第三章(多元线性回归模型)3-2答案

3.2 多元线性回归模型的估计
一、判断题
1.满足基本假设条件下，样本容量略大于解释变量个数时，可以得到各参数的唯一确定的 估计值，但参数估计结果的可靠性得不到保证 （ T ）
二 、单项选择题
1、线性回归模型的参数估计量ˆβ是随机向量Y 的函数，即1ˆ()X X X Y β-''=。

ˆβ是 （A ）
A 、随机向量
B 、非随机向量
C 、确定性向量
D 、常量
2.已知含有截距项的四元线性回归模型估计的残差平方和为
∑=800e 2
i ，样本容量为25，则其随机误差项i u 的方差的普通最小二乘估计为 （A ）。

A 、40
B 、32
C 、38.095
D 、36.364 三 、多项选择题
1、对于二元样本回归模型12233ˆˆˆˆi i i i
Y X X e βββ=+++，下列各式成立的有（ABC ） A 、0e i =∑ B 、0X e i 2i =∑
C 、0X e i 3i =∑
D 、0Y e i i =∑
E 、0X X i
3i 2=∑
四、计算题
1、某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育年数的一个回归方程为
10.360.0940.1310.210i i i i edu sibs medu fedu =-++ R 2=0.214
式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与fedu 分别为母亲与父亲受到教育的年数。

问
（1）sibs 是否具有预期的影响？为什么？若medu 与fedu 保持不变，为了使预测的受
教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？
（2）请对medu 的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数均为12年，另
一个的父母受教育的年数均为16年，则两人受教育的年数预期相差多少年？
解：
（1）预期sibs 对劳动者受教育的年数有影响。

因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。

根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs 前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数平均会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。

（2）medu 的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的时间，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育时间。

（3）首先计算两人受教育的年数分别为
10.36+0.131⨯12+0.210⨯12=14.452
10.36+0.131⨯16+0.210⨯16=15.816
因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364
2、考虑以下预测的回归方程：
t
t t RS F Y 33.510.0120ˆ++-= 50.02=R 其中：t Y 为第t 年的玉米产量（吨/亩）；t F 为第t 年的施肥强度（千克/亩）；t RS 为第t 年的降雨量（毫米）。

要求回答下列问题：
（1）从F 和RS 对Y 的影响方面，说出本方程中系数10.0和33.5的含义；
（2）常数项120-是否意味着玉米的负产量可能存在？
（3）假定F β的真实值为40.0，则F β的估计量是否有偏？为什么？
（4）假定该方程并不满足所有的古典模型假设，即参数估计并不是最佳线性无偏估计，
则是否意味着RS β的真实值绝对不等于33.5？为什么？
解：
（1） 在降雨量不变时,每亩增加1千克肥料将使当年的玉米产量平均增加0.1吨/亩;在每亩施肥量不变的情况下,每增加1毫米的降雨量将使当年的玉米产量平均增加5.33吨/亩。

（2） 在种地的一年中不施肥也不下雨的现象同时发生的可能性很小,所以玉米的负产量不可能存在.事实上,这里的截距无实际意义。

（3） 如果F β的真实值为0.40,则表明其估计值与真实值有偏误,但不能说F β的估计是有偏估计.理由是0.1是F β的一个估计值,而所谓估计的有偏性是针对估计的期望来说的,即如果取遍所有可能的样本,这些参数估计值的平均值与0.4有偏误的话,才能说估计是有偏的。

（4） 不一定。

即便该方程并不满足所有的经典模型假设，不是最佳线性无偏估计量，
RS β的真实值也有等于5.33的可能性。

因为有偏估计意味着参数估计的期望不等于参数本身，并不排除参数的某一估计值恰好等于参数的真实值的可能性。

3、设有模型
01122t t t t y b b x b x u =+++，试在下列条件下: ①121b b += ②12b b =。

分别求出1b ，2b 的最小二乘估计量。

解：
当121b b +=时，模型变为20112()t t t t t y x b b x x u -=+-+，可作为一元回归模型来对
待
1221221221212()()()()()(())t t t t t t t t t t t t n x x y x x x y x b n x x x x -----=
---∑∑∑∑∑ 当12b b =时，模型变为0112()t t t t
y b b x x u =+++,同样可作为一元回归模型来对待12121221212()()()(())t t t t t t t t t t n x x y x x y b n x x x x +-+=
+-+∑∑∑∑∑。