高二数学空间直角坐标系知识精讲

高二数学空间直角坐标系
【本讲主要内容】
空间直角坐标系
空间直角坐标系的建立，空间两点的距离公式
【知识掌握】
【知识点精析】
1. 空间直角坐标系的建立
在直角坐标系xOy 中，通过原点O ，再作一条数轴z ，使它与x 轴、y 轴都垂直。

如图，轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y 轴的正半轴重合。

这时，就说在空间建立了一个空间直角坐标系O —xyz ，O 叫做坐标原点，每两条坐标轴分别确定的平面xOy ，yOz ，xOz 叫做坐标平面。

z
O y
x
2. 空间直角坐标系的画法
用斜二测画法画x 轴、y 轴，再画z 轴，使得z 轴⊥xOy 平面（∠zOy=90°）
3. 空间一点坐标的意义
设M 是空间内一点，过M 点作三个半平面分别垂直于坐标轴，记它们与Ox ，Oy ，Oz 轴的交点顺次为A 、B 、C ，若A 、B 、C 在对应坐标轴上的坐标分别为x 、y 、z ，则把（x ，y ，z ）叫做M 点的直角坐标，记为M （x ，y ，z ），x 叫做横坐标，y 叫做纵坐标，z 叫做竖坐标。

这样，在空间任意一点与三个实数的有序数组（点的坐标）之间，建立起一一对应关系。

z)y,(x,P ↔
4. 空间直角坐标系的卦限
三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一卦限。

在坐标平面xOy 上方，分别对应该坐标平面上的四个象限的卦限，称为第I ，第II ，第III ，第IV 卦限，在下方的卦限称为第V ，第VI ，第VII ，第VIII 卦限。

在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的，如第I 卦限，三个坐标分量x ，y ，z 都为正数，在第二卦限，x 为负数，y ，z 都为正数……
5. 空间两点的距离公式：
空间两点A （x 1，y 1，z 1）、B （x 2，y 2，z 2）的距离是：
212212212)z z ()y y ()x -(x B)d(A,-+-+=
【解题方法指导】
例1. 如图，在长方体OABC －D'A'B'C'中，|OA|=3，|OC|=4，|OD'|=2，写出D'，C ，A'，B'四点的坐标。

z
y
x
解：∵D'在z 轴上，且|OD'|=2
∴D'点的竖坐标是2，横坐标与纵坐标都是零
因此D'点坐标为D'（0，0，2）
同理可得C 点的坐标为C ’（0，4，0），点A'的坐标是A （3，0，2）
点B'在xOy 平面上的射影是B ，因此它的横坐标x 与纵坐标y 同点B 的横、纵坐标相同
在xOy 平面上，点B （3，4，0）
所以B'的横坐标x=3，纵坐标y=4
又点B'在z 轴上的射影是D'，点D'的竖坐标z=2，而B'与D'竖坐标相同
所以点B'的坐标是B'（3，4，2）
点评：求空间点的坐标的方法，找（或作出）过该点与三个坐标轴垂直的半平面与三个坐标轴的交点的坐标。

例2. 在z 轴上，求与点A （-4，1，7）和点B （3，5，-2）等距离的点。

解：因为所求的点M 在z 轴上，所以设该点为M （0，0，z ）
依题意有：|MA|=|MB|
即222222)z 2()05()03()7z ()10(4)(0--+-+-=-+-++
解得9
14z = 故所求的点为M （0，0，
914）
例3. 求证：以M 1（4，3，1），M 2（7，1，2），M 3（5，2，3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

分析：证明一个三角形为等腰三角形或证明三角形中有两个角相等，或证明三角形有两条边相等，本题的条件适合证明边相等
证明：14)21()13()74(|M M |2
22221=-+-+-=
6)23()12()75(|M M |222232=-+-+-=
6)13()32()45(|M M |222213=-+-+-=
由于|M M ||M M |1332=，且M 1，M 2，M 3三点不在一条直线上，所以原结论成立。

点评：如果先求出的两条边已相等，就不必再求第三条边的长度。

【考点突破】
【考点指要】
在高考题中，立体几何每年必考一道解答题，属中档题，可用两种方法来解，其中一种方法就是采用空间向量来解，要涉及到建立空间直角坐标系，找出点的坐标，求空间两点间距离等，此题约14分。

【典型例题分析】
例4. （’05全国III ，川、滇、陕、甘、黔，18）
如图，在四棱锥V —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD
（I ）证明AB ⊥平面V AD 。

