2022新人教A版高一数学课时同步练习题：基本不等式

第 1 页 共 10 页
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）
A ．1 B
C
D ．
12
【答案】D
【解析】因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得1
2
xy ≤ . 故选：D.
2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ）
A ．18
B ．9
C ．6
D ．
【答案】C
【解析】因为90,30a b >>，22a b +=，
所以936a b +≥==， 当且仅当233a b =，即1
,12
a b =
=时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C
3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤
B ．222a b ab +≥-
第 2 页 共 10 页
C
．a b +≥-D
．a b +≤【答案】B
【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；
B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()2
0a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；
D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B
4．（2020·全国高一）当1x >时，函数24
1
x x y x -+=-的最小值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】依题意24
1
x x y x -+=
-4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以
4
11151
x x -+
+≥=-，当且仅当41,31x x x -==-时，等号成立. 故选B.
5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a
的最小值为（ ） A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
第 3 页 共 10 页
【答案】C
【解析】
()11a ax y
x y a x y y x
⎛⎫++=+++
⎪⎝⎭. 若0xy <，则
0y
x
<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；
若0xy >，则
0y
x
>，0x y >.
①当0a <时，
1ax y
a y x
+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，
111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
≥不恒成立； ③当0a >时，(
))
2
11111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=
+++≥+=+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当=
y 时，等号成立.
所以，
)
2
19≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.
故选：C.
6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，
11
111
a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）
A
．B
．C ．3
D ．2
【答案】B
第 4 页 共 10 页
【解析】∵0a >，0b >，
11111
a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)](
)3[12]31111
b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-+++
+≥2(1)111b a a b ++=++
，即a =
b =.故选B
7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ）
A
．a v <<B
．v =C
2
a b
v +<
D ．2ab
v a b
=
+ 【答案】AD
【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s s a b
+，22s ab
v s s a b a b
∴==
++.
0b a >>
2
a b
+<
，2ab v a b ∴=
<=+ 另一方面2
2222
a b ab a b v a b a b +⎛⎫
⋅ ⎪+⎝⎭=<=++，22220ab ab a a a v a a a b a b a b
---=-=>=+++， v a ∴>
，则a v <<
故选：AD.
8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（ ）
A ．212()a a a R +>∈；
B ．1
2(,0)x x R x x
+
≥∈≠；
第 5 页 共 10 页
C
2(0)ab ≥≠； D ．2
21
1()1
x x R x +
>∈+. 【答案】ACD
【解析】对A 项，当1a =时，212a a +=，则A 错误；
对B 项，当0x >
时，112x x x x +
=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立 当0x <
时，112x x x x +
=-+≥=-，当且仅当1x =-时，等号成立，则B 正确； 对C 项，当0,0a b <<
0<，则C 错误； 对D 项，当0x =时，2
21
11
x x +
=+，则D 错误； 故选：ACD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·黑龙江工农，鹤岗一中高一期末（理））若11
0a b
<<，则不等式（1）a b ab +<；（2）a b >；（3）a b <；（4）2b a
a b
+>中，正确的不等式有__________个． 【答案】2
【解析】
11
0a b
<<，则0a <，0b <，0ab ∴>. 0a b ab +<<，（1）中的不等式正确；
第 6 页 共 10 页
11
0ab ab a b
⋅
<⋅<，则0b a <<，（3）中的不等式错误； a a b b =-<-=，（2）中的不等式错误；
0b a ->->，则
1b b a a -=>-
，由基本不等式可得2b a a b +>=，（4）中的不等式正确. 故答案为：2.
10．（2020·江苏滨湖，辅仁高中高二期中）已知正实数,x y 满足39x y +=
是______.
【答案】【解析】正实数,x y
，则39x y +=≥
9
2
≤
，
2
318x y =++≤
≤
当93
,22
x y =
=时等号成立.
故答案为： 11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设a b c >>且11m
a b b c a c
+≥---恒成立，则m 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞
【解析】因为a ＞b ＞c ，所以a-b ＞0，b-c ＞0，a-c ＞0.
又()()()111
124b c a b a c a b b c a b b c a b b c a b b c --⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+=-+-+=++≥ ⎪ ⎪
⎣⎦------⎝⎭⎝⎭
, 当且仅当
b c a b
a b b c
--=--，即2b=a+c 时等号成立.所以m≤4.
第 7 页 共 10 页
12．（2018·浙江高三月考）已知,a b ∈R ，222a b ab +-=，则+a b 的最大值为________，ab 的取值范围是________．
【答案】 2,23⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
【解析】因为,a b ∈R ，22
2a b ab +-=，所以2
2
2
()3()4a b a b +=+-．因为2
22
22a b a b ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
，所以2
23
()4()2
a b a b ++≥
+
，解得a b -≤+≤
，当且仅当a b ==222a b =+2()3ab a b ab -=+-，所以223()0ab a b =+≥+，2
)823(ab a b =+≤+，解得
223ab -
≤≤，所以ab 的取值范围是2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
．
故答案为：2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0<x <
2
5
，求y ＝2x －5x 2的最大值； （2）已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x
＋2
y 的最小值.
【解析】（1）因为()()2
1
25255255
y x x
x x x x =-=-=
⨯⨯- 已知2
05
x <≤
，所以250x ->， 所以()
2
52552512x x x x
⎛⎫+-⨯-≤= ⎪⎝⎭
第 8 页 共 10 页
所以1
5
y ≤
，当且仅当525x x =-，即15x = 取等号，
所以y ＝2x －5x 2的最大值为：
1
5
（2）因为
8x ＋2y (
)⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭8282101018y x x y x
y x y ， 当且仅当 x ＋y ＝1，82y x x y =，即21
,33
x y ==时，取等号， 所以
8x
＋2
y 的最小值.为18. 14．（2017·福建高三（理））已知a ，b
为正实数，且
11
a b
+=. （1）求a 2＋b 2的最小值；
（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值．
【解析】(1)因为a ，b
为正实数，且
11
a b
+=，
所以
11a b +=ab ≥12(当且仅当a ＝
b 2
=时等号成立)． 因为22
1
2212a b ab +≥≥⨯
=(当且仅当a ＝
b 2
=时等号成立)， 所以a 2＋b 2的最小值为1.
(2)
因为
11
a b
+=
，所以a b +=，
第 9 页 共 10 页
因为23()4()a b ab -≥，所以23()44()a b ab ab +-≥
，即23)44()ab ab -≥， 所以(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0， 因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.
15．（2020·上海高三专题练习）已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z=1，求证：（
1
x
-1）（1y -
1）（
1
z
-1）＞8． 【解析】∵x +y +z ＝1，x 、y 、z 是互不相等的正实数，
∴（1x -1）（1y -1）（1z -1
）y z x z x y x y z ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＞8． ∴（
1x
-1）（1y -1）（1
z -1）＞8
16．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品
的年销售量（即该厂的年产量）
m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足1
31
m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162m
m
+⨯
， ()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛
⎫∴=⋅⨯
-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭
第 10 页 共 10 页
[]()0,4x ∈；
（2）由()
161656571574911y x x x x ⎡⎤
=-
-=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦
， 当且仅当
16
11
x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.。