拉普拉斯变换ppt课件

ds ds 0
0
e-st t f (t)dt 0
从而 ℒ [t f (t)] (1) dF(s) ds
类推 ℒ [t n f (t)] (1)n dnF (s)
ds n
17
6.2 基本函数的拉普拉斯变换
18
一 单位阶跃函数
二 δ(t)函数
L[ (t t0 )]
关于 p的代数方程
原微分方程的解
Laplace 变换的反演
39
一 有理分式的反演 把有理分式分解,然后利用一些基本公式
和 Laplace 变换的性质求原函数。
一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分
式展开 4）利用拉氏变换表求解
注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。
20
6.3 Laplace 变换的基本性质
21
Laplace 变换F(s) 的特性：

（1） F(s) 在 Re(s)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | s | ,
s 平面
|Arg s| /2 - ε (ε > 0) 时：
o
F(s) 存在，
且满足 lim F(s) 0 s
L[teat ]


1
t d e(sa)t
0
sa 0
1 sa
t e(sa)t
|
0

e (sa)t
0
dt


s
1 a

0
s
1
a

e (sa)t
0
d[(s
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九 像函数积分定理

F(s) d s
s
ℒ

f
(t) t

即： 像函数求积分，相当于原函数 除 t 的像函数。
29
十 关于参数的运算
对于含参数α的函数f(t,α)的拉氏变换来说， 由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于α的 运算顺序可以交换，所以
L[lim f (t, )] lim F (s, )
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1
s2
e st
0
d( st )


1 s2
est
|
0

1 s2
(Res 0)
15
例4 f (t) t eat
A, B,C, D代入原式得
1
1
s 1
I 2(s 3) 2(s 3) s2 9
1
1
s
1




2(s 3) 2(s 3) s2 9 s2 9
44
二 查表法反演
例4：求 F (s) e s 的原函数。
s
解 由表查得
L1

1 s

1
t
t sin d的拉氏变换。 0
33
例2（P206例10.3.5）
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
34
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
35
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
t 0
s
31
十二 终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t 0
sF (s)的奇点位于Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
32
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
40
例1 求 F(s)
s2 1
的原函数
(s 1)(s 2)(s 3)
（p208例10.4.1）
41
例2 求
F (s)

(s
3s 1 1)(s2 1)
的原函数
（p208例10.4.2）
42
例3
求
F (s)

s3
2s2 9s 36 s4 81
的原函数
解
F(s)
2 0
令s i,则d ds F (s) f (t)est dt
i
0
f (t) 1 i f (s)est ds
2i i 6
从上面推导可知，函数f(t)(t≥0)拉普 拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-δt 的傅里叶变换。
7
4 Laplace变换的定义
0+i
解 析 区 域
0-i
22
一 线性定理：与 Fourier 变换一样。
ℒ[c1 f1(t) c2 f2 (t)] c1F1(s) c2F2 (s)
例 ℒ [sin t] 1 ℒ [eit ] ℒ [eit ]
ℒ[est ]
1 ps
2i
(Re p Re s)
2 定理：若f(t)满足上述条件，则像函数 F(s)在半平面Res>δ上有意义，而且是一 个解析函数。
12
三 例题 例1 指数函数 eat (a为复常数)
L [eat ] e(sa)tdt 0
1 e(sa)td[(s a)t] sa 0
1 sa

a)t]



(s
1 a)2
e(sa)t
|
0

(s
1 a)2
(Re s Re a)
同理 L [t neat ] n!
(Re s Re a)
(s a)n1
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例5 求 ℒ[t f (t)]
解： dF(s) d e-st f (t)dt e-st (t) f (t)dt

1 2i
s
1
i

s
1
i


s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ
2
[eit ] ℒ
[eit ]

s
s2 2
(Re s 0)
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二 原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] snF (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
de(sa)t 1 e(sa)t
0
sa
0
1 sa
(Re s Re a)
13
例2 Heaviside阶跃 函数:
u(t)