（II ）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小。

V
D C
A B
（I ）证明：以D 为坐标原点，DA 、DC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过D 点与平面ADC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系（如图）
设A （1，0，0），则B （1，1，0），V （2
3,0,21） )2
3,0,21(VA ),,1,00(AB -=→=→
由VA AB 0VA AB ⊥=→⋅→得
又∵AB ⊥AD
且面AB 与平面V AD 内两条相交直线垂直
∴AB ⊥平面V AD
（II ）解：设E 为DV 中点，则E （41，0，4
3） )2
3,0,21(DV ),43,0,43(EB ),43,0,43(EA =→-=→=→ 由0DV EB =→⋅→，得EB ⊥DV ，又EA ⊥DV
因此，∠AEB 是所求二面角的平面角
721|
EB ||EA |EB EA EB ,EA cos =→⋅→→⋅→>=→→< 所以所求二面角的大小为7
21arccos 点评：此题是一道立体几何题，若用向量方法解需要建立空间直角坐标系，求出点的坐
标。

在（II ）中，求|EB |→的原理是两点间距离公式。

本题还考查了线面垂直，求二面角大
小等知识。

例5. （’06北京西城一模，17）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1=2
（I ）证明：AB 1⊥BC 1
（II ）求二面角C 1—AB 1—A 1的大小
（III ）求点B 到平面AB 1C 1的距离
C 1
A 1
B 1
C
A B
（I ）证明：如图建立直角坐标系，其中C 为坐标原点，依题意A （2，0，0），B （0，2，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2）
y
因为0BC AB 11=→⋅→
所以AB 1⊥BC 1
（II ）因为BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，所以→CB 为平面ACC 1的法向量
(0,2,0
CB =→ 设)z ,y ,x (n 1111=→是平面ABC 1的法向量
由0AC n ,0AB n 111=→⋅→=→⋅→得
⎩⎨⎧=+-=+-0
z x 0y x 1111 所以⎩⎨⎧==11
11z x y x 令1z 1=，则)1,1,1(n =→
因为33|
n ||CB |n CB n ,CB cos 111=→⋅→→⋅→>=→→< 所以二面角C 1—AC 1—B 的大小为3
3arccos （III ）设)z ,y ,x (n 2222=→是平面AB 1C 1的法向量
由0AC n ,0AB n 1212=→⋅→=→⋅→
得⎩⎨⎧=+-=++-0
z x 0z y x 22222
所以⎩⎨⎧==2
22z x 0y 令z 2=1，则)1,0,1(n 2=→
因为)0,2,2(AB -=→，所以B 到平面AB 1C 1的距离为2|
n ||n AB |d 22=→→⋅→=
【综合测试】
一. 选择题（本大题4个小题，共20分）
1. （’04天津，6）
在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于（ ）
D 1 C 1
A 1
B 1
E
D C
F O
A B
A. 510
B. 515
C. 54
D. 3
2 2. （’03合肥第二次抽样，11）
在直三棱柱ABC —A'B'C'中，AB=AC=AA'=1，∠BAC=90°，则A'C 与BC'所成的角的大小为（ ） C' B'
A'
C B
A
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D. 2
π 3. （’05崇文4月，5）
正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与MC 所成角的余弦值是（ ）
P
C B
M A. 23 B. 63 C. 43 D. 3
3 4. （’04江苏盐城第三次调研）
三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=1，2PC PB =
=，则点P
到平面ABC 的距离为（ ）
C
P B
A A. 22 B. 2 C. 62 D. 1
二. 填空题（本大题6个小题，共30分）
5. 点P 1（1，0，-1）与P 2（4，3，-1）之间的距离是_______________。

6. 点（1，1，1）关于z 轴对称的点的坐标是_____________________。

7. 点（2，3，4）关于坐标平面yOz 对称点的坐标是______________。

8. 设z 为任意实数，相应的所有点P （1，2，z ）的集合对应的图形是______________。

9. 点A 与坐标原点的距离是3，并且它的坐标分量都相等，则A 的坐标是______________。

10. 在坐标平面xOy 上，与点A （3，2，5）、B （3，5，1）的距离相等的一个点是____________（写出一个即可）。

三. 解答题（本大题4个小题，共50分）
11. 在空间直角坐标系O —xyz 中，作出8个点（1，1，1）（1，1，-1）（1，-1，1）（1，-1，-1）（-1，1，1）（-1，1，-1）（-1，-1，1）（-1，-1，-1）（12分）
12. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图，其中色点代表钠原子，建立空间直角坐标系后写出全部钠原子所在位置的坐标。

