高中数学 第一章 计数原理 12 排列 121 排列与排列数公式

= 8 ×7 ×6 ×5 ×(24-9) = 1.
2??+ 1 ≥ 4,
(2)根据原方程,x 应满足 ??≥ 3,
??∈N+,
解得 x≥3,x∈N+.
题型一
题型二
题型三
根据排列数公式 ,原方程化为 (2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x·(x-
1)·(x-2).
因为x≥3,所以方程两边同除以 4x(x-1),得(2x+1)·(2x-1)=35(x-2),
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1.从1,2,3,4四个数字中任取两个不同的数分别作为复数 a+bi的实 部和虚部,可得不同的复数个数为 ( ) A.9 B.12 C.15 D.18 答案:B
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2.已知A2?? = 7A2??-4 , 则??的值为(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
解析:由排列数公式,得 n(n-1)=7(n-4)(n-5),
[( ??-1)-(??-1)]!
(??-1)! (??-??)!
(??-1)!
题型一
题型二
题型三
反思注意:(1)排列数公式 A????=n·(n-1)·…·(n-m+1)中最后一项为
(n-m+1),而不是 (n-m);
(2)排列数与阶乘的对应关系为
A????=n!,A????
=
??! .
(??-??)!
说明:(1)排列的定义包括三个方面 :
①要排列的对象 ,两两不相同 ; ②取出元素 ; ③按一定的顺序排列 (所谓“按照一定顺序排成一列 ”应该理解成
将m个元素放在 m个不同的位置上 ).
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(2)两个排列相同的条件 :
①元素完全相同 ; ②元素的排列顺序也相同 .
(3)判断一个具体问题是否为排列问题应着重判断取出的元素对 顺序有没有要求 ,而检验它对顺序有无要求的主要依据是变换元素 的位置,看其结果是否有变化 ,有变化就是有序 ,无变化就是无序 .
题型一
题型二
题型三
【变式训练 3】 写出下列问题的所有排列 : (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数 ,共有多少个不 同的两位数 ? (2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数 ?试全 部列出. 解:(1)所有两位数是 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43, 共有12个 不同的两位数 . (2)画出树形图 ,如图所示 .
即
3n2-31n+70=0,解得
n=7
或
n=
10 3
(舍去).
答案 :B
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??A36 + A37 =
.
答案 :330
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4.6名学生和一名老师站成一排照相 ,老师必须站在中间 ,共有 种站法. 解析:可以分两步,先让学生站好,共有A66种站法,然后让老师站到中 间去,共 1 种站法,所以总共有A66 ×1 = A66 = 720 种站法. 答案:720
§2 排 列
第1课时 排列与排列数公式
1.通过实例正确理解排列的概念 . 2.能利用计数原理推导排列数公式 ,掌握排列数公式 ,能用排列数 公式进行计算与证明 ,解决简单的实际问题 .
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1.一般地,从n个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫作从n个不同的元素中任意取出 m个元素的一个排列 . 我们把有关求 排列的个数 的问题叫作排列问题 .
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【做一做 1】 给出下列问题 :
①有10个车站,共需准备多少种车票 ?
②有10个车站,共有多少种不同的票价 ?
③平面内有 10个点,共可作出多少条不同的有向线段 ?
④有10位同学,假期中约定每两人之间通电话一次 ,共需通电话多
少次?
⑤从10名学生中任选 2名分别参加数学和物理竞赛 ,有多少种选
题型一
题型二
题型三
题型二
有关排列数的计算
【例 2】 计算下列各题:(1)A215;(2)A66;(3)A????--A11??·??--A11????--????. 分析利用排列数公式及阶乘概念解题.
解(1)A215 =15×14=210.
(2)A66=6!=6×5×4×3×2×1=720.
(3)原式= (??-1)! ·(n-m)!· 1 = (??-1)! ·(n-m)!· 1 =1.
题型一
题型二
题型三
由上面的树形图知 ,所有的四位数为 : 1 234,1 243,1 324,1 342,1 423,1 432,2 134,2 143,2 314,2 341,2 413,2 431,3 124,3 142,3 214,3 241,3 412,3 421,4 123,4 132,4 213,4 231,4 312,4 321, 共24个没有重复数字的四位数 .
乘表示排 列数A????为: A????
=
??! .
(??-??)!
【做一做 3】 计算:(1)A316 ;(2)A88;(3)A46.
解(1)A316 =16×15×14=3 360. (2)A88=8!=40 320. (3)A46=6×5×4×3=360.
题型一
题型二
题型三
题型一
排列的概念
【例1】 下列问题是排列问题吗 ? (1)从1,2,3,4四个数字中 ,任选两个做加法 ,其结果有多少种不同的 可能? (2)从1,2,3,4四个数字中 ,任选两个做除法有多少种不同的可能 ? (3)会场有50个座位,要求选出 3个座位有多少种方法 ?若选出3个 座位安排3位客人入座 ,又有多少种方法 ? 分析:根据排列的定义判断 . 解:(1)不是,(2)是;(3)第一问不是 ,第二问是 .理由是:由于加法运算 满足交换律 ,所以选出的两个元素做加法求结果时 ,与两个元素的 位置无关 ,但列除法算式时 ,两个元素谁作除数 ,谁作被除数不一样 , 此时与位置有关 .“入座”问题同“排队”与, 顺序有关 ,故选3个座位安 排3位客人入座是排列问题 .
