【高考押题】2019年高考数学仿真押题试卷(十九)(Word版,含答案解析)

专题19 高考数学仿真押题试卷（十九）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合[1A =-，1]，，则(A
B = )
A ．(0,1)
B ．(0，1]
C ．(1,1)-
D ．[1-，1]
【解析】解：(0,1)B =；
．
【答案】A ．
2．已知z 的共轭复数是z ，且为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解析】解：设
，
，∴
，
∴
，解得：322
x y ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩，
复数z 在复平面内对应的点为3
(,2)2-，此点位于第四象限．
【答案】D ．
3．已知向量(1,3)a =，||3b =，且a 与b 的夹角为3
π
，则|2|(a b += )
A ．5
B C ．7
D ．37
【解析】解：由题可得：向量(1,3)a =，||2a =，
所以，
所以，．
【答案】B ．
4．已知函数，若
，则实数a 的取值范围是( )
A ．[2-，1]
B ．[1-，2]
C ．(-∞，2][1-，)+∞
D ．(-∞，1][2-，)+∞
【解析】解：函数，在各段内都是减函数，
并且01e -=，，所以()f x 在R 上递减，
又
，所以
，
解得：21a -剟， 【答案】A ．
5．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的(n )
A ．50
B ．53
C ．59
D ．62
【解析】解：【方法一】正整数n 被3除余2，得32n k =+，k N ∈； 被8除余5，得85n l =+，l N ∈； 被7除余4，得74n m =+，m N ∈； 求得n 的最小值是53．
【方法二】按此歌诀得算法如图， 则输出n 的结果为
按程序框图知n 的初值为1229，代入循环结构得，
即输出n 值为53． 【答案】B ．
6．已知函数，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象
关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【解析】解：
，
将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，
得到函数的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，
所以，即6
m k π
π=+
，k Z ∈，
又0m >，
所以当0k =时，m 最小为6
π． 【答案】A ．
7．已知命题p ：函数21
()21
x x f x -=+是定义在实数集上的奇函数；命题q ：直线0x =是1
3()g x x =的切线，则
下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧
B ．q ⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．p ⌝
【解析】解：，
即()f x 是奇函数，故命题p 是真命题，
函数的导数，当0x =时，()g x '不存在，此时切线为y 轴，即0x =，故命题q 是真命题，
则p q ∧是真命题，其余为假命题， 【答案】A ．
8．已知双曲线的渐近线与
相切，则双曲线的离心率为(= )
A ．2
B C D 【解析】解：取双曲线的渐近线b
y x a
=
，即0bx ay -=． 双曲线22
221(x y a b
-= 0a >，0)b >的渐近线与
相切，
∴圆心(2,0)到渐近线的距离d r =， ∴
1=，化为2b c =，
两边平方得
，化为2234c a =．
∴c e a =
【答案】D ．
9．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键
盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c 的频率正好是中音c 的2倍．已知标准音1a 的频率为440Hz ，那么频率为
的音名是( )
A ．d
B ．f
C ．e
D ．#d
【解析】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比1
12
2．故从g 起，每一个
单音的频率与它右边的一个单音的比为112
2q -
=
由
，解得7n =，
频率为的音名是(#d )， 【答案】D ． 10．函数
的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】解：当0x <时，
，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；
当2x =时，f （2）230e =-<，故可排除D ． 【答案】A ．
11．利用Excel 产生两组[0，1]之间的均匀随机数：(a rand = )，(b rand = )：若产生了2019个
样本点(,)a b ，则落在曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为( ) A ．673
B ．505
C ．1346
D ．1515
【解析】解：由曲线1y =、y =和0x =所围成的封闭图形的面积为，
所以，则落在曲线1y =、y 0x =所围成的封闭图形内的样本点个数估计为，
【答案】A ．
12．已知点P 为直线:2l x =-上任意一点，过点P 作抛物线
的两条切线，切点分别为1(A x ，
1)y 、2(B x ，2)y ，则12(x x = )
A ．2
B ．2
4
p
C ．2p
D ．4
【解析】解：不妨设(2,0)P -，过P 的切线方程设为(2)y k x =+， 代入抛物线方程得
，又0k ≠，故124x x =．
【答案】D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若整数x 、y 满足不等式组，则y z x =
的最小值为 12
． 【解析】解：整数x 、y 满足不等式组的可行域如图：三角形区域内的点(2,1)A 、(2,2)B 、(2,3)C 、
(1,2)D ，AO 连线的斜率是最小值．
则y z x =
的最小值为：1
2
． 故答案为：
1
2
．
14．已知椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C 内
切于点P ，则12
PF F S
= ．
【解析】解：椭圆的焦点为1F 、2F ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的O 与椭圆C
内切于点P ， 可得1b c ==， 所以
．
故答案为：1．
15．定义在R 上的函数()f x 满足，若，且(2)2gl n =-，
则1
()2
g ln = ． 【解析】解：根据题意，，
则
，变形可得
，
，
又由1
22ln ln =-，且
，则，
则
；
故答案为：4．
16．已知O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心，A 是最大角，若，则m 的取值范围为
．
【解析】解：由O 是锐角ABC ∆的外接圆圆心， 则点O 为三角形三边中垂线的交点， 由向量投影的几何意义有：
，
则， 所以则
，
由正弦定理得：
，
所以
，
所以2sin m A =， 又[3A π∈，)2π
，
所以m ∈2)，
