2022年四川省成都市青羊区数学九年级第一学期期末联考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，数轴上M ，N ，P ，Q 四点中，能表示3点的是（ ）
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q
2．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．抛物线()2
1515
y x =-
++，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标()5,1 B ．开口向上，顶点坐标()5,1 C ．开口向下，顶点坐标()5,1- D ．开口向上，顶点坐标()5,1-
4．抛物线y ＝x 2﹣4x+2不经过（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．由2
2y x =的图像经过平移得到函数()2
267y x =-+的图像说法正确的是（ ） A ．先向左平移6个单位长度，然后向上平移7个单位长度 B ．先向左平移6个单位长度，然后向下平移7个单位长度 C ．先向右平移6个单位长度，然后向上平移7个单位长度 D ．先向右平移6个单位长度，然后向下平移7个单位长度 6．如图，五边形ABCDE 内接于
O ，若35CAD ∠=︒，则B E ∠+∠的度数是（ ）
A ．210︒
B ．215︒
C ．235︒
D ．250
7．将y ＝﹣（x +4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（ ） A ．y ＝﹣2
B ．y ＝2
C ．y ＝﹣3
D ．y ＝3
8．二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图，则反比例函数y=a
x
与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．据路透社报道，中国华为技术有限公司推出新的服务器芯片组，此举正值中国努力提高芯片制造能力，并减少对进口芯片的严重依赖.华为技术部门还表示，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积
20.00000065mm .其中0.00000065用科学记数法表示为（ ）
A ．86.510-⨯
B ．76.510-⨯
C ．66.510-⨯
D ．76.510⨯
10．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
11．对于题目“如图，在ABC 中，90,4,3,ACB AC BC P ∠=︒==是AB 边上一动点，PD AC ⊥于点D ，点E 在点P 的右侧，且1PE =，连接CE ，P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动，在整个运动过程中，求阴影部分面积12S S +的大小变化的情况"甲的结果是先增大后减小，乙的结果是先减小后增大，其中（ ）
A ．甲的结果正确
B ．乙的结果正确
C ．甲、乙的结果都不正确，应是一直增大
D ．甲、乙的结果都不正确，应是一直减小 12．下图中，最能清楚地显示每组数据在总数中所占百分比的统计图是( )
A．B．
C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若x1，x2是一元二次方程2x2＋x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2＝____．
14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
15．已知一组数据：4，4，m，6，6的平均数是5，则这组数据的方差是______.
16．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是_____
17．如图，已知点A、B分别在反比例函数
1
y(x0)
x
=>，
4
y(x0)
x
=->的图象上，且OA OB
⊥，则OB
OA
的值
为______．
18．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋k2－1＝0有一个根为0，则k的值为________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝1．求证：无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）中的x和y满足下表：
x …﹣1 1 1 2 3 …
y … 3 1 ﹣1 1 m …
①观察上表可求得m的值为；
②试求出这个二次函数的解析式．
20．（8分）如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如A（2，1）、B（5，4）、C（1，8）都是格点．
（1）直接写出△ABC的面积；
（2）将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A1BC1，在网格中画出△A1BC1；
（3）在图中画出线段EF，使它同时满足以下条件：①点E在△ABC内；②点E，F都是格点；③EF三等分BC；④EF ＝41．请写出点E，F的坐标．
21．（8分）如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．
(1)以O点为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形；
(2)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出B，C，M的对应点B′，C′，M′的坐标．
22．（10分）工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；并且进价50件工艺品与销售40件工艺品的价钱相同．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少
元?
23．（10分）如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探
究）．
24．（10分）如图，在正方形网格上有ABC 以及一条线段DE .请你以DE 为一条边.以正方形网格的格点为顶点画一个DEF ，使得ABC 与DEF 相似，并求出这两个三角形的相似比.
25．（12分）如图，已知矩形ABCD 的边6AB =，4BC =，点P 、Q 分别是AB 、BC 边上的动点.
（1）连接AQ 、PQ ，以PQ 为直径的
O 交AQ 于点E .
①若点E 恰好是AQ 的中点，则QPB ∠与AQP ∠的数量关系是______； ②若3BE BQ ==，求BP 的长； （2）已知3AP =，1BQ =，
O 是以PQ 为弦的圆.
①若圆心O 恰好在CB 边的延长线上，求O 的半径：
②若
O 与矩形ABCD 的一边相切，求O 的半径.
26．根据广州市垃圾分类标准，将垃圾分为“厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾”四类．小明将分好类的两袋垃圾准确地投递到小区的分类垃圾桶里．请用列举法求小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分） 1、C
33.
3≈1.732，在1.5与2之间，
∴数轴上M，N，P，Q P．
故选：C
【点睛】
本题考查了在数轴上找表示无理数的点的方法，先求近似数再描点．
2、A
【分析】根据轴对称图形概念进行解答即可.
