高等数学课件4第三节(2) 定积分的分部积分法ppt

(2) “代公式”:得 到 一 个 新 积 分abvdu;
(3)
“微出来”:abvdu
du微 出
来 bv a
udx;
(4) 计算积分: abv udx.
例1.
计算
4 0
x
cos
2 xdx.
abudv [uv ]ba abudv
解:
原式
4
0
xd(
1 2
sin
2x)
[1 2
x sin 2 x]04
π
π
I0
2 dx 0
; 2
(2) 若 n 为 奇 数,则 最 后推 到I1 ,
π
I1
2 0
sin
xdx
1.
2 sinn dx 0
n 1 n 3 3 1 π , n为偶数,
n n2
422
n 1 n 3 4 2 1, n为奇数.
n n2
53
例如:
2 0
sin7
xdx
6 7
第五章
第三节(2) 定积分的分部积分法
回顾 不定积分的分部积分法:
(uv) uv uv
uv uvdx uvdx
uvdx uv vudx 或 udv uv vdu
分部积分公式
定积分的分部积分法:
设函数u( x),v( x)在区间[a,b]上具有连续导数,则
(uv) uv uv
2(e [et ]10 )
2[e (e 1)] 2 证明定积分公式:
In
π 2
s
inn
xdx
0
π 2
cosn
xdx
0
n n
1
n n
3 2
3 4
1 2
π 2
,
n为 正 偶 数,
n n
1
n n
3 2
4 5
2 3
,
n为 大 于1的 正 奇 数.
b
a (uv
)dx
abuvdx
abuvdx
uv
b
a
abuvdx
b
a uv
dx
abuvdx
uv
b
a
abvudx
或
b
a udv
uv
b
a
b
a vdu
分部积分公式
运用分部积分公式
步骤:
abud v [uv]ba abv d u
(1) “选 u, v”:
b
a
f
( x)g(
x)dx
abuvdx
b
a
udv;
证:
In
2 sinn1 x sin xdx
0
2 sinn1 xd( cos x) 0
u sinn1 x, v cos x.
sinn1 x cos x
π
2
0
π 2
( cos
x)d( sinn1
x)
0
In
0
(n
π
1)02
sinn2
x cos 2
xdx
(n
π
1)02
sinn2
abudv [uv ]ba abvdu
1
1
解:
原式 [x arcsin x]02
2 0
xd(arcsinx)
u arcsin x, v x.
1
26
1
2 0
x
1 dx
1 x2
π 1
1 2
1 d(1 x2 )
12 2 0 1 x2
π 12
1
1
x2
2
0
π 12
3 1. 2
例4.
4 0
1 s in 2 xdx
2
u x, v 1 sin2x.
2
8
1
4
4 0
sin2
xd(2 x )
8
1 4
[cos 2 x]04
8
1. 4
例2.
计算
1
0
x2
ln(1
x)dx.
abudv [uv ]ba abvdu
解:
原式
01ln(1
x)d(
1 3
x3
)
[1 3
x3
ln(1
x ) ]10
4 5
2 3
1
16 .
35
π
例7. 计算积分
6 π
cos
6
3
xdx.
6
π
π
解:
6 π
cos6
3 xdx
2
6 cos6 3 xdx
0
6
令 u 3x
2
π
2 cos6
udu
2
5
3
1
π
5π .
30
3 6 4 2 2 48
In
π 2
cosn
xdx
0
n 1 n 33 1 π .
n n2
计算
π 2 π
x
cot
2
xdx.
3
解:
原式
π
2 π
x(csc2
x
1)dx
3
π 2 π
x
csc2
xdx
π
2 π
xdx
3
3
π
2 π
xd
cot
x
3
[
x2 2
]2
3
π
π
5 2
x cot x
2 π
2 π
(
cot
x)dx
3
3
72
u x, v cot x.
3 9
π
ln
|
s
in
x
|
π
2 π
3
422
(n为 正 偶 数)
例8. 已知函数 f ( x)
x et2dt, 求
1
f ( x)dx.
1
0
解:
1 0
f
( x)dx
[xf
( x)]10
1
0
xd(
f
( x))
=
0
1
0
x
f
( x)dx
u f (x), v x.
1 ( x) e x2dx 0
1 e x2d( 1 x2 )
0
x(1
sin2
x)dx
(n
π
1) 2 0
sinn2
xdx
(n
1)
2 0
sinn
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n1 n
I
n
2
n1 n
n n
3 2
In4
n1 n
n n
3 2
n n
5 4
In6
,
In
n1 n In2
n1 n3 n n 2 In4
,
(1) 若 n为 偶 数,则 最 后 推 到I0 ,
2
1
2
1 e x2 d( x 2 )
0
1 [e x2 2
]10
e1 1 .
2
例9. 设 求 解: 令 t = 2 x, 则
1 4
2
0 t
f
(t )dt
u t, v f (t).
作业 P254: 7 (1) (4) (5) (6) (11) (12).
1
0
1 x3d(ln(1 3
x))
u ln(1 x), v 1 x3.
3
1 3
ln 2
1 3
1
0
x3
1 1
x
dx
1 3
ln 2
1 3
1 ( x2 0
x
1
1 1
)dx x
1
ln
2
1
x
3
x2
x ln(1
1 x)
2 ln 2
5
.
3
3 3 2
0 3
18
1
例3. 计算 2 arcsin xdx. 0
5 2
72
3π 5π2
3
ln .
9 72 2
例5.
计算
1
e
xdx.
0
解: 令 t x , 则 x t 2 , dx 2tdt, 且
x 0 t 0; x 1 t 1.
1
e
xdx 2
1tetdt 2
1 td(et )
0
0
0
2([tet ]10
1et dt )
0