高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一

内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半 轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M， 设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1
角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.
第一章 §1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数值在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 的角的同一三角函数值相等.
解答
类型二 三角函数值符号的判断
例3 (1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在
思考
根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在 各象限的符号吗？
答案
梳理
记忆口诀：“一 全正 ，二 正弦 ，三 正切 ，四 余弦 ”.
知识点四 诱导公式一
思考
当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数 值相等.
答案 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有
意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，
此时
y x
无意义，故tan
α无意义.
答案
梳理
三角函数的定义域 函数名 正弦函数 余弦函数
正切函数
定义域 R R
x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
解答
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以 应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对 应角的三角函数值分别为 sin α＝ a2b＋b2，cos α＝ a2a＋b2，tan α＝ba.
跟踪训练2 已知角α的终边在直线y＝ 3x 上，求sin α，cos α，tan α的值. 解 因为角 α 的终边在直线 y＝ 3x 上， 所以可设 P(a， 3a)(a≠0)为角 α 终边上任意一点，
答案
梳理
诱导公式一
sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α， 其中k∈Z.
题型探究
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值
例 1 已知 θ 终边上一点 P(x，3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x，求 sin θ，tan θ.
则 r＝ a2＋( 3a)2＝2|a|(a≠0).
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以 sin α＝ 23aa＝ 23，
cos α＝2aa＝12，tan α＝ a3a＝ 3. 若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以 sin α＝－32aa＝－ 23，
cos α＝－2aa＝－12，tan α＝ a3a＝ 3.
解
由题意知 r＝|OP|＝
x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9 .
又∵cos θ＝ 1100x，∴
x2x＋9＝
10 10 x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1，3)，此时 sin θ＝ 123＋32＝31010，tan θ＝31＝3.
当x＝－1时，P(－1，3)，此时 sin θ＝ (－13)2＋32＝31010，tan θ＝－31＝－3.
答案
思考2
对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的 位置的改变而改变？ 答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终 边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的 大小只与角有关.
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考3
在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.
r (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况 对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解 r＝ (－3a)2＋(4a)2＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－45aa＝－45，cos α＝－ －35aa＝35，
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 例 2 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋co3s α的值.
③yx叫做 α 的 正切 ，记作 tan α ，即 tan α＝yx (x≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都 是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数， 统称为 三角函数 .
知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域
思考
对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
解答
反思与感悟
(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数 的定义求出相应地三角函数值. ②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝y，
r cos α＝y .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
答案
梳理
(1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以 单位长度 为半径的圆为 单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角， 它的终边与 单位圆 交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的 正弦 ，记作 sin α ， 即sin α＝y； ②x叫做α的 余弦 ，记作 cos α ，即cos α＝x；