解:根据分步乘法计数原理,共有 N= A44 ·A44 = 576 种不同的分配方案.
题型一
题型二
题型三
反思本题中涉及多类元素被安排到同一个位置上 ,我们可以分步对 各类元素按要求进行安排 ,然后分别求出每一步的排列数 ,最后利 用分步乘法计数原理求出方法数 .
题型一
题型二
题型三
【变式训练 4】 (1)有5本不同的书 ,从中选3本送给3名同学,每人 各1本,共有多少种不同的送法 ?
+
??2 ??2
=
1?
题型一
题型二
题型三
解:(1)是.选出的2人,担任正、副班长任意 ,与顺序有关 ,所以是排 列问题 .
(2)是.对数值与底数和真数的取值的不同有关系 ,与顺序有关 . (3)不是.焦点在x轴上的椭圆 ,方程中的 a,b必有a>b,a,b的大小一 定,选出的两数较大的只能作 a,较小的只能作 b,与顺序无关 ,所以不 是排列问题 .
【做一做 2】 设m∈N+,且m<15,则(15-m)·(16-m)·…·(20-m)可记
为( )
A. A615-??
B. A1250--????
C. A620-??
D. A520-??
答案:C
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3.我们把 n·(n-1)·(n-2)·…·2·1记作 n!,读作 :n的阶乘 ,规定 0!=1,利用阶
(1)某班共有50名同学,现要投票选举正、副班长各一人 ,共有多
少种可能的选举结果 ?
(2)从2,3,5,7,9 五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真
数,有多少个不同的对数值 ?
(3)从集合M={x|1≤x≤9,x∈N}中任取相异的两个元素作为 a,b,可以得到多少个焦点在 Nhomakorabeax
轴上的椭圆
??2 ??2
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5某信号兵用红、黄、蓝、白 4面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表 示信号,每次可以任挂 2面、3面或4面,并且不同的顺序表示不同的 信号,则一共可以表示多少种不同的信号 ? 解第一类,挂 2 面旗表示信号,有A24种不同方法;
第二类,挂 3 面旗表示信号,有A34种不同方法; 第三类,挂 4 面旗表示信号,有A44种不同方法. 根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有A24 + A34 + A44=4×3+4×3×2+4×3×2×1=60 种.
题型一
题型二
题型三
【例4】 将4位司机、 4位售票员分配到 4辆不同班次的公共汽车 上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员 ,共有多少种不同的 分配方案 ?
分析:解决这个问题可以分为两步,第一步:把 4 位司机分配到 4 辆不同班次的公共汽车上,即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一 列,有A44种方法;第二步:把 4 位售票员分配到 4 辆不同班次的公共汽 车上,也有A44种方法,利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数 .
即4x2-35x+69=0,解得
x=
3或
x=5
3 4
(因为x
为整数
,
所以应舍去
).
所以原方程的解为 x=3.
题型一
题型二
题型三
题型三 简单的排列问题
【例3】 (1)从5本不同的书中选两本送给 2名同学,每人一本 ,则不
同的送书方法的种数为 ( )
A.5 B.10 C.20 D.60
(2)5个同学站成一排 ,共有
种不同的站法 .
分析：由于送书和排队都与顺序有关 ,因此可利用排列数公式 求解.
解析：(1)此问题相当于从 5 个不同元素中取出 2 个元素的排列 数,即共有A25=20 种不同的送书方法.
(2)5 个同学站成一排,共有A55=5×4×3×2×1=120 种不同的站法.
答案： (1)C (2)120
题型一
题型二
题型三
反思判断一个具体问题是否为排列问题 ,就看取出元素后排列是有 序的还是无序的 ,而检验它是否有序的依据就是变换元素的 “位 置”这( 里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定 ),看其结果是 否有变化 ,有变化就是排列问题 ,无变化就不是排列问题 .
题型一
题型二
题型三
【变式训练 1】 判断下列问题是否为排列问题 :
派方法 ?
其中,属于排列问题的有
. (只填序号)
答案:①③⑤
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2.我们把从 n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有排列的个数 , 叫作从n个不同元素中取出 m个元素的排列数 ,记作A????.
A???? = ??(??? 1)(??? 2) … (??? ?? + 1). 规定A0?? = 1.
(2)有5种不同的书 ,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种 不同的送法 ?
解:(1)从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,相当于从 5 个元 素中任取 3 个元素的一个排列,所以共有A35 = 5 ×4 ×3 = 60 种不同的送法.
(2)从 5 种不同的书中买 3 本书,这 3 本书并不要求都不相同,根 据分步乘法计数原理,共有 5×5×5=125 种不同的送法.
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 求解下列问题:
(1)计算
2A85+7A A88 -A95
4 8
;
(2)解方程: A42??+1 = 140A3??.
解:(1)
2A85+7A84 A88 -A95
=
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2-×9×1 8×7×6×5
8 ×7 ×6 ×5 ×(8 + 7)