【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴;轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形叫做轴对称图形.
3、C
【分析】直接根据顶点式即可得出顶点坐标，根据a的正负即可判断开口方向．
【详解】∵
1
5
a=-，
∴抛物线开口向下，
由顶点式的表达式可知抛物线的顶点坐标为(5,1)
-，
∴抛物线开口向下，顶点坐标(5,1)
-
故选：C．
【点睛】
本题主要考查顶点式的抛物线的表达式，掌握a对开口方向的影响和顶点坐标的确定方法是解题的关键．4、C
【分析】求出抛物线的图象和x轴、y轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可．
【详解】解：y＝x2﹣4x+4﹣2＝（x﹣2）2﹣2，
即抛物线的顶点坐标是（2，﹣2），在第四象限；
当y＝0时，x2﹣4x+2＝0，解得：x＝2，
即与x轴的交点坐标是（0）和（20），都在x轴的正半轴上，
a ＝1＞0，抛物线的图象的开口向上，与y 轴的交点坐标是（0，2）， 即抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了求函数图像与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式再求顶点坐标 5、C
【分析】分别确定出两个抛物线的顶点坐标，再根据左减右加，上加下减确定平移方向即可得解． 【详解】解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0）， 抛物线y=2（x-6）2+1的顶点坐标为（6，1），
所以，先向右平移6个单位，再向上平移1个单位可以由抛物线y=2x 2平移得到抛物线y=2（x-6）2+1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移规律左减右加，上加下减解答是解题的关键． 6、B
【分析】利用圆内接四边形对角互补得到∠B+∠ADC=180°，∠E+∠ACD=180°，然后利用三角形内角和求出∠ADC +∠ACD=180°-∠CAD ，从而使问题得解.
【详解】解：由题意：∠B+∠ADC=180°，∠E+∠ACD=180° ∴∠B+∠ADC+∠E+∠ACD=360° 又∵35CAD ∠=︒
∴∠ADC +∠ACD=180°-∠CAD=180°-35°=145° ∴∠B+∠E+145°=360° ∴∠B+∠E=215︒ 故选：B 【点睛】
本题考查圆内接四边形对角互补和三角形内角和定理，掌握性质正确推理计算是本题的解题关键. 7、A
【分析】根据二次函数图象“左移x 加，右移x 减，上移c 加，下移c 减”的规律即可知平移后的解析式，进而可判断最值．
【详解】将y ＝﹣（x +4）1+1的图象向右平移1个单位，再向下平移3个单位， 所得图象的函数表达式是y ＝﹣（x +4﹣1）1+1﹣3，
即y ＝﹣（x +1）1﹣1，
所以其顶点坐标是（﹣1，﹣1）， 由于该函数图象开口方向向下， 所以，所得函数的最大值是﹣1． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移问题和最值问题，熟练掌握平移规律是解题关键． 8、C
【解析】根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象可知： 开口向上，a ＞1；对称轴大于1，2b
a
-＞1，b ＜1；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞1． ∵反比例函数中k ＝﹣a ＜1，
∴反比例函数图象在第二、四象限内； ∵一次函数y ＝bx ﹣c 中，b ＜1，﹣c ＜1， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限． 故选C ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论． 9、B
【分析】把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中10a ≤
<1∣∣，n 是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.
【详解】0.00000065=76.510-⨯, 故选：B. 【点睛】
此题考察科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，整数等于原数左起第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解. 10、D
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结
论．
【详解】解：①不共线的三点确定一个圆，故①表述不正确； ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②表述不正确； ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故③表述不正确； ④圆内接四边形对角互补，故④表述正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键． 11、B
【分析】设PD=x ，AB 边上的高为h ，求出AD 、h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】解：在Rt ABC 中，∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，
∴AB 5==， 设PD x =，AB 边上的高为h ，则12
5
AC BC h AB ⋅==. ∵//PD BC ， ∴ADP ACB ∽，
∴
==PD AD AP
BC AC AB
， ∴45
,33AD x PA x ==，
∴22121415122242333
(4)2()23235353210
S S x x x x x x +=⋅⋅+-⋅=-+
=-+， ∴当3
02
x <<时，12S S +的值随x 的增大而减小， 当
312
25
x ≤≤时，12S S +的值随x 的增大而增大， ∴乙的结果正确. 故选B. 【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积，勾股定理等知识，解题的关键是构建二次函数，学会利用二次函数的增减性解决问题，属于中考常考题型． 12、A
【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【详解】解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图．
故选：A ．
【点睛】
本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、12
- 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：根据题意得x 1+x 2═12b a -
=- 故答案为12-
． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a -
，x 1•x 2=c a ． 14、12
． 【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC ，所以tan ∠AED=tan ∠ABC=
12AC AB =． 故答案为：
12． 【点睛】
本题考查圆周角定理；锐角三角函数．
15、0.8
【分析】根据平均数是5，求m 值，再根据方差公式计算，方差公式为：2222121n S x x x x x x n （x 表示样本的平均数，n 表示样本数据的个数，S 2表示方差.）
【详解】解：∵4，4，m ，6，6的平均数是5，
∴4+4+m+6+6=5×5,
∴m=5,
∴这组数据为4，4，m ，6，6，
∴22222214545556565=0.85S ，
即这组数据的方差是0.8.