（14分）
13. 设P在x轴上，它到P1（0，2，3）的距离为到点P2（0，1，-1）的距离的2倍，求P点坐标（12分）
14. 已知一长方体的三条棱AB、AC、AD端点的坐标分别为A（1，2，1），B（1，5，1），C（1，2，7），D（3，2，1），求这个长方体的长、宽、高和对角线的长。

（12分）
综合测试答案
一. 选择题
1. B
解析：如图建立直角坐标系，求得
z
y
x
F （1，0，0），D 1（0，0，2），O （1，1，0），E （0，2，1）
)1,1,1(OE -=→，)2,0,1(FD 1-=→
515|533|||
FD ||OE |FD OE ||FD ,OE cos |111=⋅=→⋅→→⋅→=>→→< 2. B
解析：如图，建立直角坐标系，则B （0，1，0），A'（0，0，1），C （0，1，0）
，C'（0，1，1）
z
(0,1,-1C 'A =→，
)1,0,0('BC =→ 22|121|||
'BC ||C 'A |'BC C 'A ||'BC ,C 'A cos |=⋅-=→⋅→→⋅→=>→→<
∴A'C 与BC'所成的角为4
π。

3. B
解析：如图建立空间直角坐标系，设正四面体边长为2，则
z
y
P （0，0，362），A （332，0，0），M （63，21，0），C （3
3-，-1，0） ,0)23,-23(-MC ),362,0,-332(PA =→=→ 63|12
001||MC ,PA cos |=++-=>→→< 4. A
解析：如图建立直角坐标系，则A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，0
，2）
y x
)2,2,0(BC ),2,0,1(AC -=→-=→
设平面ABC 的一个法向量为)z ,y ,x (n =→
则0n BC 0,n AC =→⋅→=→⋅→
有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0
z 2y 20z 2x - 令z=1，则y=1，2x =
)1,1,2(n =→∴
66|32002|||
AC ||n |AC n ||AC n cos |=⋅++-=→⋅→→⋅→=>→⋅→< ∴P 到面ABC 的距离2
266366|AC |d =⨯=⋅→= 故选A
二. 填空题
5. 23
解析：23)11()03()14()P ,P (d 22221=+-+-+-=
6. （-1，-1，1）
解析：关于z 轴对称，竖坐标不变，横、纵坐标为原来的相反数。

7. （-2，3，4）
解析：关于坐标平面yOz 对称，竖坐标、纵坐标不变，横坐标为原来的相反数
8. 过（1，2，0）点与坐标平面xOy 垂直的直线
解析：由横、纵坐标不变知P 点只作上下运动，因此得答案
9. )3,-3,-3(-),3,3,3(
解析：设A （a ，a ，a ），则由3a a a |AO |222=++=得3a ±=
故得)3,-3,-3A(-)3,3,3(A 或
10. （3，2
1-，0） 解析：设所求点坐标为P （x ，y ，0），则由|PA|=|PB|得
2222221)5y ()3x (5)2y ()3x (+-+-=+-+-
得21y -
=
三. 解答题
11. 解：以正方体的中心作正方体，且使正方体的棱分别平行于三个坐标轴，正方体的棱长为2
则作出的点分别是A （1，1，1），B （1，1，-1），C （1，-1，1），D （1，-1，-1），E （-1，1，1），F （-1，1，-1），G （-1，-1，1），H （-1，-1，-1）
12. 解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标
下层的原子全部在xOy 平面上，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，0）（1，0，0）（1，1，0）（0，1，0）（21，2
1，0） 中层原子所在平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为
2
1 所以这四个钠原子所在位置的坐标分别是（21，0，21）（1，21，21）（21，1，2
1），（0，21，21） 上层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，1）（1，0，1）（1，1，1）（0，1，1）（
21，21，1） 13. 解：因为点P 在x 轴上，设点P 的坐标为（x ，0，0）
11x 3)2(x |PP |22221+=++=
2x 1)1(x |PP |22222+=+-+=
∵|PP 1|=2|PP 2|
∴2x 211x 22+=+
解得1x ±=
所求点为（1，0，0），（-1，0，0）
14. 解：∵3)11()25(1)-(1|AB |222=-+-+=
6)17(2)-(21)-(1|AC |222=-++=
2)11()22(1)-(3|AD |222=-+-+=
D
A B
C E
∴长方体的长宽高分别为3，6，2
∴长方体对角线长7263222=++=
答：这个长方体的长、宽、高、对角线长分别为3，6，2，7。