点、线、面之间的位置关系——垂直关系 - 简单 - 讲义

点、线、面之间的位置
关系——垂直关系
知识讲解
一、线面垂直
1.定义：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．
1）这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．
2）垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．
3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．
4）画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图． αl
直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥． 2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
符号语言表述：,,,,l a l b a b a b A l αα⊥⊥⊂=⇒⊥
图像语言表述：
3.线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 符号语言表述：,//a b a b αα⊥⊥⇒ l
αm n p
l a b α
A
图像语言表述：
4.线面垂直的性质
（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线.
（2）推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个
平面；
（3）推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；
（4）垂直于同一直线的两个平面平行.
5.证明线面垂直的方法
（1）线面垂直的定义
（2）线面垂直的判定定理（,,,,a b a c b c b c M a ααα⊥⊥⊂⊂=⇒⊥）
（3）平行线垂直平面的传递性（,a b b a αα⊥⇒⊥）
（4）面面垂直的性质（,,,l a a l a αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥）
（5）面面平行的性质（,a a ααββ⊥⇒⊥）
（6）面面垂直的性质（,,l l αβαγβγγ=⊥⊥⇒⊥）
二、面面垂直
1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.
2.平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号语言表述：,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥
图像语言表述：
α
βm a b
α
3.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
符号语言表述：,,,l m m l m αβα
ββα⊥=∈⊥⇒⊥ 图像语言表述：
4.面面垂直的性质
（1）两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面.
（2）两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内.
5.证明面面垂直的方法
（1）面面垂直的定义
（2）面面垂直的判定定理（,a αβααβ⊥⊂⇒⊥）
三、垂直模型总结
1.勾股定理
c
b
a C B
A
222a b c AC CB +=⇒⊥
2.等腰三角形三线合一
D C
B A
α
βm
l
,AB AC D =为BC 重点AD BC ⇒⊥
3.直径所对的圆周角为直角
D
C
B
A
BD CD AD BA AC ==⇒⊥
4.菱形对角线垂直平分
O D
C
B
A
在菱形ABCD 中BD AC ⇒⊥
5.正方形、矩形临边垂直
D
C
B A
,AB BC BC CD ⊥⊥
6.正方形中点连线垂直
F E
D
C
B A
在正方形ABCD 中，,E F 为,CD BC 的中点⇒AE DF ⊥
7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面
E
F
D C
B
A
在直三棱柱中AD ⇒⊥面ABC ,,,AD AB AD BC AD AC ⊥⊥⊥
典型例题
一．选择题（共10小题）
1．（2018•云南模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）
A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，
BC1∩AB=B，
∴B1C⊥平面ABC1D1，
∵点P是线段BC1上任意一点，
∴AP⊥B1C．
故选：B．
2．（2018春•武邑县校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）
A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
【解答】解：在A中，取PB中点O，连结AO、CO，
∵四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，
∴AO⊥PB，CO⊥PB，
∵AO∩CO=O，∴PB⊥平面AOC，
∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；
在B中，∵△PAB与△PBC是正三角形，∴PA=PC，AB=AC，
设AC∩BD=M，连结PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，
∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；
在C中，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB，
∵AC⊥BD，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD，
∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；
在D中，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．
故选：B．
3．（2016秋•湖北期末）如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上
异于A、B的一点，则下面结论中错误的是（）
A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥CE D．面ADE⊥面BCE
【解答】解：由AB是底面圆的直径，则∠AEB=，即AE⊥EB．
∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB．
可得：BE⊥DE，因此BE⊥平面ADE．
同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE．
可得A，B，D正确．
而DE⊥CE不正确．
故选：C．
4．（2016秋•杭州期末）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将
△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）
A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．
在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，
所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．
又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，
于是得到平面ADC⊥平面ABC．
故选：D．