故答案为：0.8.
【点睛】
本题考查样本的平均数和方差的定义，掌握定义是解答此题的关键.
16、4
【解析】证明△BEF ∽△DAF ，得出EF=12AF ，EF=13AE ，由矩形的对称性得：AE=DE ，得出EF=13
DE ，设EF=x ，
则DE=3x ，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵点E 是边BC 的中点，
∴BE=12BC=12
AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴12
EF BE AF AD == ∴EF=
12
AF ， ∴EF=13AE ， ∵点E 是边BC 的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE ，
∴EF=
13
DE ，设EF=x ，则DE=3x ，
∴x ，
∴tan ∠BDE=EF
DF == 4
；
故答案为：
4
. 【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
17、2
【分析】作AC y ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到OAC 1S 2=，OBD S 2=，再证明Rt AOC ∽Rt OBD ，然后利用相似三角形的性质得到OA OB 的值，即可得出OB OA
． 【详解】解：作AC y ⊥轴于C ，BD y ⊥轴于D ，如图， 点A 、B 分别在反比例函数1y (x 0)x =>，4y (x 0)x
=->的图象上， OAC 11S 122
∴=⨯=， OBD 1S 422
=⨯-=， OA OB ⊥，
AOB 90∠∴=︒
AOC BOD 90∠∠∴+=︒， AOC DBO ∠∠∴=，
Rt AOC ∴∽Rt OBD ，
2AOC OBD 1S
OA 2()S OB 2∴
==， OA 1OB 2
∴=． OB 2OA
∴= 故答案为2．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数k y (k x
=
为常数，k 0)≠的图象是双曲线，图象上的点()x,y 的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．
18、－1
【解析】把x=0代入方程得k 2-1=0，解得k=1或k=-1，
而k-1≠0，
所以k=-1，
故答案为：-1．
三、解答题（共78分）
19、（2）证明见解析；（2）①3；②y＝（x﹣2）2﹣2．
【分析】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，即可求解；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，根据函数的对称轴知，m＝3，即可求解；
②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，将（2，2）代入上式并解得：a＝2，即可求解．
【详解】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，
故无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）①函数的对称轴为：x＝2，
根据函数的对称性可得，m＝3，
故答案为：3；
②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，
将（2，2）代入上式得：2＝a（2﹣2）2﹣2，解得：a＝2，
故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，此题中能读懂表格中的数值变化是解题的关键.
20、（1）12;（2）见解析;（3）E（2，4），F（7，8）.
【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可得到△A1BC1；
（3）利用平行线分线段成比例得到CF：BE=2，则EF三等分BC，然后写出E、F的坐标，根据勾股定理求出EF的
【详解】解：（1）△ABC的面积＝4×7﹣1
2
×7×1﹣
1
2
×3×3﹣
1
2
×4×4＝12；
（2）如图，△A1BC1为所作；
（3）如图，线段EF为所作，其中E点坐标为（2，4），F点坐标为（7，8），EF
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了勾股定理．
21、(1)如图所示见解析；(2)B′(－6，2)，C′(－4，－2)，M′(－2x，－2y)．
【解析】分析:(1)根据位似图形的性质:以某点为位似中心的两个图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比,且对应点的连线与位似中心在同一直线上,根据位似图形的性质和已知图形的各顶点和位似比,求出位似后的对应点,然后
再连接各点.
(2)根据位似图形的性质即可求解.
详解:(1)如图所示,
(2)如图所示:∵B,C两点的坐标分别为（3,-1）,（2,1）,新图与原图的相似比为2,
∴B′（-6,2）,C′（-4,-2）,
∵△OBC内部一点M的坐标为（x,y）,
∴对应点M′（-2x,-2y）.
点睛:本题主要考查作位似图形和位似图形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握作位似图形的方法和位似图形的性质.
