与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)

与三角形有关的角（提高）知识讲解
【要点梳理】
要点一、三角形的内角
1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.
要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.
要点二、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
要点诠释：
(1)外角的特征：
①顶点在三角形的一个顶点上；
②一条边是三角形的一边；
③另一条边是三角形某条边的延长线．
（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
知识点三、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。

如图：
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为
(3)
2
n n-
；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
知识点四、多边形内角和定理
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于
(2)180
n
n
-°
；
知识点五、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于
360
n
°
；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1．在△ABC中，若∠A＝
1
2
∠B＝
1
3
∠C，试判断该三角形的形状．
举一反三：
【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．
【变式2】（2015春•新沂市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．凸多边形
凹多边形
2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?
类型二、三角形的外角
3.如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50º，∠C=70º，
求∠DAE ．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，AB＞AC，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，则∠DAE与∠C－∠B的数量关系 .
4.如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E.求证：
∠BAC >∠B.
举一反三：
【变式】如图所示，用“<”把∠1、∠2、∠A联系起来________.
类型三、三角形的内角外角综合
5.（2015春•启东市校级月考）如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．
（1）试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系？
（2）若∠B：∠D：∠F=2：4：x．求x的值．
举一反三：
【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角( ).
A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定
类型一、多边形的概念
1．（2014春•定陶县期末）观察下面图形，解答下列问题：
（1）观察规律，把下表填写完整：
（2）若一个多边形的内角和为1440°，求这个多边形的边数和对角线的条数．
举一反三：
【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。

类型二、多边形内角和定理
2.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
举一反三：
【变式】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= .
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= .
3. (山东莱芜)一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为 ( ) ．
A．15 B．16 C．17 D．15或16或17
举一反三：
【变式1】（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数。

（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570 ，求这个没有计算在内的内角的度数.
【变式2】若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是______.
与三角形有关的角（提高）巩固练习
一、选择题
1. (湖北荆州)如图所示，一根直尺EF压在三角板30.的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M，N．那么∠CME+∠BNF是( ) A．150° B．180° C．135° D．不能确定
2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于 ( )
A．30° B．45° C．60° D．55°
3．下列语句中，正确的是( )
A．三角形的外角大于任何一个内角
B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和
C．三角形的外角中，至少有两个钝角
D．三角形的外角中，至少有一个钝角
4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
5．如图，已知AB∥CD，则 ( )
A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3
C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠3
6.（2015春•泰山区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，
则∠A+∠P=（）
A.70°
B.80°
C.90°
D.100°
二、填空题
7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．
8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．
(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________；
(2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______；
(3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______．
9. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________．
10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．
11．（2015春•龙口市期中）如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D= 度．
12.如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF.
若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）.
三、解答题
13.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明
1
2
D A ∠=∠．。