5．（2017春•昆都仑区校级期中）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA ⊥平面ABC，此图中直角三角形的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，
∴AB⊥BC，PA⊥BC，
∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB，
∴图中直角三角形有△ABC（∠ABC是直角），
△PAC（∠PAC是直角），△PAB（∠PAB是直角），△PBC（∠PBC是直角），
∴图中直角三角形有4个．
故选：D．
6．（2017•青州市模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，∠BCD=120°，CD=40，则AB=（）
A．10 B．20 C．30 D．40
【解答】解：设BC=x，
∵在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠ACB=45°，∠ADB=30°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠BAD=60°，∠ABC=∠ABD=90°，
∴AB=x，AD=2x，BD=，
∵∠BCD=120°，CD=40，
∴cos120°=，
解得x=40或x=﹣20（舍）．
∴AB=40．
故选：D．
7．（2017秋•赣州期中）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）
A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β B．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α【解答】解：A若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，故不正确；
B若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α，由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α．故正确；
C若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β不正确，也可能平行；
D若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α，不正确，可能有m⊂α；
故选：B．
8．（2015秋•临海市校级月考）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△
BCD是锐角三角形，那么必有（）
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
【解答】证明：由AD⊥BC，BD⊥AD⇒AD⊥平面BCD，AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD．
故选：C．
9．（2014秋•兴庆区校级期末）两个平面平行的条件是（）
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
【解答】解：①如图l∥β，l⊂α，但α，β却相交．①错②如图l∥β，l⊂α，m∥β，m⊂α但α，β却相交．②错
③类似于②在α内有无数与l平行的直线，它们均与β平行，但α，β却相交，③错
④可知，两个平面无公共点，它们平行．④对
故选：D．
10．（2015秋•东昌区校级期中）过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的（）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【解答】解：连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；
同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．
∴H是△ABC的垂心．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
11．过平面外两点，可作0或1个平面与已知平面平行．
【解答】解：两点与平面的位置不同，得到的结论是不同的，
当这两点在平面的同一侧，且距离平面相等，这样就有一个平面与已知平面平行，当这两点在平面的异侧，不管两个点与平面的距离是多少，都没有平面与已知平面平行，
∴这样的平面可能有，可能没有，
故答案为：0或1．
12．（2015春•上海校级期末）点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA、PB、PC两两垂直，则点O是△ABC的垂心．
【解答】证明：连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；
因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；
因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，
故AO⊥BC即AD⊥BC；
同理：BE⊥AC；
故O是△ABC的垂心．
故答案为：垂．
13．（2015春•上海校级期中）如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=60°．
【解答】解：设AB=AC=1，则BD=CD=，
∵BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，
∴BD⊥CD，
∵△BDC是等腰直角三角形，
∴BC=CD=1，
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=60°．
故答案为：60°．
14．直角△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，则点P 到斜边AB的距离是3．
【解答】解：∵△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，
∴AB==5，
过C作CM⊥AB，交AB于M，连结PM，
由三垂线定理得PM⊥AB，
∴点P到斜边AB的距离为线段PM的长，
由，
得CM==，
PM===3．
∴点P到斜边AB的距离为3．
故答案为：3．
三．解答题（共2小题）
15．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=1，AA1=2，∠B1A1C1=90°，D为BB1中点，求证：AD⊥平面A1DC1．
【解答】证明：∵AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1
又A1C1⊥A1B1，
∴A1C1⊥平面A1B1BA
∴AD⊥A1C1
∵AD=，A1D=，AA1=2，
由AD2+A1D2=，
得A1D⊥AD
∵A1C1∩A1D=A1
∴AD⊥平面A1DC1
16．（2017秋•东湖区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：
（Ⅰ）A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，
∵E为AA1的中点，O为AC的中点
∴EO为△A1AC的中位线
∴EO∥A1C
又∵EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE
∴A1C∥平面BDE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD ∴AA1⊥BD
又∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC
∴BD⊥平面A1AC
又∵BD⊂平面BDE
∴平面A1AC⊥平面BDE．…（12分）。