连续两次旋转变换性质的应用
几何变换的性质与应用
几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。
几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。
一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。
例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。
例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。
（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。
翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。
例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。
（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。
通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。
例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。
2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。
例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。
连续两次旋转变换性质的应用
B0 P0 为半径作圆弧 P0 Q0 交 C1 B0 的延长线 于点 Q0 ;以 C1 为圆心 、C1 Q0 为半径作圆弧
Q0 P1 交 B1 A 的 延 长线于点 P1 ; 以 B1 为圆 心 、B1 P1 为 半
径 作 圆 弧 P1 Q1 交
B1 C0 的 延 长 线 于
点 Q1 ; 以 C0 为 圆
圆弧 P0 Q0 与 P0 Q1 相 内 切 于 点 P0 , 且 P0 、Q0 、Q1 、P1 四点共圆.
参考文献 : [1 ] 本刊资料室. 竞赛常用知识手册 (J ) . 中等数学 ,2005
(12) .
致 读 者
1《. 中等数学》2006 年合订本有两种 : (1) 分上 、下册发行 ,每册 27 元 (含邮挂费) 。上 册现已发行 ,下册估计 2007 年 1 月发行 ; (2) 全年合订本 ,每本 50 元 (含邮挂费) 。
心 、C0 Q1 为半径作
图1
圆弧 Q1 P′0 交 AB0 的延长线于 P′0 . 求证 :
(1) 点 P′0 与点 P1 重合 ,且圆弧 P0 Q0 与
P0 Q1 相内切于点 P0 ; (2) P0 、Q0 、Q1 、P1 四点共圆. 解 : 如 图 1 , ∠Q0 B0 P0 的 角 平 分 线 与
2. 由《中等数学》编辑部编辑出版的《2002 —2003 国内外数学竞赛套题及精解》已售 罄《; 2003 —2004 国内外数学竞赛套题及精解》《、2004 —2005 国内外数学竞赛套题及精解》 余量有限 ,请速购 。每本 22 元 (含邮挂费) 。
∠AC1 B0 的角平分线的交点 O 即为由点 P0
到点 P1 的旋转变换的旋转中心 ,旋转角度 为 ∠P0 B0 Q0 + ∠Q0 CБайду номын сангаас P1 ,且 OP0 = OP1 .
北京版数学九年级下册《23.2 旋转变换》说课稿
北京版数学九年级下册《23.2 旋转变换》说课稿一. 教材分析旋转变换这一节的内容，主要介绍了旋转变换的定义，性质以及应用。
它是初中数学中比较重要的一个知识点，也是学生对几何变换的一个深化理解。
在教材中，通过具体的图形和实例，引导学生理解旋转变换的概念，掌握旋转变换的性质，并能够应用旋转变换解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生，已经掌握了平面几何中的大部分知识，他们对图形的变换也已经有了初步的理解。
但是，对于旋转变换，他们可能还是第一次接触，因此需要通过具体实例，让学生理解旋转变换的概念，并能够熟练运用旋转变换解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解旋转变换的概念，掌握旋转变换的性质，并能够运用旋转变换解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察实例，让学生体验旋转变换的过程，培养学生的观察能力和操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，使学生感受到数学的美。
四. 说教学重难点1.重点：旋转变换的概念和性质。
2.难点：旋转变换的应用。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法和探究法相结合的教学方法。
在讲授旋转变换的概念和性质时，我会通过讲解和展示实例，让学生理解旋转变换的含义。
在讲解旋转变换的应用时，我会引导学生通过小组合作，共同探究旋转变换在实际问题中的应用。
同时，我还会利用多媒体教学手段，展示旋转变换的动态过程，帮助学生更好地理解旋转变换。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一个旋转变换的实例，引导学生思考旋转变换的概念。
2.新课导入：讲解旋转变换的定义和性质，让学生理解旋转变换的基本概念。
3.实例分析：通过展示几个旋转变换的实例，让学生体验旋转变换的过程，并引导学生总结旋转变换的性质。
4.应用探究：让学生通过小组合作，共同探究旋转变换在实际问题中的应用。
5.总结提升：对旋转变换的概念和性质进行总结，引导学生思考旋转变换的实际意义。
6.课堂练习：布置一些旋转变换的练习题，让学生巩固所学知识。
九年级数学下册《旋转变换》优秀教学案例
1.教师带领学生回顾本节课所学内容，总结旋转变换的定义、性质、表示方法和应用。
-强调旋转变换在实际问题中的应用，提高学生的几何解题能力。
2.对学生在课堂上的表现给予积极评价，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
（五）作业小结
1.布置课后作业，巩固旋转变换的知识。
-基础题：运用旋转变换解决简单几何问题。
-学生能够将旋转变换应用于解决平面几何问题，如求旋转后图形的面积、周长等。
-学生掌握旋转变换在坐标平面中的应用，能够解决旋转相关的坐标问题。
3.掌握旋转变换与其他几何变换（如平移、轴对称）的综合运用，培养几何变换的综合运用能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探究旋转变换的性质，培养学生的空间想象能力和几何直观。
3.培养学生运用数学思维解决问题的能力，提高数学素养。
-教学过程中，教师引导学生运用数学语言描述旋转变换，培养数学表达和逻辑思维能力。
