新课标高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线学案文新人教A版

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

[做真题]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2

p

＝1的一个焦点，

则p ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

解析：选D.依题意得p

2

＝3p －p ，解得p ＝8，故选D.

2．(2019·高考全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为

130°，则C 的离心率为( )

A ．2sin 40°

B ．2cos 40° C.

1

sin 50°

D.

1

cos 50°

解析：选D.依题意知，－b a

＝tan 130°＝tan(130°－180°)＝－tan 50°，两边平方得

c 2－a 2a 2＝tan 250°＝e 2－1，e 2＝1＋tan 2

50°＝1cos 2

50°，又e >1，所以e ＝1cos 50°

，选D. 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2

＝4x 的焦点，曲线y ＝k

x

(k >0)与C 交于点P ，

PF ⊥x 轴，则k ＝( )

A.12 B ．1 C.32

D ．2

解析：选D.易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝k x

(k ＞0)得k ＝2.

4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 2

5＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为

坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( )

A.32

B.52

C.72

D.92

解析：选B.因为c 2＝a 2＋b 2＝9，所以|OP |＝|OF |＝3.设点P 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2

＝9，把x 2＝9－y 2

代入双曲线方程得|y |＝53，所以S △OPF ＝12|OF |·|y P |＝52

.故选B.

5．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，

则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )

A. 2 B ．2 C.32

2

D ．2 2

解析：选D.法一：由离心率e ＝c

a

＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2

，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1

＝2 2.故选D.

法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为

41＋1

＝2 2.故选D.

[明考情]

圆锥曲线的标准方程与几何性质一直是高考的命题热点，其中求解圆锥曲线的标准方程，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系是高考解答题的常考内容，离心率问题、双曲线的渐近线问题等常出现在选择题、填空题中．

圆锥曲线的定义及标准方程(综合型)

[知识整合]

(1)(2019·广东六校第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，

离心率为2，若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )

A ．x 2

－y 2

＝1 B.x 22－y 22＝1 C.x 24－y 2

4

＝1 D.x 28－y 2

8

＝1 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )

A.x 2

2＋y 2

＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 2

3

＝1 D.x 25＋y 2

4

＝1 【解析】 (1)由题意，得双曲线的左焦点为F (－c ，0)．由离心率e ＝c a

＝2，得c ＝2

a ，c 2＝2a 2＝a 2＋

b 2，即a ＝b ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，则经过F 和P (0，4)两点

的直线的斜率k ＝4c ＝1，得c ＝4，所以a ＝b ＝22，所以双曲线的方程为x 2

8－y

2

8

＝1，故选D.

(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .

由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a

2

，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令

∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos 2θ＝a

23a 2＝13，所以1

3

＝1

－2(1a )2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2

＝2，椭圆C 的方程为x 2

3＋y 2

2

＝1.故选B.

【答案】 (1)D

(2)B

(1)圆锥曲线定义的应用

①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．

(2)圆锥曲线方程的求法

求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．

①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2

，b 2

或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2

＝2ax 或x 2

＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2

＋ny 2

＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2

－ny 2

＝1(mn >0)．

[对点训练]

1．已知抛物线y 2

＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．±34

D ．±

33

解析：选A.设M (x ，y )，由题意知F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义，可知x ＋p 2＝2p ，故x ＝3p 2，由y 2

＝2p ×3p 2，知y ＝±3p .当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p 时，k MF ＝3p －03p 2－p 2＝3，当M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3p 2，－3p 时，k MF

＝

－3p －0

3p 2－p 2

＝－3，故k MF ＝± 3.故选A.

2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双

曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )

A.x 22－y 2

8

＝1

B.x 2

4

－y 2

＝1