第四章双因素方差分析

ab
ab
2
(yi y)(yj y)2
(yi y)(yij yi yj y)
i1 j1
i1 j1
ab
2
(yj y)(yij yi yj y)
=0
i1 j1
=0
=0
可以验证三个的两两交叉项的累加和均为零
ab
(yiy)(yijyiyj y)
第四章 双因素方差分析
第一节 双因素无重复方差分析
一、数据描述
表4.1
B水 平
A水平 A1
A2
…
双因素无重复实验的典型数据
B1
B2
…
Bj
…
y11
y12
…
y1j
…
y21
y22
…
y2j
…
…
…
…
…
…
Ai
yi1
yi2
…
yij
…
…
…
…
…
…
…
Aa
ya1
ya2
…
yaj
…
…
y.j
y.1
y.2
y.j
…
Bb
yi.
y1b
ST
a

i1
b j1
yij2
T2 N
ab
T yij i1 j1
因素A总差分解:
ab
a
SA (yiy)2b (yiy)2
i1j1
i1
a
SAb (yi22yiyy2)
i1
a
a
a
SAb yi22by yib y2
所以 FB Fa(3,6).
推断因素B是不显著的,即温度对纯度没有显著影响
双因素无重复实验SPSS操作
第二节 双因素等重复方差分析
一、数据描述
表4.1
B水平 A水平
A1 A2 … Ai … Aa
双因素等重复实验的典型数据
B1
B2
…
Y111， Y112 ，…，Y11r Y121， Y122 ，…，Y12r … Y211， Y212 ，…，Y21r Y221， Y222 ，…，Y22r …
i1 j1
a
b
(yiy) (yijyiyjy)
i1
j1
a
b
b
b
b
(yiy)(yij yi yj y)
i 1
j 1
j 1
j 1
j 1
a
(yiy)b (iybiybyby)0 i1
ab
同理:
(yjy)y (ijyiyjy)0
i1j1
j1
试验偏差
ab
Se
(yij yij)2
i1 j1
因素A与B交互 影响偏差平方和
SAB ?
ab
Se
(yijyiyj y)2
i1 j1
ab
总差分解: ST
(yij y)2
i1 j1
ab
(yiyyjyyijyiyjy)2
VASA A21.5520166160.777508
VBSB B
35.062511.6875 3
Ve
Se
e
14.4052.5675 6
FAV VA e
10.7750841.96721 2.5675
FBV VB e
11.68754.55209 2.5675
(4) 判断.对a=0.05, 查F分布分位数表得:
…
…
…
Yi11， Yi12 ，…，Yi1r
Yi21， Yi22 ，…，Yi2r
因为
b
y2 j by2
j1
a
yi2 ay2
i1
b
yaj bya
j 1
b
yib ayb
j 1
b
b
b
a
a
a
所以
y 1 jy 2 j y a j y i1y i2 y ib
j 1
j 1
j 1
i 1
i 1
ab
(yjy)y (ijyiyjy)0
i1j1
b
a
(yjy) (yijyiyjy)
j1
i1
b
a
a
a
a
(yjy)(yij yi yj y)
j 1
i 1
i 1
i 1
i 1
b
(yjy)a (y jayay jay)0 j1
N
SA
1 b
a i1
Ti2
T2 N
SB
1 a
b
Tj2
j1
T2 N
SeSTSASB
VA

SA A
Ve

Se e
FA

VA Ve
VB

SB B
FB

VB Ve
FA与临 F （ 界 A,e值 )比较FB与临 F （ 界 B,e值 )比较
对是否接受H0
11 12 ab
320
340
360
380
℃
时间（小时）
22
82.7
82.0
88.5
86
28
92.1
94.5
94
95.0
32
90.2
94
96
94.5
解: A表示聚合时间;B表示温度,则
a=3 , b=4, N=ab=12 （1）建立原假设
H0 :12个总体均值相等 H1 :12个总体均值不完全相等
（ 2）计算统计量
F 0 .0(5A ,e) F 0 .0(5 2 ,6 ) 5 .14
而 所以
FA
VA Ve
41.96721
FAFa(2,9).
推断因素A是显著的,时间对纯度有显著影响
F 0 .0(5B ,e) F 0 .0(3 5,6 ) 4 .76
FBV VB e
11.68754.55209 2.5675
ab
b
SB (yjy)2a (yjy)2
i1j1
j1
b
SBa (yj22yjyy2)
j1
b
b
b
SBa yj22ay yja y2
j1
j1
j1
SBajb 1(T a j)22aybjb 1yj/bayb 2
i1
i1
i1
SAbi a1(T b i)22ayb i a1yi/aayb 2
S A bi a 1(T b i)2 ay2 b i a 1T b i2N (i a 1jb 1yij/N )2
SA