-学生通过解决旋转变换的实际问题，体会数学在实际生活中的应用，提高数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们的学习积极性。
-教师通过生动的教学情境，让学生感受旋转变换在生活中的应用，激发学习兴趣。
-提高题：结合其他几何变换，解决综合几何问题。
2.鼓励学生利用课余时间观察生活中的旋转变换现象，将数学知识融入日常生活。
五、案例亮点
1.生活情境导入，激发学习兴趣
本案例以生活中的旋转变换现象为切入点，通过多媒体展示和实际操作，让学生直观感受到旋转变换在实际生活中的广泛应用。这种导入方式既激发了学生的学习兴趣，又使他们能够将抽象的数学知识与社会生活紧密联系在一起，增强了学习动机。
四、教学内容与过程
人教版九年级上册(新)第23章《旋转》教材分析 (文字稿)
第二十三章 《旋转》教材分析一、本章知识的地位与作用“图形与变换”是义务教育阶段数学课程中“空间与图形”领域的一个重要内容，在教材中占有重要的地位.和平移、轴对称一样，旋转也是现实生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简洁形式之一.旋转是工具性的知识. 学习旋转的基本性质, 欣赏并体验旋转在现实生活中的广泛应用, 不仅是初中学习的重要目标之一, 也是密切数学与现实之间联系的重要桥梁之一.旋转变换在平面几何中有着广泛的应用, 特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时, 更是经常用到的思维方法. 此前, 学生已学习了平移、轴对称两种图形变换, 对图形变换已具有一定的认识, 通过本章的学习, 学生对图形变换的认识会更完整, 同时, 也能对平移、轴对称有更深的认识. 进一步建立的几何变换的意识可帮助我们用运动的观点认识图形，从而使解决问题的思路更加简明、清晰.二、主要内容三、课程学习目标（一）课标要求1. 通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转, 探索旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点与旋转中心连线所成的角相等.2. 能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形, 欣赏旋转在现实生活中的应用.3. 通过具体实例认识中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 了解线段、平行四边形是中心对称图形.，认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.4. 探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，会运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计.旋转及其性质 中心对称 关于原点对称的点的坐标图案设计中心对称图形旋转的基本知识特殊的旋转 －－中心对称 平移、旋转、轴对称的综合运用平移及其性质 轴对称及其性（二）实际教学要求1．基本要求：①了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心的连线所成角彼此相等（等于旋转角）的性质；——什么是旋转？旋转的三要素是什么？旋转前、后图形之间对应元素具有哪些性质？②通过具体实例认识旋转, 能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角及旋转前后的对应点；——怎样确定旋转中心与旋转角？③能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，利用旋转进行简单的图案设计；④通过具体实例认识中心对称，掌握作与已知图形中心对称的图形的方法，并能指出图形的对称中心；⑤了解中心对称图形的概念，能识别中心对称图形．了解线段、平行四边形是中心对称图形，了解中心对称与中心对称图形的区别.——旋转与中心对称之间具有怎样的联系？中心对称与中心对称图形之间具有怎样的关系？⑥了解关于原点对称的点的坐标之间的关系.2．略高要求：①探索它们的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质，旋转前、后的图形全等；②探索中心对称的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质；③能运用旋转的知识解决简单的计算问题．3．较高要求：①能运用旋转的知识进行图案设计；②能综合运用平移、对称、旋转等变换解决相对复杂的问题．（三）2015中考说明中对旋转的要求基本要求：认识平面图形关于旋转中心的旋转；理解旋转的基本性质；了解中心对称、中心对称图形的概念；理解中心对称的基本性质.略高要求：能画出平面图形关于给定旋转中心的旋转图形；探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质；能利用旋转的性质解决有关简单问题.较高要求：运用旋转的有关内容解决有关问题.四、课时安排本章教学时间约需9课时, 具体分配如下（仅供参考）：23.1图形的旋转2课时23.2中心对称2课时23.3课题学习图案设计1课时（补充）旋转的应用(计算与证明) 2- 3课时数学活动、小结1课时五、教学重点难点重点：1. 图形旋转的基本性质.2. 中心对称的基本性质.3. 两个点关于原点对称时, 它们坐标之间的关系.难点：1. 图形旋转的基本性质的归纳与运用.2. 中心对称的基本性质的归纳与运用.六、教学建议：1、注重与学生已学的图形变换的经验联系，类比学习.在本章学习前，学生已经学习了平移、轴对称，对图形变换已经有所认识，一般地，学习一种图形变换大致包括以下内容⑴通过具体实例认识图形变换; ⑵探索图形变换的性质;⑶作出一个图形变换后的图形⑷利用图形的变换进行图案设计;⑸用坐标表示图形变换.本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的. 关于⑸，本章正文中只涉及一些特殊旋转用坐标表示的问题，如以原点为对称中心的中心对称的坐标表示，在数学活动和习题中则涉及用坐标表示以原点为旋转中心，旋转角为直角的旋转.2、注意揭示旋转概念的实际背景与广泛应用旋转与现实生活联系紧密, 为此, 在教学中应列举大量实例来使学生认识和感受它们, 增强学生对旋转的理解. 利用图形变换进行图案设计、解决实际问题既可以进一步促进学生对知识的理解，又加强了图形变换与现实生活的联系.3、注意培养动手操作的意识教材在探索旋转的性质、中心对称的性质以及如何设计图案最美观等问题时, 安排了转动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容. 