概率论与数理统计第2章随机变量

2.2.1 离散型随机变量分布律的 定义及性质
定义2.2.1 若离散型随机变量 的所有的取值为 ，在每 一点取值的概率为
P{X x k } pk , k 1, 2,
（2.2.1）
称式（2.2.1）为离散型随机变量X的概率分布或分布 律．分布律也可写成下列的表格形式：
X
x1 x2
p1
… …
服从参数为p两点分布或(0-1)分布．用分布律表表示为：
X
0
1 p
1
pk
p
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
2.二项分布 令X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则X是一个 随机变量，它的所有可能取值为 0,1,, n， 其分布律为
n k P{ X k} p (1 p)nk , (k 0,1,..., n) k
k 0 1 2 3 4 >4
k
按 n=100 p=0.01 0.386 0.370 0.185 0.061 0.015 0.003
k
k!
e 计算
n=10 p=0.10 0.349 0.385 0.194 0.057 0.011 0.004
n=20 p=0.05 0.358 0.377 0.189 0.060 0.013 0.003
（2.2.4）
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
二项分布的图形特点：
Pk
k
0
k n=10, p=0．7
.
.
.
.
0
n=13, p=0．5
k
图2. 1
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
例2.2.5 有一大批产品，其次品率为10%，现从中任意抽 取5件，求最多有2件次品的概率． 解 产品量很大时，不放回抽样近似于放回抽样，定义X
（3）至少有1甁的概率．
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
解 令X表示收到破汽水甁数，则X ~ B 1000,0.04 . n 1000 远远大于10， p 0.04 0.1 ，所以X近似服从参数
np 100 0.04 4 的泊松分布，
（1）恰有两只破汽水甁的概率为
n=40 p=0.025 0.363 0.372 0.186 0.060 0.014 0.005
np 1
0.368 0.368 0.184 0.061 0.015 0.004
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
例2.2.10 商店订购1000甁汽水，在运输途中瓶子被打破 的概率为0.04，求商店收到破汽水甁 （1）恰有两甁的概率； （2）多于2甁的概率；
概率论与数理统计
第2章 随机变量
第2章 随机变量
2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量
2.3 连续型随机变量
2.4 随机变量函数的分布
2.1 随机变量及其分布函数
1
随机变量的概念
2
随机变量的分布函数
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 设E是随机试验，样本空间为 {} ，如
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
（2）画频率分布直方图
图2.3某中学学生身高的频率直方图
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
图2.4
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
图2.5
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
2． 连续型随机变量的定义及性质 （1）定义2.3.1 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存 在非负的f(x)，使得对于任意的实数x有
为取到的次品的件数，则 X ~ B 5,10% ，所以所求概
率为
P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 5 5 4 (1 10%) 10%(1 10%) 10% 2 (1 10%)3 1 2 0.5905 0.3281 0.0729 0.9914．
一同心圆的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能 击中靶子，以X表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量 X的分布函数．
2.1.2 随机变量的分布函数
解 当x<0时，{ X x} 是不可能事件，于是
F ( x) P X x 0
当 0 x2
时，
P0 X x kx2，
解 令X表示这一页上印刷错误的个数，则 X ~ P(0.5)
即
0.5k e0.5 P{ X k} , k！ k 0,1, 2,
故
P{X 1) 1 P{X 0} 1 e0.5 0.385
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
定理2.2.1(泊松定理)
n
F ( x) P X x 1
所以
x 0, 0, 1 2 F ( x) x , 0 x 2, 4 x 2Байду номын сангаас 1,
2.1.2 随机变量的分布函数
定理2.1.1 任一分布函数F(x)都有如下性质： (1）单调性： F(x)单调不减，即若x1<x2，则有 F ( x1 ) F ( x2 )
求常数a的值．
解 由离散型随机变量分布律的归一性得
P{ X k}=
k 1
n
ak a
k 1
n
n( n 1 ) 1, 2
于是
a
2 n(n 1)
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
1．两点分布或(0-1)分布 若在一次随机试验中随机变量X只能取0或1两个值，且它 的分布律为 P{ X = 1} = p ， P X 0 1 p ，则称随机变量X
F ( x) f (t )dt
x
(2.3.1)
则称X为连续型随机变量，其中f(x)为X的概率密度函数 （简称为密度函数）．
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
（2）密度函数f(x)的性质： （i） f ( x) 0 （ii）