1,

0,
t 0 t0
L [ f (t)] 1 est dt 1
0
s
(Re s 0)
14
例3 线性函数 f (t) = t (t > 0):
a) t<0时，f(t)=0
b) t=0时，f(t)右侧连续，lim f (t) f (0) t 0
f (t) f (t)
t

0 ,
f
(t)为t的实变函数
0 t0
2f）(t设)，单研位究阶函跃数函为数f(，tu)(ut() t)。10
t0 t0
则原函数
5
3 从傅里叶变换推导拉普拉斯变换
0
est
(t

t0
)dt

est0
当t0 0，L[ (t)] 1
19
三 函数tn（n>-1)的拉氏变换
L[t n ] t nest dt 0
令x st,则
L[tn ]
( x)nex 0s
dx s

1 s n1
0
xnexdx

(n 1) s n1
当 f (t)et dt为有限值时，函数f (t)u(t)et 0
满足傅立叶变换的要求:
f (t)et 1 F ()eitd
2
F () 1 [ f (t)u(t)et ]eitdt
2
1

[
f
(t
)et
]eit
dt

1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
25
四 相似性定理
ℒ

f
(at)

1 a
F
(
s a
)
五 位移定理： ℒ [et f (t)] F (s )
六 延迟定理： ℒ [ f (t t0 )] est0 F (s)
26
七 卷积定理:
设f(t)为定义在[0，∞）上的实变函数或复
值函数，若含 s i( ,为实数）( 0)
复变量的积分
f (t)est dt f (t)et dt为有限值
0
0
在s的某个区域内存在，则由此积分定义的
复函数
F (s) f (t)est dt 0
称为函数f(t)的Laplace变换或像函数， 记作F(s)=L[f(t)]，
及其导数是处处连续的。
（2） 存在常数 M > 0 和 0，使对 于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
的下界称为收敛横标，以0 表示。
大多数函数都满足这个充分条件。
10
s 平面

0+i
o

i s
收敛横标
0-i
11

y
t0
y'
t0
0
36
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
Ri(t) 1
t
i(t)dt E(t 0)
C0
37
6.3 Laplace变换的反演
38
关于 t 的微分方程
关于 p的代数方程
Laplace 变换
2）在（-∞，+∞）上满足
绝对可积的条件

| f (x) | dx

3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t<0无意义。
4
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a
a
L[ f (t, )] F (s, )


a
a
L[0 f (t, )d ] 0 F (s, )d
30
十一 初值定理
设L[ f (t)] F(s),且lim sF (s)存在，则 s
f (0) lim f (t) lim sF (s)
ℒ [ f1(t)] F1(s), ℒ [ f2 (t)] F2 (s),
t
f1(t) * f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
ℒ f1(t) * f2 (t) F1(s)F2 (s)
27
八 像函数微分性质
ℒ
[t n
f
(t)]

(1)n
d nF(s) dsn
sf (n2) (0) f (n1) (0)
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
24
三 原函数积分定理:
ℒ

t

0
(
)d

又由延迟定理
ℒ [ f (t t0 )] e pt0 F (s)

s
A 3

s
B 3

s
C 3i

s
D 3i
通分后比较p的同次幂系数得：

ABC D 1
A 1/ 2
3A 3B 3iC 3iD 2

9A 9B 9C 9D 9

B 1/ 2 C (3 i)/6
27A 27B 27iC 27iD 36 D (3 i)/6

s3 2s2 9s 36 (s 3)(s 3)(s2 9)

1 2(s
3)

1 2(s
3)
s 3 s2 9 3(s2 32 )
因此原函数为
f (t) 1 (e3t e3t ) cos3t 1 sin 3t
2
3
43
I

s3 2s2 9s 36 (s 3)(s 3)(s2 9)
8
f (t) 1 i f (s)est ds
2i i
而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数， 记作f(t)=L-[F(s)]，上式也称作黎曼-梅林 反演公式。
9
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
第六章 拉普拉斯变换
1
本章基本要求
• 理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换
• 掌握有理分式反演法
• 掌握延迟定理，位移定理和卷积定理
• 理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法 求解微积分方程。
2
6.1 拉普拉斯变换的概念
3
一 Laplace 变换的定义
1 傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件