动手操作是解决问题的一种方法, 应给学生操作的时间和体验，加强学生主动进行动手操作的意识.4、注意安排对重要结论的探究教材在发现旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标特征、图形之间的变换关系、如何设计图案最美观、从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系等问题中，教科书注意安排画图、分析、归纳等探究活动.教学中，应充分利用这些资源，进行开放式探究，重视培养学生观察、发现、比较、归纳、说理等综合能力，从而逐步提高学生的探究能力.5、注意概念之间的区别与联系⑴平移、旋转、轴对称学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致, 主要都是研究变换过程中的不变量, 是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.⑵旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°), 满足旋转的性质, 由旋转的性质可以得到中心对称性质⑶中心对称与轴对称教材中P74的数学活动1还从坐标的角度揭示了中心对称与轴对称的关系. 作点A关于x轴的对称点B，作点B关于y轴的对称点C，则点A与点C关于原点对称. 由此可知，将一点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点关于原点的对称点.⑷两个图形成中心对称与中心对称图形6、注意用计算机辅助教学利用几何画板的旋转功能, 可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能, 可以发现旋转变换中的不变量; 关于原点对称的点的坐标特征. 进行图案设计时, 利用计算机, 可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果. 同时利用计算机, 可以直观地看到图形运动变换的过程，对图形性质的探究和发现会很有帮助.7、培养学生良好的作图习惯，加强学生对图形的认识和理解.几何作图是本章教学过程中不可缺少的重要组成部分. 通过作图可以加深学生对旋转的认识和理解. 旋转的过程中, 实际上其运动轨迹均为圆, 利用圆规构造旋转变换的图形是学生应该掌握并熟练应用的. 在教学中，教师应当指导学生利用尺规和其它工具规范作图, 培养学生良好的作图习惯.本章主要作图有：OA'①按要求作旋转后的图形;②已知旋转前后的图形,确定旋转中心、旋转角;③作一个图形关于一点成中心对称的图形;④已知成中心对称的两个图形(或已知某一图形是中心对称图形), 确定对称中心;⑤在平面直角坐标系中, 作一个图形关于原点对称的图形.上述五种作图是本章的基本技能. 在教学中一定要让学生动手完成.8、从三个层面理解借助旋转移动图形：①从旋转的角度认识静态图形，发现图形关系，实际不需要移图；②图形按指令语言（题干）要求移动，解决在图形移动过程中形成的问题；③根据题目需要和图形特征有目的的旋转图形的某一部分，形成新的图形关系，从而将分散的条件集中，使知识与知识之间形成紧密的联系，产生新的信息，有利于解决问题。
旋转变换在平面几何中的应用
旋转变换在平面几何中的应用旋转变换是指将平面图形绕着定点沿一定的方向旋转一定的角度，得到与原图形全等的图形的方法。
我们利用旋转变换的方法和性质解题时，常常能把一些看起来分散的条件集中起来，或把分离的图形拼凑起来，从而巧妙地使问题得到解决。
所以在平面几何的证明（计算）中，旋转是一种常用的方法。
下面，谈谈笔者的几点粗浅体会：一、旋转60°角后证明（计算）平面几何题例1：Q为等边△ABC内一点，已知QA＝6，QB＝8，QC＝10，求最接近△ABC的面积的整数值。
解：如图一，将△AQC绕着点A点顺时针方向旋转60°∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝60°，这时C点必与B点重合Q点旋转到Q＇点的位置，△A Q＇B≌△AQC∴A Q＇＝AQ∴△A Q＇Q为等边三角形∴QQ＇＝QA＝6∵又在△BQQ＇中，BQ＇2＝100，Q＇Q2＋QB2＝100∴△BQQ＇为直角三角形，即∠BQQ＇＝90°又过点B做BP⊥AQ，交AQ的延长线于点P∵∠BQC＝90°，∠PQC=60°，∠BQP＝30°∴BP＝4，PQ＝4∵在Rt△ABP 中，AB2＝42＋（6+4）2=100+48∴设△ABC，BC边上的高为h，则h＝=∴==故最接近△ABC面积的整数值是79个平方单位。
二、旋转90°角后证明（计算）平面几何题例2：如图二，在正方形的边CD、CB上，各有一点E、F，且∠EAF＝45°。
求证：DE+FB=EF证明：将△ADE绕点A逆时针方向旋转90°得到△ABE＇∵四边形ABCD是正方形∴AD、AB，∠D=∠ABC=90°，这时D点必与B 点重合，点E旋转到了E＇的位置，△ABE＇≌△ADE∴∠D= ∠ABE＇∵∠ABF∠ABE＇=180°∴F、B、E＇三点共线∵∠EAE＇=90°，∠EAF=45°∴∠FAE＇=45°在△AEF和△AFE＇中，∴△EAF≌△E扐F∴EF=E＇F∵E＇F=FB+BE＇=FB+DE∴EF=FB+DE例3：如图三，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC边上的点，且∠EAF=45°。
初中数学知识归纳几何变换的应用
初中数学知识归纳几何变换的应用几何变换是数学中一个重要的概念，初中数学课程中的几何变换有平移、旋转、翻折和对称四种。
这些几何变换不仅可以帮助我们理解和描述图形的变化，还在实际生活和各行各业中有着广泛的应用。
本文将对初中数学知识中的几何变换及其应用进行归纳总结。
一、平移变换的应用平移变换是指将一个图形沿着同一方向上的直线运动，并保持其大小和形状不变。
在实际应用中，平移变换经常用于描述物体的位置变化和路径规划等问题。
例如，在城市规划中，为了使交通更加便捷，我们需要将道路进行平移，以便打通交通瓶颈。
在此过程中，我们需要准确计算平移的距离和方向，确保道路的位置变化合理。
另外，在日常生活中，我们也可以运用平移变换解决一些问题。
比如，在设计家居布局时，我们可以通过平移变换将家具摆放在合适的位置，以满足生活的需求。
二、旋转变换的应用旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点旋转一定角度，并保持其大小和形状不变。
在几何变换中，旋转变换是一种常见且重要的变换方式，其应用广泛。
举个例子，在航空航天领域，飞机的起飞和着陆过程中会采用旋转变换。
当飞机起飞时，经过旋转变换，使得飞机的机头朝上，以便获得升力。
同样地，当飞机着陆时，也需要通过旋转变换来平稳地降落。
此外，旋转变换还可以应用于建筑设计、机械工程和艺术创作等领域。
在建筑设计中，通过对建筑物进行旋转变换，可以改变建筑物的朝向和视角，增加建筑物的美感和实用性。
三、翻折变换的应用翻折变换是指将一个图形沿着一条直线翻转，并保持其大小和形状不变。
翻折变换也被广泛应用于数学和实际生活中。
举个例子，在纸牌游戏中，我们经常会翻折纸牌来完成洗牌或发牌的过程。
通过翻折变换，可以改变纸牌的顺序，并使洗牌和发牌过程更加随机。
此外，在制作对称图案和装饰品时，翻折变换也很常见。