a i1
Ti2 b
T2 N
因素B总差分解:
ST
a

i1
r j1
yij2
T2 26.95691667 N
y ij
SAb1ia1Ti2TN2 21.5016667
SB
1 a
b
Tj2
j1
T2 N
35.0625
SeSTSASB1.4 505
Aa12 Bb13 e(a1)b (1)6
i1 j1
ab
a
yij b yi
i1 j1
i1
ab
a
yija(b yi)/aayb
i1 j1
i1
ab
yij aby
i1 j1
a
yi1 ay1
i 1
a
因为
yi2 ay2
i1
b
yib ayb
j 1
ab
i1j1
i1
ab
b
SB (yJy)2a (yjy)2
i1j1
j1
ab
Se
(yijyiyj y)2
i1 j1
自由度分析 TN1a b1A a1 B b1
e T A B a 1 ( b a 1 ) ( b 1 ) a a b b 1
j1
b
ea b(ab1)?
b
yaj bya
j 1
yib ayb
j 1
eab (ab)?
b
y1 j by1
j 1
b
y2 j by2
j1
b
yaj bya
j 1
ab
yijb(y1y2 ya)
i 1j 1
a b
(y i y ) (y j y ) (y ij y i y j y )2
i 1j 1
ab
ab
ab

(yi y)2
(yj y)2
(yij yi yj y)2
i1 j1
i1 j1
i1 j1
i 1
所以 b 1 b y 2 b y 3 y b a a y 1 a y 2 y a by
b
a
a
a
b
b
y 1 jy i1y i2 y ib ( y 2 j y a)j
j 1
i 1
i 1
总差分解:
ab
ST
(yij y)2
i1 j1
ab
ab
ab
(y i y ) 2 (y j y ) 2 (y i jy i y j y ) 2
i 1j 1

i 1j 1
i 1j 1
ab
a
SA (yiy)2b (yiy)2
i1 j1
分析 Se 的自由度
由它的定义式可看出 y ij 受到 a个 y i 、b 个 y j
及一个 y 的约束，为：
b
a
y1 j by1
yi1 ay1
j 1
i 1
ab
b
y2 j by2
a
yi2 ay2
i1
yij aby
i1 j1
i1j1
ab
(yiy)(yj y)
i1 j1
a
b
(yiy) (yj y)
i1
j1
a
b
b
(yiy)( yj y)
i1
j1
j1
a
b
b
(yiy)b ( yj/b y)
i1
j1
j1
a
(yiy)(byby)0 i1
ST
自由度
均方 V
a-1
VA
b-1
VB
(a-1)(b-1)
Ve
N-1
F值 显著性
FA=VA/ Ve FB =VB/ Ve
四、双因素方差实例分析
例4.1 为研究三聚磷酸纯度与聚合时间与温度的关系,经试验得如下表的
纯度数据,试在显著水平a=0.05下分析聚合时间及温度对纯度的影
响。
纯度数据表
纯度
温度
所以
yija(y1y2 yb)
i1 j1
ab
b
yij a yj
i1 j1
j1
ab
b
yija(b yj)/bayb
i1 j1
j1
ab
yij aby
i1 j1
b
a
y1 j by1
yi1 ay1
j 1
i 1
总差分解: ST a
b
(yij y)2
i1 j1
ab
ST
(yij22yijyy2)
i1 j1
ab
ab
ab
ST yi2 j 2y yij y2
i1j1
i1j1
i1j1
ab
ab
ab
ST yi2 j2yN yi j/N y2
S B ajb 1(T a j)2 ay2 b jb 1T a j2 N (i a 1jb 1yij/N )2
SB

T b
2
j
j1 a
T2 N
SeSTSASB
双因素方差分析表
表4.2
方差来源
因素A 因素B 误差e 总和
平方和S
SA SB Se
ea b(ab1)
e a ( b 1 ) ( b 1 ) ( b 1 )a (1 )
e a ( b a b 1 ) ( b 1 )a ( 1 )
ab
Se
(yijyiyj y)2
i1 j1
ab
Se
(yijyiyj y)2
i 1
j 1
j 1
b 1 a y 1 a y 2 y a b ( b y 2 b y 3 y b a )y
ea b(ab1) e(a1)b (1)
三、平方和的简化计算
ST
a

i1
r j1
yij2
T2
y1.
y2b
y2.
…
…
yib
yi.
…
…
yab
ya.
y.b
y
二、平方和及自由度的分解
总偏差 因素A偏差平方和
ar
ST
(yij y)2
i1 j1
ab
a
SA (yiy)2b (yiy)2
i1j1
i1
ab
b
因素B偏差平方和 SB (yJy)2a (yjy)2
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
ab
ab
S T yi2 j 2 N yyN y2 yi2 jN y2
i 1j 1
ab
i 1j 1 a b
ab
yij
ab
(
yij)2
STi1j1yi2 jN (i1N j1 )2i1j1yi2 ji1jN 1