七年级数学下册三元一次方程组的解法

3.解三元一次方程组
y
时z - x,要 5使, 运算简便,应采取的消元的方法
z x - y 1
是( )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.以上说法都不正确
答案 D 可以同时消去两个未知数,故选D.
8.4 三元一次方程组的解法
ax-by 8,
x 1,
4.如果方程组
c
y
-
b的z 解1 ,是
设x=3k(k≠0),y=4k,z=5k,代入③,
得3k+4k+5k=36,解得k=3.
所以x=9,y=12,z=15.
所以原方程组的解为
x y
9 1
, 2
,
z 1 5 .
8.4 三元一次方程组的解法
点拨 第(1)题采用整体消元的方法得到方程组的解,这是一种比较简单 的求解方法,也可以先用方程①②消去y,把所得到的方程和③组成二元 一次方程组求解.形如第(2)题,当方程组中未知数以比例形式出现时,可 设1份为k,再根据其比例确定各未知数,然后将其代入方程组中的一个合 适方程中,求出k的值,从而求出各未知数的值,此种方法称为参数法.
司获得利润18 300元.
点拨 本题考查了三元一次方程组在实际生活中的应用.解题的关键是
找出等量关系,并列出方程组.
8.4 三元一次方程组的解法
知识点一 三元一次方程(组)
1.下列方程是三元一次方程的是 ( )
A.x+y-z=1 B.4xy+3z=7
C. 2 +y-7z=0
x
D.6x+4y-3=0
(1)方程组中共有三个未知数; (2)含未知数的项的次数是1; (3)每个方程等号两边都是整式.
温馨提示
(1)三元一次方程组中,每一个方程都是一次方程; (2)三元一次方程组中,不一定每个方程都是三元一次方程,如
x y 3,
x
z 也 5是, 三元一次方程组.
x 2
8.4 三元一次方程组的解法
8.4 三元一次方程组的解法
8.4 三元一次方程组的解法
知识点一 三元一次方程(组)
定义
条件
三元一次方程
含有三个未知数,并且含有未知 数的项的次数是1,这样的方程叫 做三元一次方程.
(1)含有三个未知数; (2)含未知数的项的次数是1; (3)方程等号的左右两边是整式.
三元一次方程组
一般地,含有三个未知数,含有未知数的项的次数 都是1,并且由三个方程组成,这样的方程组叫做 三元一次方程组.
5.解方程组:
z-2
y
-1,②
x
y-z
-1.③
解析 ①-③得-y=5,∴y=-5 .
把y=-5代入②,得z=-11,
再将z=-11代入①得x=-7,
x -7 ,
所以方程组的解为
y
-5 ,
z - 1 1 .
8.4 三元一次方程组的解法
x 3,
1.以
y
1为, 解建立一个三元一次方程,不正确的是
次方程组 ,把“三元”化为“二元”,使解三 (2)求解:解二元一次方程组;
元一次方程组转化为解二元一次方 (3)回代:将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当
程组,进而再转化为解一元一次方 的方程中,得到一个一元一次方程;
程.
(4)求解:解一元一次方程,求出第三个未知数;
(5)写解:用“{”将所求的三个未知数的值联立起来,即得
8.4 三元一次方程组的解法
题型三 三元一次方程组在实际问题中的应用 例3 某汽车公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到外地 销售(每辆汽车按规定满载,且每辆汽车只能装同一种蔬菜,每种蔬菜不 少于1车),相关数据如下表,应该如何安排,可使公司获得利润18 300元?
蔬菜种类
甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数 2
z
答案 C 点拨 理解三元一次方程组的定义要注意以下几点:(1)方程组中的每一 个方程都是一次方程;(2)一般地,如果三个一次方程合起来共有三个未知 数,它们就能组成一个三元一次方程组.
8.4 三元一次方程组的解法
知识点二 三元一次方程组的解法
基本思路
具体步骤
解三元一 通过“代入”或“加减”进行消元 (1)变形:变三元一次方程组为二元一次方程组;
(
)
z - 1
A.3x-4y+2z=3 B. 1 x-y+2z=-2
3
C.x+y-z=-2
D. x -2 y -z=15
23
6
答案 C 把x=3,y=1,z=-1分别代入四个选项验算.