通过翻折变换，我们可以将一半的图案复制到另一半，从而快速制作出对称美观的图案和装饰品。
四、对称变换的应用对称变换是指将一个图形关于某个中心点对称，使得图形的两侧完全一致。
几何形的旋转了解形的旋转变换及其性质
几何形的旋转了解形的旋转变换及其性质几何形的旋转：了解形的旋转变换及其性质几何学是一门研究形状、大小和相对位置关系的学科。
其中，形的旋转变换是一种常见的变换方式，通过对几何形进行旋转来达到不同的目的。
本文将介绍形的旋转变换以及它的性质。
1. 形的旋转变换概述形的旋转变换是指将一个几何形绕着一个点作圆周运动，保持其大小、形状和方向不变。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况。
旋转中心可以是任意点，被旋转的几何形叫做原形，旋转后的几何形称为像形。
2. 旋转的基本性质（1）保角性质：旋转变换不改变角的大小。
（2）保持距离性质：旋转变换保持原始形与新形之间的线段长度不变。
（3）保直线性质：旋转变换保持原始形与新形之间的直线仍然是直线。
3. 旋转的角度与方向几何形的旋转可以通过角度来衡量。
顺时针旋转的角度为正，逆时针旋转的角度为负。
旋转角度可以是任意实数，也可以是特定的角度如90°、180°等。
不同的旋转角度会带来不同的效果和形状变化。
4. 旋转的中心旋转的中心可以是形状自身的一个点，也可以是外部指定的一点。
对于正多边形，旋转中心通常是形状的中心点，而对于任意多边形，则可以选择不同的旋转中心，从而得到不同的旋转变换。
5. 旋转的应用旋转变换在现实生活中有许多应用。
比如，地球绕着自转轴旋转，产生白昼和黑夜交替；风车的叶片沿着中心旋转，产生动力；艺术家可以运用旋转变换创作出绚丽多彩的图案等等。
6. 旋转的组合变换旋转变换可以与其他几何变换如平移、缩放和镜像等进行组合，得到更加复杂的变换效果。
通过适当选择变换的顺序和参数，可以实现多样化的几何形变。
7. 旋转的数学表示旋转变换可以通过矩阵乘法来表示。
对于二维空间中以原点为中心旋转的变换，可以使用如下的矩阵表示：[cosθ -sinθ][sinθ cosθ]其中θ表示旋转的角度，cosθ和sinθ分别为旋转角度θ的余弦和正弦值。
通过矩阵乘法，可以将原始形的坐标与旋转矩阵相乘，得到旋转后形的坐标。
几何形的旋转与相似
几何形的旋转与相似几何形的旋转与相似是几何学中的基本概念，它们在许多数学问题和实际应用中都起着重要的作用。
本文将介绍几何形的旋转和相似的定义、性质以及常见的应用。
1. 旋转旋转是指围绕某一点进行旋转操作，使得原有的图形按照一定的角度和方向进行移动。
我们可以通过几何运算的方式来描述旋转变换。
设有一点O为旋转中心，角度为θ，若点P相对于点O的旋转变换后的位置为P'，则P'可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)为点P的坐标，(x', y')为点P'的坐标。
旋转变换可以将图形绕某一中心进行旋转，保持图形的形状和大小不变。
在实际应用中，旋转变换常被用于计算机图像处理、航空航天等领域。
2. 相似相似是指两个图形在形状上相似，但大小可以不同。
具体而言，若两个图形的对应角度相等，则称它们为相似图形。
对于平面图形，我们可以通过比较它们的对应边长的比值来判断是否相似。
设有两个相似图形A和B，分别具有对应边长a和b，若它们的对应边长比值为k，则可以得到以下公式：k = a / b根据相似的定义，我们可以推导出相似图形之间的性质。
例如，相似三角形的对应角度相等，对应边长成比例，面积成比例等。
相似性是几何形变换中的重要概念，它在图像压缩、模型放大缩小等领域有着广泛的应用。
3. 应用案例几何形的旋转与相似在实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中一些常见的应用案例：3.1 建筑设计在建筑设计中，旋转和相似变换被广泛运用于建筑物的设计和布局。
设计师可以利用旋转变换来调整建筑物的方向、空间布局等，以实现更好的设计效果。
同时，相似变换也被用于模型的缩放和变形，帮助设计师更好地进行建筑规划。
3.2 机器人技术在机器人技术中，旋转变换被用于控制和定位机器人的运动。
通过旋转变换，机器人可以精确地调整自身的方向和位置，实现更准确的目标定位和路径规划。
旋转的性质及应用
例2、在四边形 、在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°， 中 ， ∠ ° BE⊥AD于点 ，四边形 于点E，四边形ABCD的面积为 ，求BE的长 的面积为4， ⊥ 于点 的面积为 的长
解： 点逆时针旋转90° 将△BAE绕B点逆时针旋转 °， 绕 点逆时针旋转 得△BCE′ ∴ △BAE ≌ △BCE
B E′ B
C
F
C
A
E
D
A
E 试试自己写过程，相 信你一定行
D
（变式）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°， 变式）在四边形 中 ∠ ° AB=AD,AC=1,∠ACD=60°，则四边形 ∠ ° 则四边形ABCD 3 的面积为 。
4
A
B D B′
C
如图： 三点共线，已知AB=AD AB=AD， 如图：A、C、E三点共线，已知AB=AD， ACB=∠ACD，求证： ∠ACB=∠ACD，求证：BC=DC
C F
∵BC∥DF ∴ ∠DFE= ∠ CBE ∵ ∠A+ ∠ABE=90° ∠ABE+ ∠CBE =90° ° ° D A ∴ ∠A=A∠DFEE ∴ △ABE≌△FDE ≌ AE=a 设BE=x 则 （x-a）x+ax=4 ） x=2 ∴
E
D
(法三)
在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°， 在四边形 中 ， ∠ ° BE⊥AD于点 ，四边形 于点E，四边形ABCD的面积为 ，求BE的长 的面积为4， ⊥ 于点 的面积为 的长
祝各位专家、同仁每天都快快乐乐！ 祝各位专家、同仁每天都快快乐乐！
B E′
∵ ∠ABC=∠CDA=90°，∴∠ ∠BCD=180° ∠ ° ∴∠A+∠ ° +∠BCD=180° D、C、E′三点共线 即∠BCE′+∠BCD=180° ∴D、C、E′三点共线
例说旋转变换在几何证明中的运用.doc
细说旋转变换在儿何证明中的运用将平面图形绕某一点旋转一定角度，到另一个新位置，这种图形变换称之为旋转变换。
它能使某些线段或角相对集中，为解决问题带来极大的方.便。
下面略举几例说明它在几何中的运用。
1、如图：E为等边三角形ABD的BD边上一点，是AE延长线上一动点，问ZBCD等于多少度时，有CD+BC=AC. A2、如图：ZABC=30°, ZADC=60°, AD=CD。
求证：BD1 =AB l + BC3、在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°, P为形内一点，且PB=1,PC=2,PA=3, 求：ZBPC的度数。
