18版高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和课件新人教B版必修5

10
∴a≤12.3，故 2014 年最多出口 12.3 吨.
[探究共研型]
错位相减法求和
探究 1
由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数
列{n· 2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前 n 项和 Sn 的表达式是什么？
【提示】 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n· 2n}既不是等差数列， 也不是等比数列.该数列的前 n 项和 Sn 的表达式为 Sn＝1· 21＋2· 22＋3· 23＋…＋ n· 2n.
【解】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项 a1＝a，公比 q＝1 －10%＝0.9，∴an＝a· 0.9n 1(n≥1).
－
(2)10 年的出口总量 a1－0.910 S10＝ ＝10a(1－0.910). 1－0.9 ∵S10≤80， 8 ∴10a(1－0.9 )≤80，即 a ≤ ， 1－0.910
a11－q3 21－q3 【解析】 ∵S3＝ ＝ ＝26，∴q2＋q－12＝0，∴q＝3 或－4. 1－q 1－q
【答案】 3 或－4
3.等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝44，则 a1＝________.
【解析】 得 a1＝4. a1[1－－25] 由 S5＝ ＝44， 1－－2
b1＝4， 所以 bn＝3n＋1. d＝3.
6n＋6n＋1 (2)由(1)知 cn＝ 2n＋1， n ＝3(n＋1)· 3n＋3 又 Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得 Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n 1]，
＋
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n 1－(n＋1)×2n 2]
等比数列的前 n 项和公式
1.设{an}是公比为正数的等比数列，若 a1＝1，a5＝16，则数列{an}前 7 项的 和为________.
【解析】 ∵a5＝a1q4，∴q＝± 2.∵q>0，∴q＝2， a11－q7 27－1 ∴S7＝ ＝ ＝127. 1－q 2－1
【答案】 127
2.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比 q＝________.
【自主解答】
法一：设每个月还贷 a 元，第 1 个月后欠款为 a0 元，以后
第 n 个月还贷 a 元后，还剩下欠款 an 元(1≤n≤6)， 则 a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a.
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a a[1＋0.016－1] ＝ 1.01－1 ＝a[1.016－1]×102(元). 1.016×102 由 S1＝S2，得 a＝ . 1.016－1 以下解法同法一，得 a≈1 739，故每月应支付 1 739 元.
解数列应用题的具体方法步骤： 1认真审题， 准确理解题意， 达到如下要求,①明确问题属于哪类应用问题， 即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是 求 an， 还是求 Sn？特别要注意准确弄清项数是多少.,②弄清题目中主要的已知事 项.
[再练一题] 1 1 3 n 3.2＋2＋8＋…＋2n＝________.
【解析】 1 2 3 n 令 Sn＝2＋4＋8＋…＋2n， ① ②
n－1 1 1 2 3 n 则2Sn＝4＋8＋16＋…＋ 2n ＋ n＋1， 2
1 1 1 1 1 n 由①－②得，2Sn＝2＋4＋8＋…＋2n－ n＋1 2 1 1n 1－ 2 2 n ＝ 1 －2n＋1， 1－2
a11－qn － (1) 法一 ：由 Sn ＝ ， an ＝ a1qn 1 以及已知条件得 1－q
a11－2n 189＝ ， 1－2 － 2n 1， 96＝a1· ∴a1· 2n＝192， 192 ∴2 ＝ a . 1
n
∴189＝a1(2 ∴a1＝3. 又∵ 2
n－1
n
阶 段 一
阶 段 三
2.3.2 第 1 课时
阶 段 二
等比数列的前 n 项和 等比数列的前 n 项和
学 业 分 层 测 评
1.掌握等比数列的前 n 项和公式及其应用.重点 2.会用错位相减法求数列的和.难点 3.能运用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题.
[基础· 初探]
教材整理 等比数列的前 n 项和 阅读教材 P48～P50，完成下列问题.
【答案】 4
S5 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，8a2＋a5＝0，则S ＝________. 2
【解析】 由 8a2＋a5＝0，
a5 得a ＝－8，即 q3＝－8， 2 所以 q＝－2. a1[1－－25] 1－－2 1－－25 S5 S2＝a1[1－－22]＝1－－22＝－11. 1－－2
【精彩点拨】
解决等额还贷问题关键要明白以下两点
(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本 金的数额是不同的，复利的计算公式为 S＝P(1＋r)n，其中 P 代表本金，n 代表 存期，r 代表利率，S 代表本利和. (2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什 么，公比或公差是多少.
[再练一题] 1.在等比数列{an}中， (1)若 q＝2，S4＝1，求 S8; 【导学号：18082035】 5 (2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝4，求 a4 和 S5.