8.4 三元一次方程组的解法
5x 4y z 0 ①,
2.已知三元一次方程组 3x经y-过4z步骤11② ①,-③和③×4+②消
x 12,
因此,原方程组的解为
y
1
5,
z 1 8 .
解法二:由①+②-③,得2y=30,即y=15.
由①+③-②,得2x=24,即x=12.
由②+③-①,得2z=36,即z=18.
x 12,
因此,原方程组的解为
y
1
5,
解法三:由①,得x=27-y.④ z 1 8 .
8.4 三元一次方程组的解法
把④代入③,得z+27-y=30,即z-y=3.⑤
由②与⑤组成方程组,得
y z -y
z
33, 3.
解这个方程组,得
y z
15, 18.
把y=15代入④,得x=12.
x 12,
因此,原方程组的解为
y
1
5,
(2)③-①,得x-2y=-8.④ z 1 8 .
②-④,得y=9.
把y=9代入②,得x-9=1,所以x=10.
x 3,
所以原方程组的解为
y
2,
点拨 当方程组中某两 z个 方1 . 程的某个未知数的系数成整数倍关系时,通
常用加减消元法消去这个未知数.
8.4 三元一次方程组的解法
题型一 灵活求解三元一次方程组
x y 1,①
例1
解方程组:(1)
y
z
6 ,②
z x 3 ; ③
x∶y 3∶4, ①
x
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 根据三元一次方程的定义来判断,③中 2 不是整式,④中xyz的
x
次数为3,所以③④不是三元一次方程;只有①②是三元一次方程.故选B.
8.4 三元一次方程组的解法
2.下列方程组中,是三元一次方程组的是 ( )
3x 5y z 9
A.
x
y
m
B .3
x -2 m -z 2 1
a 8,
解这个方程组,得
b
-6 ,
c - 1 2 .
(2)由(1)得y=8x2-6x-12.当x=-2时,y=8×(-2)2-6×(-2)-12=32.
点拨 本题实质上仍是一个解三元一次方程组的问题,式子y=ax2+bx+c
是以后要学的二次函数的解析式,转化为解三元一次方程组是解决后面
许多数学问题的有效方法.
8.4 三元一次方程组的解法
题型二 三元一次方程组的简单应用 例2 在y=ax2+bx+c中,当x=-1时,y=2;当x=2时,y=8;当x=5时,y=158. (1)求a,b,c的值; (2)求当x=-2时,y的值.
解析
a-b c 2,
(1)根据题意,得 4a 2b c 8,
25a 5b c 158.
x y 27, ①
(1)
y
z
(323),
②
z x 30; ③
x y z 26, ①
x-y 1,
②
2x-y z 18. ③
8.4 三元一次方程组的解法
解析 (1)解法一:由①+②+③,得2x+2y+2z=90,即x+y+z=45.④ ④-①,得z=18,④-②,得x=12,④-③,得y=15.
x y 3
y
z
4
z x 2
x y -z 5
xyz
1
x - 3 y 2
答案 D 选项D的xyz=1中“xyz”的次数是3,故D中方程组不符合三元
一次方程组的定义.故D中的方程组不是三元一次方程组.
3.若(a-1)x+5yb+1+2z2-|a|=10是一个关于x,y,z的三元一次方程,那么a=
x y z -2③,
去未知数z后,得到的二元一次方程组是 ( )
A.
4 7
x x
3 5
y y
B.2
3
C.
3x 7 x
4 5
y y
D2.
3
4x 3y 2 23x 17y 11 3x 4y 2 23x 17y 11
答案 A ①-③得4x+3y=2;③×4+②得7x+5y=3.
则ay= - 2 ,
,b=
,c=
3 x z 2 c
z - 1 ,
.
答案 2;3;1
解析
x 1,
把
y
代- 2 , 入方程组得
z - 1
a 2b 8,
- 2解c 得 b
1,
3 -1 2 c ,
a 2,
b
3,
c 1 .
8.4 三元一次方程组的解法
x-z 4, ①
,b=
.
答案 -1;0
解析 a-1≠0,b+1=1,2-|a|=1,∴a=-1,b=0.