f ( x)dx 1
（2.3.2）
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
(3) 破汽水甁至少有1甁的概率为
e4 40 P{ X 1} 1 P{ X 0} 1 0.9817 0!
2.3 连续型随机变量
1
连续型随机变量的概念及性质
2
几个常用的连续型的分布
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
1.频率直方图 例2.3.1 为了了解中学生的身体发育情况，从某中学中随机 抽取了同年龄的60名学生测量他们的身高，结果如下（单位：
e4 42 P{ X 2} 0.1465 2!
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
（2）破汽水甁多于2瓶的概率为
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} P{ X 2}
=
4 2 e 4 1 e4 4e4 0.761897 2!
0 F ( x) 1 ，且 (2）有界性：
F () lim F ( x) 0, F () lim F ( x) 1
x x
(3）右连续性： F ( x 0) F ( x)
2.2 离散型随机变量
1
离散型随机变量分布律的定义及性质
2
常用离散型随机变量的分布
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
(1)数据的分组 （i）确定组数 （ii）确定组距.组距= （iii）确定分点．
K 169 146 3 7
（iv）列频数（率）分布表
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
表2．2 某中学学生身高的频数（率）分布 分组 145.5～148.5 148.5～151.5 151.5～154.5 154.5～157.5 157.5～160.5 160.5～163.5 163.5～166.5 166.5～169.5 合计 频数 1 3 6 8 18 11 10 3 60 频率 0.017 0.050 0.100 0.133 0.300 0.183 0.167 0.050 1.000
设随机变量 X n ~ B(n, pn ),
n 1, 2,L .
若 lim npn 0 ，则有
lim P{ X n k}
k
k!
n
e , k 0,1, 2, L n
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
表2.1 二项分布与泊松分布计算所得的概率值的比较
n k nk P { X k } p (1 p) 计算 按
图2.6
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
例2.3.2 设随机变量X的概率密度函数为
ke3 x , x 0, f ( x) x 0. 0,
（1）求常数k；
（2）求其分布函数F(x)；
（3）求 P{X > 0.1}
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
解 （1）由式(2.3.2)得
取x=2，有
1 P0 X 2 4k
故k=1/4，即
P 0 X x 1 2 x 4
2.1.2 随机变量的分布函数
于是
F ( x) P X x P{ X 0} P{0 X x} 1 2 x 4
当 x 2 时，{ X x} 是必然事件，于是
1 ， a x b， f ( x) b a 其它. 0，
5
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
3．泊松（Poisson）分布 若随机变量X所有可能取值为一切非负整数，其分布律为
k e P{ X k} , k！ k 0,1, 2,
（2.2.5）
2.2.2 常用离散型随机变量的分布
例2.2.8 设书中每一页印刷错误的个数服从参数为 0.5 的泊松分布，求在这一页书上至少有一处印刷错误的概 率．
0 0 x
于是
1 e 3 x , x 0, F ( x) x 0. 0,
（3）
P{X 0.1} 1 P{X 0.1} 1 F (0.1) 1 (1 e0.3 )
e0.3 0.741
2.3.2 几个常用的连续型的分布
1．均匀分布 若X的概率密度函数为
厘米）：
167 159 158 162 158 162 154 156 158 162 160 162 159 166 153 159 165 159 166 160 158 154 158 157 169 164 164 165 163 159 159 160 158 166 163 149 156 157 163 157 162 164 166 156 158 151 161 168 162 157 153 146 154 159 158 161 157 151 165 153
pk
p2
xk pk
… …
2.2.1 离散型随机变量分布律的 定义及性质
分布律的性质： （1）非负性：pk 0, k 1, 2, （2）归一性：
p
k 1

k
1
（2.2.2）
2.2.1 离散型随机变量分布律的 定义及性质
例2.2.1 设随机变量X所有可能的取值为1, 2,
, n ，且
P X k ak , k 1,2,L n，
0


f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx


0
ke3 x dx
0
k 1, 3
得k=3于是随机变量X的概率密度为
2.3.1 连续型随机变量的概念及性质
（2）当 x 0 时，
F ( x) 0dt 0
x
当x>0时，
F ( x) 0dt 3e3t dt 1 e3 x
果对每一个样本点 ，都有唯一的一个实数 X ()与 之对应，这样就可以得到一个定义在Ω 上的单值实值函 数 X () ，称X () 为随机变量，简记为X．
2.1.1 随机变量的概念
例2.1.1 抛一枚硬币两次，观察正反面出现的情况．正 面用“H”表示，反面用“T”表示，则样本空间 Ω = {HH，HT，TH，TT } ．定义X为正面出现的次数，则对
于样本空间中的每一个样本点，X都有一个值与之对应：
样本点
X的值
HH
2
HT
1
TH
1
TT
0
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设X是随机变量，x是任意实数，称
F ( x) P X x
为随机变量X的分布函数．
2.1.2 随机变量的分布函数
例2.1.4 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任