【解】
(1)法一：设首项为 a1，∵q＝2，
a11－24 1 S4＝1，∴ ＝1，即 a1＝15， 1－2 1 8 1 － 2 8 a11－q 15 ∴S 8 ＝ ＝ ＝17. 1－q 1－2
探究 2 在等式 Sn＝1· 21＋2· 22＋3· 23＋…＋n· 2n 两边同乘以数列{2n}的公比 后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求 Sn 的问题 转化为等比数列的前 n 项和问题吗？
【提示】
在等式 Sn＝1· 21＋2· 22＋3· 23＋…＋n· 2n①
两边同乘以{2n}的公比可变形为 2Sn＝1· 22＋2· 23＋3· 24＋…＋(n－1)· 2n＋n· 2n＋1② ②－①得：Sn＝－1· 21－22－23－24－…－2n＋n· 2n ＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n· 2n＋1. 此时可把求 Sn 的问题转化为求等比数列{2n}的前 n 项和问题.我们把这种求 由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前 n 项和 的方法叫错位相减法.
【自主解答】
(1)由题意知，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当 n＝1 时，a1＝S1＝11，满足上式， 所以 an＝6n＋5. 设数列{bn}的公差为 d.
由 a1＝b1＋b2， 11＝2b1＋d， 即 a2＝b2＋b3， 17＝2b1＋3d，
可解得
2抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字 语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达 3将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的 数学关系式.
[再练一题] 2.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨，该 矿区计划从 2014 年开始出口，当年出口 a 吨，以后每年出口量均比上一年减少 10%. (1)以 2014 年为第一年，设第 n 年出口量为 an 吨，试求 an 的表达式； (2)因稀土资源不能再生，国家计划 10 年后终止该矿区的出口，问 2014 年 最多出口多少吨？(保留一位小数.参考数据：0.910≈0.35.)
＋1
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且 an＝bn ＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； an＋1n 1 (2)令 cn＝ n ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn＋2
＋
【精彩点拨】 (1)利用 Sn 与 an 的关系求出 an， 再利用待定系数法求出 bn.(2) 先化简 cn，再利用错位相减法求和.
【答案】 －11
[小组合作型]
等比数列的前n项和公式的基本运算
在等比数列{an}中， (1)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； 3 9 (2)若 a3＝2，S3＝2，求 a1 和公比 q.
【精彩点拨】 利用等比数列的前 n 项和公式及通项公式，列出方程组 a －1， 1
96 ＝ 3 ＝32，∴n＝6.
a1－anq 法二：由公式 Sn＝ 及条件得 1－q a1－96×2 189＝ ，解得 a1＝3， 1－2 又由 an＝a1· qn－1， 得 96＝3· 2n 1，解得 n＝6.
－
a11－q3 9 (2)①当 q≠1 时，S3＝ ＝2， 1－q 3 又 a3＝a1· q ＝2，
＋ ＋
n 4 1 － 2 n＋2 －n＋1×2 ＝3×4＋ 1 － 2
＝－3n· 2n＋2， 所以 Tn＝3n· 2n＋2.
错位相减法的适用范围及注意事项： 1适用范围： 它主要适用于{an}是等差数列， {bn}是等比数列， 求数列{anbn} 的前 n 项和. 2注意事项： ①利用“错位相减法”时， 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时， 应注意使两式错对 齐，以便于作差，正确写出1－qSn 的表达式. ②利用此法时要注意讨论公比 q 是否等于 1 的情况.
由题意，可知 a6＝0， 即 1.016a0－[1＋1.01＋…＋1.015]a＝0， 1.016×102 a＝ . 1.016－1 ∵1.016＝1.061， 1.061×102 ∴a ＝ ≈1 739. 1.061－1 故每月应支付 1 739 元.
法二：一方面，借款 10 000 元，将此借款以相同的条件存储 6 个月，则它 的本利和为 S1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元). 另一方面，设每个月还贷 a 元，分 6 个月还清，到贷款还清时，其本利和 为
2
9 ∴a1(1＋q＋q )＝2，
2
3 2 9 2 即q2(1＋q＋q )＝2，
1 解得 q＝－2(q＝1 舍去)，∴a1＝6. 3 ②当 q＝1 时，S3＝3a1，∴a1＝2. 3 a1＝6， a1＝ ， 2 综上得 1 或 q＝－2 q＝1.
1.在等比数列 {an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，已知其中的三个量，通过 列方程组求解，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具 体应用. 2.在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1 或 q≠1 进行判断， 若两种情况都有可能，则要分类讨论.
∵a1≠0,1＋q2≠0， 1 1 ∴②÷ ①得，q ＝8，即 q＝2，
3
∴a1＝8. ∴a4＝a1q
3
13 ＝8×2 ＝1， 15 8×1－2
a11－q5 S5＝ ＝ 1－q
1 1－2
31 ＝2.
等比数列前 XXX n项和公式的实际应用
借贷 10 000 元，以月利率为 1%，每月以复利计息借贷，王老师从 借贷后第二个月开始等额还贷，分 6 个月付清，试问每月应支付多少元？ (1.016≈1.061,1.015≈1.051)
a11－q4 法二：∵S4＝ ＝1，且 q＝2， 1－q a11－q8 a11－q4 ∴S8＝ ＝ (1＋q4)＝S4· (1＋q4)＝1×(1＋24)＝17. 1－q 1－q (2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 a1＋a1q2＝10， 5 3 5 a q ＋a1q ＝4， 1 a11＋q2＝10， 即 5 3 2 a q 1＋q ＝4， 1 ① ②