-4、已知点E,F 在正方形ABCD 的边BC、CD±, _1ZDAF=ZEAF, 求证：DF+BE=AEo6、如图，E 、F 为AABC 中BC 边的三等分点，BM 是AC 边的中线, AE 、AF 分 BM 为 x 、y 、z 三部分,(x>y>z)，求 x ： y ： z 。
5、如图，在五.边形 ABCDE 中，AB=AE,BC+DE=CD, ZBAE=ZBCD=120°,ZABC+ZAED=180°,求证：AD 平分NCDE 。
7、在左ABC +，ZA=20°,AB=AC, ZDBC=50° ZECB=60°, 求 ZDECoBABAED旋转及旋转变换1.如图，王虎使一长为4cm,宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为人T A T A?,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，2.（2003黄冈市）如图4-4-10,把直角△▲成的斜边AB放在定宜线1上，按顺时针的方向在直线1上转动两次，使它转到△ABG的位:置，设氐=BBC=1,则顶点A运动到点的位置时，点A所经过的路线与直线1围成的面积为 __________________________ ・3.如图：巳知△A8C中，AB = AC , ABAC= 90°,面fi A EPF的顶点P是B。
探索几何变换了解平移旋转和翻转的基本概念和性质
探索几何变换了解平移旋转和翻转的基本概念和性质几何变换可以通过平移、旋转和翻转来实现。
这些基本概念和性质在几何学中扮演着重要的角色。
本文将探索平移、旋转和翻转的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、平移平移是一种几何变换，通过将对象沿着一条直线上的固定距离移动，来改变它们的位置。
平移可以分为平面平移和空间平移两种情况。
1. 平面平移平面平移是指将对象在平面上按照一定方向和距离移动，而形状和大小保持不变。
例如，将一个图形沿着x轴正向平移5个单位，那么每个点的新坐标将是原坐标加上5。
平面平移是可逆的，即可以通过将对象返回原位置来还原。
2. 空间平移空间平移是指将对象在三维空间中按照一定方向和距离移动，而形状和大小保持不变。
与平面平移类似，空间平移同样可以通过将对象返回原位置来还原。
平移的性质：a) 平移不改变对象的形状、大小和方向；b) 平移保持对象内部的距离和夹角不变；c) 平移是可结合的，即多次平移后的结果与单次平移的结果相同。
二、旋转旋转是通过围绕一个中心点将对象按一定角度进行转动的几何变换。
旋转可以分为平面旋转和空间旋转两种情况。
1. 平面旋转平面旋转是指将对象沿着平面内的一条线旋转一定角度，而形状和大小保持不变。
旋转可以按顺时针或逆时针方向进行。
旋转结果可以通过一系列坐标变换公式来计算。
2. 空间旋转空间旋转是指将对象绕着空间中的一条轴线旋转一定角度，而形状和大小保持不变。
例如，绕着x轴旋转90度，相当于将对象沿着平面旋转90度。
旋转的性质：a) 旋转不改变对象的形状、大小和位置；b) 旋转保持对象内部的距离和夹角不变；c) 旋转是可结合的，即多次旋转后的结果与单次旋转的结果相同。
三、翻转翻转是通过镜像对称来改变对象的位置和形状。
翻转可以分为平面翻转和空间翻转两种情况。
1. 平面翻转平面翻转是指将对象沿着平面内的一条直线进行对称，使得对象的两个部分镜像对称。
例如，关于y轴对称将对象进行翻转。
中考数学旋转知识点总结
中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。
在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。
2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。
最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。
3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。
这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。
二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。
对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。
2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。
旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。
三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。
通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。
2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。
向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。
3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。
通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。
四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。
通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。
2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。
通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。
3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。
平面向量的平移与旋转变换何表示及应用
平面向量的平移与旋转变换何表示及应用平面向量是数学中具有大小和方向的量，常用于描述平面上的几何关系和运动变换。
在平面几何中，平移和旋转是常见的变换方式。
本文将探讨平面向量的平移和旋转变换如何表示，并介绍它们的应用。
一、平面向量的平移表示平面向量的平移表示是指将一个向量沿着某个方向平移一定的距离。
假设有一个向量AB，我们将其平移至点C，则平移向量可表示为AC。
平移向量的表示方法有两种常用的形式：1. 基于坐标的表示方法采用坐标表示时，平移向量的坐标表示为(x2-x1, y2-y1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别为初始向量AB的坐标和平移后的向量AC的坐标。
2. 基于向量的表示方法采用向量表示时，平移向量的表示为向量AC，其中A和C为平面上的两个点。
平面向量的平移变换应用广泛，常见的应用场景包括：1. 地图标注在地图上标注点或线段时，往往需要对向量进行平移变换。