故答案为：，2)．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面四边形ABCD 中，已知34
ABC π
∠=，AB AD ⊥，1AB =．
（1）若AC ABC ∆的面积；
（2）若，4AD =，求CD 的长．
【解析】解：（1）在ABC ∆中，
，
，
解得BC ，
∴．
（2），
∴，
∴
在ABC
∆中，，∴，
，
∴CD=
18．在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；
（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
参考公式：
参考数据：
【解析】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，
由题意知，从示范性高中抽取（人)，
从非示范性高中抽取（人)；
（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：
，
据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；
（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有（人)，
且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下；
计算，
所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
19．已知点(0,2)
P，点A，B分别为椭圆的左右顶点，直线BP交C于点Q，ABP
∆
是等腰直角三角形，且
3
5
PQ PB
=．
（1）求C的方程；
（2）设过点P 的动直线l 与C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点．当MON ∠为直角时，求直线l 的斜率． 【解析】解：（1）由题意ABP ∆是等腰直角三角形，则2a =，(2,0)B ， 设点0(Q x ，0)y ，由3
5
PQ PB =，
则06
5
x =，045y =，代入椭圆方程解得21b =，
∴椭圆方程为2
214
x y +=．
（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，令l 的方程为2y kx =+， 则1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则22
214
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得， ∴△
，解得234
k >
， ，，
当MON ∠为直角时，1OM ON k k =-，
，
则
，
解得24k =，即2k =±，
故存在直线l 的斜率为2±，使得MON ∠为直角． 20．如图，在直三棱柱中，ABC ∆是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1
AA 的上一点．
（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ； （2）若二面角1D BC C --
，求AD 的长．
【解析】解：（1）证明：由题意：BC AC ⊥且1BC CC ⊥，
，
BC ∴⊥平面11ACC A ，则1BC DC ⊥． 又D 是1AA 的中点，AC AD =，且90CDA ∠=︒，
，
同理
．
，则1DC DC ⊥，
1DC ∴⊥平面BCD ；
（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设AD h =，则(1D ，0，)h ，(0B ，1，0)，1(0C ，0，2)．
由条件易知CA ⊥平面1BC C ，故取(1m =，0，0)为平面1BC C 的法向量． 设平面1DBC 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则n BD ⊥且1n BC ⊥，
，
，
∴，取1z =，得．
由，
解得12h =
，即1
2
AD =．
21．已知函数在0x x =处取得极小值1-．
（1）求实数a 的值； （2）设
，讨论函数()g x 的零点个数．
【解析】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，，
函数
在0}x x =处取得极小值1-，
∴
，得0
1,
1a x =-⎧⎨=⎩
当1a =-时，()f x lnx '=，则(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
1x ∴=时，函数()f x 取得极小值1-， 1a ∴=-
（2）由（1）知，函数
，定义域为(0,)+∞，
，
令()0g x '<，
得0x <令()0g x '>，
得x >()g x
在上单调递减，
在)+∞上单调递增，
当x ()g x 取得最小值2
e
b -， 当02e b ->，即2e
b >时，函数()g x 没有零点； 当02e b -
=，即2
e
b =时，函数()g x 有一个零点；
当02
e
b -
<，即02e b <<时，g （e ）0b =>，
g g ∴（e ）0<
存在1x ∈)e ，使1()0g x =，
()g x ∴在)e 上有一个零点1x
设，则，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，则()h x 在(0,1)上单调递减，
()h x h ∴>（1）0=，即当(0,1)x ∈时，1
1lnx x
>-
， 当(0,1)x ∈时，
，
取{m x min b =，1}，则()0m g x >，
，∴存在2(m x x ∈，，使得2()0g x =，
()g x ∴在(m x 上有一个零点2x ，()g x ∴在(0,)+∞上有两个零点1x ，2x ，
综上可得，当2
e
b >时，函数()g x 没有零点； 当2
e
b =
时，函数()g x 有一个零点； 当02
e
b <<
时时，函数()g x 有两个零点． 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足，
点B 的轨迹为2C ．
（1）求1C ，2C 的极坐标方程；
（2）设点C 的极坐标为(2,)2
π
，求ABC ∆面积的最小值．
【解析】解：（1）曲线1C 的参数方程为
为参数），
∴曲线1C 的普通方程为
，
∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=．
设B 的极坐标为(,)ρθ，点A 的极坐标为0(ρ，0)θ， 则||OB ρ=，0||OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=，
，08ρρ∴=，
∴
8
2cos θρ
=，cos 4ρθ=，
2C ∴的极坐标方程为cos 4ρθ=
（2）由题意知||2OC =，
，
当0θ=时，S ABC 取得最小值为2． [选修4-5：不等式选讲]． 23．已知函数的最小值为t ．
（1）求实数t 的值； （2）若
，设0m >，0n >且满足
，求证：
．
【解析】解：（1），
显然，()f x 在(-∞，1]上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
（1）2=-，
2t ∴=-， 证明（2）
，
，
由于0m >，0n >，且
11
22m n
+=，
，当且仅当
22n m
m n
=
，即当12n =，1m =时取“=”， 故。