线面平行与垂直的判定与性质(含答案)

一.
1. 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥
Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥
Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥
2. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 （ ） A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥ C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥
D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥
3. 若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面
三.典型例题
例 1 如图，在四棱锥O-ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，
4
ABC π
∠=
,OA ABCD ⊥底面, OA=2,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线//MN OCD 平面；
N
B
D
B
C
A
S
例2.如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点 (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
(II) 求证：BE//平面PAD ．
1. .四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知
45ABC = ∠，2AB =
，BC =
SA SB ==
（Ⅰ）证明SA BC ⊥； ．
A B C D E
P
2. 正方体1111ABCD A B C D -中O 为正方形ABCD 的中心，M 为1BB 的中点，求证： （1）111//D O A BC 平面 （2）1MAC D O ⊥平面
参考答案
基础练习1.D 2.D 3.B 典型例题
例题1. （1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE
ME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖
（2）CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）
作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP
,4
2ADP π
∠=
∵∴DP =
MD ==，
1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π
∠=
=∠=∠=∴
所以 AB 与MD 所成角的大小为3π
例题2 （1）由PA ⊥平面ABCD
⇒⎪⎭⎪
⎬
⎫
=⋂⊥⊥A
AD PA CD PA ）AD （CD 已知
⇒⎭⎬
⎫
⊂⊥PAD CD PAD CD 面面
⇒平面PDC ⊥平面PAD ；
（2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点， 得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ． 又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ． 所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ．
由AF ⊂面PAD ，则EF//面PAD ．
巩固练习
1.（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，
得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =
∠，故A O B △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥
，由AD BC ==
，
SA =
，
AO =，得
1SO =
，SD =．
SAB △的面
积
112S AB ==．连结
DB
，得
D A B △的面积
21
sin13522S AB AD =∙= ,设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=， 得1211
33h S SO S ∙=∙，解
得h =．设SD 与平面SAB 所成角为α，
则
s i n 11h SD α=
==．
A B C
D
E
P F
2 证明: (1)连结11
,BD B D 分别交
11
,AC AC 于
1
,O O 在正方体
1111ABCD A B C D -中,对角面
11BB D D
为矩形
1
,O O 分别是
11
,BD B D 的中点
11
//BO D O ∴
∴四边形11BO D O 为平行四边形11//BO D O ∴
1D O ⊄
平面
11A BC ,
1BO ⊂
平面
11A BC 1//
D O ∴平面
11
A BC
（2）连结MO ,设正方体1111
ABCD A B C D -的棱长为a ,
在正方体
1111
ABCD A B C D -中,对角面
11BB D D
为矩形且
1,BB a BD ==
,O M 分别是
1
,BD BB 的中点
,22a BM BO OD a
∴===
1B M B O O D D D ∴= 1O D D Rt MBO Rt ∆≅∆ 1B O M D D O ∴∠=∠
在1ODD Rt ∆中，1190DD O D OD ∠+∠= 190BOM D OD ∴∠+∠=
，即
1D O M O
⊥
在正方体1111
ABCD A B C D -中
1DD ⊥ 平面ABCD
1D D A C
∴⊥
又AC BD ⊥ ，1DD BD D
= AC ∴⊥平面
11BB D D
1D O ⊂
平面
11BB D D
1A C D O
∴⊥
又AC MO O = 1D O ∴⊥
平面MAC。