空间向量的正交分解及其坐标表示
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OP xOA yOB zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
如果基向量 e1 、e2 、e3 是空间三个两两垂直的 单位向量,那么对空间任一向量 p ,存在一个有序实
数组x, y, z 使得 p xe1 ye2 ze3 .这种分解叫做
空间向量的单位正交分解.
其中 xe1、ye2、ze3 分别叫做 p 在 e1、e2、e3 方向 上的分向量.
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则顶点 D 的坐标为__(1_,_-1_,_2_)_______; ⑵ Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C( x, 0,1) ,则 x _2___;
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
P1(1, 1, 1)
P2 (1,1, 1)
(1,1,1)
空间对称点
z
(1,1,1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP(1,1,1)
o
y
x
(1,1,1)
对称点
❖ 一般的P(x , y , z) 关于：
❖ （1）x轴对称的点P1为__(_x_, __y_,__z_); ❖ （2）y轴对称的点P2为__(__x_, _y_, __z_); ❖ （3）z轴对称的点P3为__(__x_, __y_,_z_); ❖ （4）原点对称的点P4为_(__x_,__y_,__z)_;
注：空间任意三个不共面向量都是空间的一个基底
例1、{a, b, c} 是空间的一组基底， 则下面哪些可以做基底？
(1){a, b, a b}, (2){a, b, b c}, (3){a b, b c, c a}, (4){a, a b, b c}, (5){a b, b c, a b c}
对称点
❖ 一般的P(x , y , z) 关于： ❖ （1）xoy平面对称的点P1为__(_x_,_y_,___z_); ❖ （2）xoz平面对称的点P2为__(_x_,__y_,_z_)_;
❖ （3）yoz平面对称的点P3为__(__x_,_y__, z_)_;
空间向量运算的坐标规律:
设a (a1,a2,a3 ),b (b1,b2,b3 ) , 则
向量坐标与起点终点坐标有什么关系？
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) ，则
OA ( x1, y1, z1)
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 特别地，当起点为原点时，向量坐标即为终点坐标
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
例1 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
D1F1
A1B1 ，求
4
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值.
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a (a1, a2 , a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量)
空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,
存在唯一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc
a, b,c 叫做空间的一个基底
a, b, c 叫做基向量. 注：空间任意三个不共面向量都是空间的一个基底
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
练习 2: ⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1, 6),C(1, 1, 5), 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 钝角，则 x 的取值范围为 (1, 5 ) .
2
以 e1 、e2 、e3 的 公 共 起 点 O 为 原 点 ， 分 别 以
e1 、e2 、e3 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立
空间直角坐标系 Oxyz,那么
z
za
e3
e1 O e2
y
e3 e1 O e2
A( x, y, z)
y
x p xe1 ye2 ze3 = ( x, y, z) 空x间向量的坐标表示 思考：向量坐标是否就是终点坐标？
解：设正方体的棱长为4， 如图建立空间直角坐系
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
D
O
A
x
C B
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别 是 BB1 ， D1B1 中点，求证： EF DA1
练习 1
⑴已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0,2) ,
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面。
如果基向量 e1 、e2 、e3 是空间三个两两垂直的 单位向量,那么对空间任一向量 p ,存在一个有序实
数组x, y, z 使得 p xe1 ye2 ze3 .这种分解叫做
空间向量的单位正交分解.
其中 xe1、ye2、ze3 分别叫做 p 在 e1、e2、e3 方向 上的分向量.
3.中点坐标公式
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习1:已知
a
(2,3,5),
b
(3,1,4),
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
1.长度的计算 已知 a ( x, y, z) ,则 a x2 y2 z2
2.角度的计算
已知 a ( x1, y1, z1) , b ( x2, y2, z2 )
则 cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
则顶点 D 的坐标为__(1_,_-1_,_2_)_______; ⑵ Rt△ABC 中, BAC 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C( x, 0,1) ,则 x _2___;
⑶已知 A(3, 5, 7) , B(2, 4, 3) ,则 AB 在坐标平面 yOz 上的射影的长度为__1__0_1__.
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
P1(1, 1, 1)
P2 (1,1, 1)
(1,1,1)
空间对称点
z
(1,1,1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP(1,1,1)
o
y
x
(1,1,1)
对称点
❖ 一般的P(x , y , z) 关于：
❖ （1）x轴对称的点P1为__(_x_, __y_,__z_); ❖ （2）y轴对称的点P2为__(__x_, _y_, __z_); ❖ （3）z轴对称的点P3为__(__x_, __y_,_z_); ❖ （4）原点对称的点P4为_(__x_,__y_,__z)_;
注：空间任意三个不共面向量都是空间的一个基底
例1、{a, b, c} 是空间的一组基底， 则下面哪些可以做基底？
(1){a, b, a b}, (2){a, b, b c}, (3){a b, b c, c a}, (4){a, a b, b c}, (5){a b, b c, a b c}
对称点
❖ 一般的P(x , y , z) 关于： ❖ （1）xoy平面对称的点P1为__(_x_,_y_,___z_); ❖ （2）xoz平面对称的点P2为__(_x_,__y_,_z_)_;
❖ （3）yoz平面对称的点P3为__(__x_,_y__, z_)_;
空间向量运算的坐标规律:
设a (a1,a2,a3 ),b (b1,b2,b3 ) , 则
向量坐标与起点终点坐标有什么关系？
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空间点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) ，则
OA ( x1, y1, z1)
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
注：空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 特别地，当起点为原点时，向量坐标即为终点坐标
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
例1 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
D1F1
A1B1 ，求
4
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值.
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a (a1, a2 , a3 )( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3
a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.(a,b都不是零向量)
空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,
存在唯一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc
a, b,c 叫做空间的一个基底
a, b, c 叫做基向量. 注：空间任意三个不共面向量都是空间的一个基底
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
练习 2: ⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1, 6),C(1, 1, 5), 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 钝角，则 x 的取值范围为 (1, 5 ) .
2
以 e1 、e2 、e3 的 公 共 起 点 O 为 原 点 ， 分 别 以
e1 、e2 、e3 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立
空间直角坐标系 Oxyz,那么
z
za
e3
e1 O e2
y
e3 e1 O e2
A( x, y, z)
y
x p xe1 ye2 ze3 = ( x, y, z) 空x间向量的坐标表示 思考：向量坐标是否就是终点坐标？
解：设正方体的棱长为4， 如图建立空间直角坐系
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
D
O
A
x
C B
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别 是 BB1 ， D1B1 中点，求证： EF DA1
练习 1
⑴已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0,2) ,