8.4 三元一次方程组的解法
知识点二 三元一次方程组的解法
3x y 11, ①
4.解方程组 4x 若3y用代z 入18消,②元法解方程组,第一步应把
x y z 5,③
化为
,代入
中,消去
,组成二元一次方程
原方程组的解.
转化思想 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程
温馨提示 (1)在消元时,首先注意确定消去哪个未知数,再根据情况选择代入消元还是加减消元; (2)有些特殊的方程组可用特殊的消元法,解题时要根据各方程的特点寻求较简单的解法.
8.4 三元一次方程组的解法
2x y 3z 11, ①
8.4 三元一次方程组的解法
把x=10,y=9代入①,得10+9+z=26 , 解得z=7.
x 10,
所
8.4 三元一次方程组的解法
1.下列方程中三元一次方程的个数为 ( ) ①z+3y+x=0;②3a+b=4c;③ 2 -3y+2z=3m(m为常数);④xyz-y+3z=5.
1
1.5
每吨蔬菜可获得的利润 5
7
4
(百元)
8.4 三元一次方程组的解法
解析 设装运甲、乙、丙三种蔬菜的车辆分别为x辆、y辆、z辆,由题意 得
xyz20,
2x解y得1.5z36,
5002x700y4001.5z18300,
x 15,
y
3,
z 2 .
答:当装运甲、乙、丙三种蔬菜的车辆分别为15辆、3辆、2辆时,可使公
答案 A A是;B不是,4xy为二次项;C不是,
有2个未知数.
2 不是整式;D不是,方程中只
x
8.4 三元一次方程组的解法
2.下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
x 5
A.
x
y
7
B.
x y z 6
4 x-9 z 17
C. 3x y 15Dz. 18
x 2 y 3z 2
例3 解方程组: 3x 2y-2z 11, ②
4x-3y-2z 4. ③
8.4 三元一次方程组的解法
解析 ①×2-②,得x+8z=11.④ ①×3+③,得10x+7z=37.⑤
④与⑤联立,得
x8z11, 10x7z37.
④ ⑤
解这个方程组,得
x z
3, 1.
把x=3,z=1代入①,得y=2.
例1 下列方程是三元一次方程的是
.(填序号)
①x+y-z=1;②4xy+3z=7;③ 2 +y-7z=0;④6x+4y-3=0.
x
解析 ①是;②不是,4xy的次数为2;③不是, 2 不是整式;④不是,方程中只
x
有2个未知数.
答案 ①
8.4 三元一次方程组的解法
例2 下列方程组中是三元一次方程组的是 ( )
x y 3
C.
y
z
- 1 D.
z w 8
x 4
y
2
z 1
a b 9
2
d
-a b
2
a - b d 0
答案 B 因为A选项和C选项中都有四个未知数,而D选项中的含未知
数的项的最高次数是二次,所以A、C、D都不是三元一次方程组,故选B.
8.4 三元一次方程组的解法
x y -z 11,
组;如果用加减消元法解这个方程组,第一步应用
,消去
,与①组成二元一次方程组.
答案 ①;y=11-3x;②③;y;②-③;z
2 x -y 3,
5.若
2
y
-
z则 x4 +, y+z=
.
2 z - x 5 ,
答案 12
解析 三个方程相加,即可得出x+y+z=12.
8.4 三元一次方程组的解法
6.解方程组:
(2)
y∶z 4∶5,
②
x
y
z
36.
③
8.4 三元一次方程组的解法
解析 (1)①+②+③,得2(x+y+z)=10,即x+y+z=5.④ 由④-①,得z=4.由④-②,得x=-1.由④-③,得y=2.
x -1,
所以原方程组的解为
y
2,
z 4 .
(2)由①②,得x∶y∶z=3∶4∶5.
x y z 3
A.
y
z
2
wB.
4
x z w 5
x y z 0
x
2
yz
10
x - 2 z 1 1
x y z 3
C.
x -y
z
0D.
x z 4
x y 3
y
1 z
4
x z 5
解析 A项含有4个未知数;B项中2yz的次数为2;D项中y+
程.故选C.
1 =4不是整式方