通过对地图上的向量进行平移，可以将点或线段移动到合适的位置。
2. 机器人路径规划在机器人路径规划中，需要将机器人当前位置进行平移，以确定机器人下一步的位置。
通过平移向量的计算，可以实现机器人的定位和运动。
3. 图形设计在图形设计中，平移变换可以用于创建缩放、旋转和平移图形等操作。
通过对向量进行平移，可以实现图形的位置调整和布局设计。
二、平面向量的旋转表示平面向量的旋转表示是指将一个向量绕某个点进行旋转一定的角度。
假设有一个向量AB，我们将其绕点O逆时针旋转θ度，则旋转向量可表示为AO'。
旋转向量的表示方法有两种常用的形式：1. 基于坐标的表示方法采用坐标表示时，旋转向量的坐标表示需要通过坐标变换的方式进行计算。
具体计算过程涉及到向量的旋转矩阵运算，超出本文的范围。
2. 基于向量的表示方法采用向量表示时，旋转向量的表示为向量AO'，其中A和O'为平面上的两个点。
平面向量的旋转变换在许多领域都有应用，包括：1. 三维建模在三维建模中，经常需要对物体进行旋转变换，以实现不同角度的观察和呈现效果。
第二节 旋转变换的应用
第二节 旋转变换的应用一、课标导航二、核心纲要1.旋转变换的基本性质①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等． ②对应边所夹的角等于旋转角． 2.常见的几种基本旋转图形3.常见的添加辅助线的方法旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集 中，以便于条件的综合与推演．常用的方法有：(1)图形中出现等边三角形、等腰直角三角形和正方形，通常旋转.90600或(2)图形中有线段的中点，通常旋转.180(3)图形中出现有公共端点且相等的线段，通常旋转夹角的度数． (4)共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形，通常考虑旋转． 本节重点讲解：一个性质、常用基本图形、常用的辅助线.三、全能突破基 础 演 练1．若点A 的坐标为(6，3)，0为坐标原点，将OA 绕点0按顺时针方向旋转90得到,/OA 则点/A 的坐标是( )．)6,3.(-A )6,3.(-B )6,3.(--C )6,3.(D2．如图23-2-1所示，等腰直角三角形ABC 中，O a AB B ,,90==∠为AC 中点，E0⊥0F ．则=+BF BE，四边形BEOF 的面积为3．(1)如图23-2-2所示，在四边形ABCD 中，,,90AD AB BCD BAD ==∠=∠ 若四边形ABCD 的面积 是.242cm 则AC 长是 cm.(2)如图23-2-3所示，在四边形ABCD 中．AB DP CD AD ABC ADC o ⊥==∠=∠,,90于点P ，若四边形ABCD 的面积是49，则DP 的长为4．(1)如图23-2-4(a)所示，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，连接AD 、BE 相交于点P ，求证：.AD BE = (2)如图23-2-4(b)所示，在△BCD 中，,120<∠BCD 分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，连接AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）．60=∠=∠=∠∠=∠==CPA EPC DPE ADC BEC CF BE AD ③②①(3)如图23-2-4(b)所示，在(2)的条件下，求证：.BE PD PC PB =++5．阅读下列材料：问题：如图23-2-5(a)所示，已知点P 为等边△ABC 内一点，且,150=∠APB 试探究线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系.明明同学的想法是：问题中的线段比较分散，可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起，从而解决问题，于是他将△ABP 绕点B 顺时针旋转,60 得到了,/CBP ∆然后连接./PP请你参考明明同学的思路，解决下列问题：(1)图23-2-5(b)中的PA 、PB 、PC 之间的数量关系为(2)如图23-2-5(c)所示，点P 在等边△ABC 的外部（在直线AB 左侧），满足,30=∠APB (1)中的结论仍成立吗？说明你的理由．(3)如图23-2-5(d)所示，点P 在等边△ABC 的外部（在直线BC 下方），满足,120 =∠BPC 请探究线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系，并证明你的结论．(4)如图23-2-5(e)所示，点P 在等边△ABC 的外部（在直线BC 下方），满足,120=/∠BPC (3)中的结论仍成立吗？请直接写出PA 、PB 、PC 之间的数量关系，不用证明，能 力 提 升6．如图23-2-6所示，0是正△ABC 内一点，,5,4,3===OC OB OA 将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转o60得到线段,/BO 下列结论：A BO /∆①可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60得到；②点0与/O的距离为4；;150 =∠AOB ③;336S /+=AOBO 四边形④⋅+=+∆∆4396OC AOB A s s ⑤其中正确的结论是( )．A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③7．在等边△ABC 中，P 为BC 边上一点，则以AP 、BP 、CP 为边组成的新三角形的最大内角为θ，则( )．90.≥θA 120.≤θB 120.=θC o D 135.=θ8．如图23-2-7所示，等腰直角三角形ABC 中，O a AB B ,,90==∠ 为AC 中点，,45=∠EOF 则△BEF 的周长为9．如图23-2-8所示，在△ABC 中，,22,90===∠AC AB BAC o 点D 是直线BC 上一点，,1=BD 将射线AD 绕点A 逆时针旋转45得到射线AE ，交直线BC 于点E ，则=DE10.如图23-2-9所示，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分∠BAF 交BC 边于点E. (1)求证：.BE DF AF += (2)设ABE ADF x x DF ∆∆≤≤=与),10(的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．11．(1)如图23-2-10(a)所示，点P 为正三角形ABC 内一点，且满足,5,3,4===PC PB PA 则=∠APB(2)如图23-2-10(b)所示，点P 为正方形ABCD 内一点，且满足BPC PC PB PA ∠===或,1,2,5的度数和正方形的边长．