角三角形的性质和判立，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.
16・如图，在等腰"BC中，AB=AC=6f^BAC=120o,点P、Q分别是线段3C、射线弘上一点，则CePQ的最小值为（）
A. 6
B. 7.5
C. 9 D・ 12
【答案】C
【解析】
【分析】
通过作点C关于直线AB的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.
【详解】
解：如图，作点C关于宜线AB的对称点G , CG交射线BA于
H,过点C］作BC的垂线，垂足为P,与AB交于点Q CQ+PQ的长即为PCl的长.
ΛZABC=30o,
易得BC=6√3 »
在RtZkBHC 中，ZABC=30\
∙∙∙HC=3√^, ZBeH=60°,
.e∙ CCl= 6\/3,
在RtAPCC1中，ZPCC l=60°,
：.PG= 9
∙∙∙CQ+PQ的最小值为9,
故选：C.
【点睛］
本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解
题的关键.
17・如果三角形有一个内角为120%且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是（）
A. 150B・ 40 C・15°或20°D・15°或40°
【答案】C
【解析】
【分析】
依据三角形的一个内角的度数为120°,且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数.
【详解】
如图1,当ZA=120o, AD=AC, DB=DC 时，ZADC=ZACD=30% ZDBC=ZDCB=I5°,
所以，ZDBC=I5o, ZACB=30o+15o=45o;
故ZABC=60o, ZC=80o;
如图2,当ZBAC=I20°,可以以A为顶点作ZBAD=20%则ZDAC=IOO o,
VΔAPB, AAPC都是等腰三角形；
Λ ZABD=20% ZADC=ZACD=40%
如图3,当ZBAC=I20°,以A 为顶点作ZBAD=80\ 则ZDAC=40%
VΔAPB, AAPC都是等腰三角形，
Λ ZABD=20% ZADC=IOO o, ZACD=40°.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和立理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握
等腰三角形的性质以及三角形内角和左理.
18・如图，ZAOB=30Q , ZAOB内有一左点P、且OP= 129在QA上有一动点Q, OB ± 有一动点R Q若"QR周长最小，则最小周长是（）
A. 6
B. 12
C. 16 D・ 20
【答案】B
作点P关于OA的对称点点&点P关于OB的对称点点F,连接EF分别交QA于点Q交
OB于点R,连二接OF、OF r
VPS E关于OA对称，：.OE=OP=I2 t ZEOA=ZAOP t QE=QP t
同理可证OP=OE2 t ZBOP=ZBOF I RP=RF I
：.OE=OF=I2 I ZEOF= Z EOP^ZFOP=2 ZAOB=60o r
：.AOEF是等边三角形，
ΛFF=12 ,
•I Cwm=PQ 十PR 十QR=EQ+QR+RF=EF=12 ・
故选B.
点睛：本题关键在于利用轴对称的性质确^APQR周长最小时点Q、R的位置再结合等边三角形的判左求出APQR的周长・
19.如图，已知AD为MBC的髙线，AD=BC t以AB为底边作等腰Rt∆ABE,连接
ED, EC,延长CE交AD于F点，下列结论：
φ∆ADE^ΔBCE ；②CE丄DE ；③BD=AF ；④SABDE=SMg 英中正确的有（）
D.①③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①易证ZCBE=ZDAE,即可求证：BCEt
②根据①结论可得ZAEC=ZDEB,即可求得ZAED=ZBEG,即可解题；
③证明△ AEF竺HBED即可：
④易证ZkFDC是等腰直角三角形，则CE=EF9S,M=S"°由仝ZkBFD,可知
【详解】
①TAD 为ZXMC 的髙线，∙∙∙ZCBE+ZABE+ZBAD=90Q.
TRtZMBF 是等腰直角三角形，.∖ZABE=ZBAE=ZBAD+ZDAE=45% AE=BE. AE = BE
∙∙∙ZCBE+ZBAD=45S ：・ZDAE=ZCBE∙在和ZkCBF 中，V ΛDAE = ZCBE 9
AD = BC
•
Λ ∆ADE^∆BCE (SAS):故①正确：
②Y ∕∖ADE3厶BCE、：. ZEDA=ZECB.
V ZΛDE÷ZfDC=90o, ∙'∙ ZFDC+ZFCB=90°, Λ ZDEC=90% ∙'∙ CE丄DQ 故②正确：
③V ZBDE=ZADB+ZADE9 ZAFE=ZADC+ZECD, A ZBDE=ZAFE.
∙.φ ZBED十ZBEF=ZAEF+ ZBEF=90°, ：. ZBED=ZAEF・
ZBDE = ZAFE
在"FF 和ZXBED 中，∖9<ΛBED = AAEF 9ΛΔBED (AAS) , ：. BD=AF；故③正
AE = BE
确：
® VAD=BC, BD=AF, ：. CD=DF・
-ADLBC. ：. AFDC是等腰直角三角形.
9： DElCE. ：. EF=CE. ：.E^SΛACE.
T △ AEF仝△ BED,/.S∕.Λff=S.Λβfo, ∙e∙ SMQf=S MCE・故④止确.
故选C・
【点睛】
本题考查了全等三角形的判圧与性质.本题中求证△ BFE^^CDE是解题的关键.
20.如图，在平而直角坐标系中，A(l, 2), B(3, 2),连接AB∙点P是X轴上的一个动点，连接AP、BP,当AABP
的周长最小时，对应的点P的坐标和AABP的最小周长分别为
A. (1, 0), 2血+ 4
B. (3, 0), 2√Σ + 4
C. (2,0), 2√5
D. (2,0), 2√5+2
【答案】D
【解析】
作&关于X轴的对称点N(I I-2 ),连接BN与X轴的交点即为点P的位宜，此时'ABP的
设直线BN的解析式为y = kx + b I
V∕V(1 Z -2) , 8(3 , 2),
.(k+b = -2
…3k + b = 2 '
k = 2
解得匕「
方=一4
∙∙∙ y = 2x-4 ,
当y = o时，2x-4 = 0 I
解得，x = 2 ,
・•・点P的坐标为(2,0)；
•・•如,2) , 8(3 , 2),
:∙AB∕/X轴，
VAN丄X轴,
：.AB丄X轴，
在Rt△&3C 中，AB = 2 t AN = 4 t 由勾股定理得，
BN 二y∣ AB2 +AN2=√22 + 42= 2√5，
9：AP=NP
f
.∖∆ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN=2+2 卡・故选D. 点睹：本题考查最短路径问题•利用轴对称作出点P的位宜是解题的关键・。