附录Ⅰ常见截面的几何性质PPT课件

IP
2dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面：
IP
D 2
2
2dA
D4
;
0
32
空心圆截面：
IP
D4
32
(1 4 );(
d) D
二、惯性矩(转动惯量）：
定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：
I
Iz
z A
bh3 12
y 2 dA; ; Iy
Iy h b3
; 12
z 2 dA;
A
圆形截面：I y
Iz
D4
64
;
几何关系：
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
四、惯性积：
I zy
z y dA;
A
五、平行移轴公式：
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
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;
Ai
i 1
解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072m2, y1 2.46m; A2 0.48m2, y2 1.2m;
y若c 分A解1Ay1为1 １AA22、y2 ２ 、0.0３72三0.02个.742矩6形00.4.，488则1.2 1.36m;
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小结
一、静矩： Sz A y dA A yc ;
Sy
z
A
dA
A
zc ;
性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
二、极惯性矩：
IP
2dA;
A
实心圆截面：
IP
D 4
32
;
空心圆截面：三、惯性矩
（转动惯 量）矩：形截面：
主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩；
形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零的 性轴。
I zy
z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交
坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积
均不同。惯性积是代数值。
②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
单位： m4, mm4;
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例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。
y'c
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.6 2.52 2 0.2 2.4
0.16m;
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩：
定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
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Iz1y1 Izy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使 Izoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
2
Iy
sin
2
I zy
cos2;
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第四节 主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 Izoyo 0 的这对 正交坐标轴；
z1 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
Iz1y1 Izy abA;
注意：y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式：
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
Iz
y2dA
A
由对称性：I
R 2y2 R
y
R
Iz
D4
64
;
2 y2 dy R4 D4 ;
4 64 由几何关系：2＝y2
z
2
,
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
I z
y 2 dA;
A
I y
z 2 dA;
A
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惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。
三、惯性积：
定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。
七、平面图形几何性质的几何意义：
1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度；
4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。
500 500
(2)计算形心主惯性矩：
(z、y轴即形心主轴）
z1
z1
a12 1
50103 12
20
52
500 1.17105cm4;
z2
z2
a22 2
1 0 5 03 12
35
202
500
2.1 71 05 cm4 ;
z z1 z2 117 217105 3.34105cm4;
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解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
Iz
y2dA
A
h/ 2 y2bdy bh3 ;
h / 2
12
取微面积dA=hdz,则：
I y
z2dA
A
b/2 z2hdz hb3 ;
b / 2
12
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。
解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
二、形心公式：
yc
Sz A
; zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i 1
n
Sy Ai zci; i 1
n
四、组合截面形心公式：
Ai yci
yc
i 1 n
;
Ai
i 1
例5-1 求图示T形截面形心位置。
n
Ai zci
zc
i 1 n
角，即 形心主惯
o
第五节 组合截面惯性矩的计算
工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
yc
1 y1 2 y2 1 2
5005 500 10 25 20cm;