(3)如图23-2-10(c)所示，点P 为正六边形ABCD 内一点，且满足,1,2,13===PC PB PA 请直接写出∠BPC 的度数及正六边形的边长．12.已知：,4,2==BD AD 以AB 为一边作等边三角形ABC.使C 、D 两点落在直线AB 的两侧． (1)如图23-2-11所示，当60=∠ADB 时，求AB 及CD 的长．(2)当∠ADB 变化，且其他条件不变时，求CD 的最大值及相应∠ADB 的大小．13．在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，,AB AE =过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得,EAB EGB ∠=∠连接AG.(1)如图23-2-12(a)所示，当EF 与AB 相交时，若,60=∠EAB 求证：.BG AG EG +=(2)如图23-2-12(b)所示，当EF 与CD 相交时，且,90=∠EAB 请你写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论．(3)当EF 与AB 相交时，若,120=∠EAB 请你直接写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系．14．在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F.(1)在图23-2-13(a)中，证明：.CF CE =(2)若G ABC ,90 =∠是EF 的中点(如图23-2-13(b)所示），直接写出∠BDG 的度数．(3)若,,//,120CE FG CE FG ABC ==∠ 分别连接DB 、DG(如图23-2-13 (c)所示），求∠BDG 的度数．15.如图23-2-14(a)所示，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若,45 =∠MBN 易证：=MN.CN AM +(1)如图23-2-14(b)所示，在梯形ABCD 中，,,//CD BC AB AD BC ==点M 、N 分别在AD 、CD 上，若,21ABC MBN ∠=∠试探究线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． (2)如图23-2-14(c)所示，在四边形ABCD 中，,180,=∠+∠=ADC ABC BC AB 点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若,21ABC MBN ∠=∠试探究线段MN 、AM 、CN 又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．16.若点P 为△ABC 所在平面上一点，且,120=∠=∠=∠CPA BPC APB 则点P 叫做△ABC 的费马点,如图23 -2 -15所示，在锐角△ABC 的外侧作等边,/ACB ∆连接./BB 求证：/BB 过△ABC 的费马点P ，且PB PA BB +=/.PC +17.阅读下面材料：小雨遇到这样一个问题：如图23-2-16 (a)所示，直线21321,////l l l l l 与之间的距离是32,1l l 与之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC ，使三个顶点分别在直线321l l l 、、上，并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积.小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质 尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图23-2-16(b)所示：在直线1l 任取一点A ，作2l AD ⊥于点D ，作,90 =∠DAH 在AH 上截取,AD AE =过点E 作3l AE EB 交⊥于点B ，连接 AB ，作,90o BAC =∠交直线2l 于点C ，连接BC ，即可得到等腰直角三角形ABC. 请你回答：图23-2-16(b)中等腰直角三角形ABC 的面积等于 参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图23-2-16(c)所示，直线21321,////l l l l l 与之间的距离是32,2l l 与之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC ，使三个顶点分别在直线321l l l 、、上，并直接写出所画等边三角形ABC 的面积（保留画图痕迹）．18.请阅读下列材料：问题：如图23-2-17(a)所示，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC.若,600=∠=∠BEF ABC 探究PG 与PC 的位置关系及PCPG的值. 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： (1)写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG的值． (2)将图23-2-17(a)中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图23-2-17 (b)所示）．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．中 考 链 接19．（2012．四川绵阳）如图23 -2 -18所示，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90到,/BP 已知,3:1:,135///==∠C P A P B AP 则=PB A P :/( )．2:1.A 2:1.B 2:3.C 3:1.D20．（2013．北京）在△ABC 中，),600(, <<=∠=ααBAC AC AB 将线段BC 绕点B 逆时针旋转60得到线段BD ．(1)如图23-2-19(a)所示，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）．(2)如图23-2-19 (b)所示，,60,150 =∠=∠ABE BCE 判断△ABE 的形状并加以证明． (3)在(2)的条件下，连接DE ，若,45 =∠DEC 求α的值.巅 峰 突 破21．已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为,62+求此正方形的边长.。
二次函数旋转一定角度后等效
二次函数旋转一定角度后等效
当我们谈论二次函数旋转时，通常是指将原始的二次函数图像
绕原点进行旋转，使得旋转后的二次函数图像在坐标系中的位置和
形状发生变化，但其数学性质保持不变。
这个过程可以通过代数和
几何的方法来理解。
首先，让我们考虑一般的二次函数方程，y = ax^2 + bx + c，
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
我们希望将这个二次函数图
像绕原点逆时针旋转θ度。
这个旋转后的二次函数方程可以表示为，y' = A(x h)^2 + k，其中A、h、k为新的常数，使得旋转后的图像
在坐标系中的位置和形状发生变化，但其数学性质保持不变。
我们可以通过以下步骤来求解旋转后的二次函数方程：
1. 首先，我们需要确定旋转后的二次函数的顶点坐标。
顶点坐
标的变换公式为(h, k) = (h', k') = (hcosθ ksinθ, hsinθ + kcosθ)，其中(h', k')为旋转后的顶点坐标，(h, k)为原始二次函
数的顶点坐标。
2. 其次，我们需要确定旋转后的二次函数的系数A。
系数A的
计算公式为 A = a/cos^2θ，其中a为原始二次函数的二次项系数。
3. 最后，我们可以得到旋转后的二次函数方程y' = A(x h)^2 + k。
通过以上步骤，我们可以得到旋转后的二次函数方程。
这个新
的二次函数方程描述了旋转后的二次函数图像在坐标系中的位置和
形状，但其数学性质保持不变。
这种方法可以帮助我们理解二次函
数的旋转及其数学性质的变化。
旋转变换的应用
旋转变换的应用旋转是几何三大变换之一，通过旋转，有利于把分散的几何条件集中在一起，然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题迎刃而解. 一、求角度 分散线段集中化例1如图2，P 是等边△ABC 内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数。
分析：考虑到以3、4、5为边的三角形是直角三角形，故设法构造以3、4、5为三边的三角形，由于3、4、5三条线段较分散，能否把它们集中成为某个三角形的边是问题解决的关键。
考虑到三角形ABC 是等边三角形，利用旋转变换是最好的手段之一，以点B 为旋转中心，将△BAP 绕点B 逆时针旋转60°，则由BA =BC ，∠ABC =60°可知旋转后BA 与BC 重合，设点P 落在点Q 处，连结PQ ，则由BP =BQ ，∠PBQ =60°得△PBQ 是等边三角形，所以PQ =PB =4，又QC =P A =3，PC =5，所以△PCQ 是直角三角形，且∠PQC =90°，又∠PQB =60°，所以∠CQB =150°，而△QCB 是△P AB 旋转得到的，所以∠APB =∠CQB =150°。
例2如图3,已知P 是等边△ABC 内一点，∠APB =140°，∠APC =130°，求以P A 、PB 、PC 为三边的三角形的各个内角的度数.分析:求解的关键是构造以P A 、PB 、PC 为三边的三角形,而构造的关键是对P A 、PB 、PC 的位置进行变换,注意到BA =BC , ∠ABC =60°,故考虑将△BAP 绕点B 旋转60°,可得△BCQ ,此时P A =QC ,PB =QB ,这相当于把P A 、PB 分别变换到QC 、QB ,易知△BPQ 是等边三角形,从而QB =PQ ,这样,以P A 、PB 、PC 为边的三角形就是△PQC .在△PQC 中, ∠PQC =∠BQC -60°=140°-60°=80°, ∠QPC =∠BPQ -60°=(360°-140°-130°)-60°=30°, ∠PCQ =180°-80°-30°=70°.例3如图（4-1），在ΔABC 中，∠ACB =900，BC =AC ，P 为ΔABC内一点，且P A =3，PB =1，PC =2。
例说旋转变换在几何证明中的运用
例说旋转变换在几何证明中的运用细说旋转变换在几何证明中的运用将平面图形绕某一点旋转一定角度，到另一个新位置，这种图形变换称之为旋转变换。
它能使某些线段或角相对集中，为解决问题带来极大的方便。
下面略举几例说明它在几何中的运用。
1、如图：E 为等边三角形ABD 的BD 边上一点，是AE 延长线上一动点，问∠BCD 等于多少度时，有CD+BC=AC.2、如图：∠ABC=30O ，∠ADC=600，AD=CD 。
求证： 222BC AB BD +=3、在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=900，P 为形内一点，且PB=1,PC=2,PA=3, 求：∠BPC 的度数。
4、已知点E,F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且∠DAF=∠EAF,求证：DF+BE=AE 。
5、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD, ∠BAE=∠BCD=1200,∠ABC+∠AED=1800,求证：AD平分∠CDE。
6、如图，E、F为△ABC中BC边的三等分点，BM是AC边的中线，AE、AF分BM为x、y、z三部分，（x＞y＞z）,求x：y：z。
7、在△ABC中，∠A=200,AB=AC, ∠DBC=500∠ECB=600,求∠DEC。
旋转及旋转变换1.如图，王虎使一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A 位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为（）A ．10cm B ．4cm π C ．7cm π D ．5cm2.（2003 黄冈市）如图4－4－10，把直角△ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AC=3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线与直线l 围成的面积为________．3.如图：已知A B C △中，A B A C =，90BAC =∠，直角EPF ∠的顶点P 是B C 中点，两边P E ，PF 分别交AB ，A C 于点E ，F ，给出以下五个结论：①A E C F =②A P E C P F =∠∠③E PF △是等腰直角三角形④E F A P =⑤12A B C A E P F S S =△四边形．当EPF ∠在A B C △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有．4. 如图，直线y=3-x +2与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ．将△ AOB 绕点O 按顺时针方向旋转α角(0°<α≤360°)，可得△COD.(1)求点A ，B 的坐标；(2)当α=30° (如图2)，CD 与OA ，AB 分别相交于点P ，M ，OD 与AB 相交于点N ，试求△COD 与△AOB 的重叠部分 (即四边形OPMN)的面积．CB AABC C 31图4－4－10lCP5. 如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）（图1）（图2）（图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。