22、（1）进价为180元，标价为1元，（2）当降价为10元时，获得最大利润为4900元．
【分析】（1）设工艺品每件的进价为x元，则根据题意可知标价为（x+45）元，根据进价50件工艺品与销售40件工艺品的价钱相同，列一元一次方程求解即可；
（2）设每件应降价a元出售，每天获得的利润为w元，根据题意可得w和a的函数关系，利用函数的性质求解即可．【详解】设每件工艺品的进价为x元，标价为（x+45）元，
根据题意，得：50x=40（x+45），
解得x=180，x+45=1．
答：该工艺品每件的进价180元，标价1元．
（2）设每件应降价a元出售，每天获得的利润为w元．
则w=（45-a）（100+4a）=-4（a-10）2+4900，
∴当a=10时，w最大=4900元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型是解题的关键．
23、（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC 和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；
（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．
试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC=，MP=|t+1|，PC=，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，
①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；
②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；
③当MP=PC 时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M （2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； 综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； （3）如图，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，
设E （x ，x 2﹣4x+3），则F （x ，﹣x+3），
∵0＜x ＜3，
∴EF=﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）=﹣x 2+3x ，
∴S △CBE =S △EFC +S △EFB =EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x 2+3x ）=﹣（x ﹣）2+，
∴当x=时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（，），
即当E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．
考点：二次函数综合题．
24、图见解析，ABC 与DEF 的相似比是12
. 【分析】可先选定BC 与DE 为对应边，对应边之比为1:2，据此来选定点F 的位置，相似比亦可得.
【详解】解：如图，ABC 与DEF 相似.
理由如下： 由勾股定理可求得，2AB =10AC =;22DF = ,DE=4,210EF =,
∴12AB BC AC DF DE EF ===, ∴ABC ∽DEF ，相似比是
12. 【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用网格得出三角形各边长度是解题关键．
25、（1）①2QPB AQP ∠=∠；②1.5；（2）①5；②53、2553
，35630、5. 【解析】（1）①根据直径所对的圆周角是直角判断△APQ 为等腰三角形，结合等腰三角形的两底角相等和圆周角定理证明；②证明△PBQ ∽△QBA ，由对应边成比例求解；
（2）①画出图形，由勾股定理列方程求解；②分
O 与矩形ABCD 的四边分别相切，画出图形，利用切线性质，由
勾股定理列方程求解.
【详解】解：（1）①如图，PQ 是直径，E 在圆上，
∴∠PEQ=90°，
∴PE ⊥AQ,
∵AE=EQ,
∴PA=PQ,
∴∠PAQ=∠PQA,
∴∠QPB=∠PAQ+∠PQA=2∠AQP,
∵∠QPB=2∠AQP. \
②解：如图，∵BE=BQ=3，
∴∠BEQ=∠BQE,
∵∠BEQ=∠BPQ,
∵∠PBQ=∠QBA,
∴△PBQ ∽△QBA,
∴BP BQ BQ BA
,
∴
3 36 BP
,
∴BP=1.5;
（2）①如图，BP=3，BQ=1，设半径OP=r,
在Rt△OPB中，根据勾股定理得，PB2+OB2=OP2
∴32+(r-1)2=r2，
∴r=5,
∴O的半径是5.
②如图，O与矩形ABCD的一边相切有4种情况，
如图1，当O与矩形ABCD边BC相切于点Q，过O作OK⊥AB于K,则四边形OKBQ为矩形，
设OP=OQ=r,则PK=3x,
由勾股定理得，r2=12+(3-r)2,
解得，r=5 3 ,
∴O半径为5 3 .
如图2，当O与矩形ABCD边AD相切于点N，延长NO交BC于L,则OL⊥BC,过P作PS⊥NL于S，设OS=x，则ON=OP=OQ=3+x，设PS=BL=y,
由勾股定理得，
222
222
3
331
x x y
x x y
，
解得
1
25 2
3
x （舍去），
2
25 2
3
x，
∴ON=
25 5
3
,
∴O 半径为
25 5
3
.
如图3，当O与矩形ABCD边CD相切于点M，延长MO交AB于R,则OR⊥AB,过O作OH⊥BC于H，设OH=BR=x，设HQ=y, 则OM=OP=OQ=4-1-y=3-y，
由勾股定理得，
222
222
3
331
y x y
y x y
，
解得
163032
x （舍去），
263032
x，
∴OM=35630,
∴O 半径为35630.
如图4，当O与矩形ABCD边AB相切于点P，过O作OG⊥BC于G,则四边形AFCG为矩形，设OF=CG=x，，则OP=OQ=x+4,
由勾股定理得(x+4)2=32+(x+3)2,
解得，x=1,
∴OP=5,
∴O半径为5.
综上所述，若O与矩形ABCD的一边相切，为O的半径5
3
，
25
5
3
，35630，5.
【点睛】
本题考查圆的相关性质，涉及圆周角定理，垂径定理，切线的性质等，综合性较强，利用分类思想画出对应图形，化繁为简是解答此题的关键.
26、见解析，1 6
【分析】首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】解：分别记厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其它垃圾为A、B、C、D，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的结果有2种，
所以小明投放的两袋垃圾是“厨余垃圾和有害垃圾”的概率为
2
12
＝
1
6
．
【点睛】
本题主要考查的是利用树状图求解概率，解此题需要正确的运用树状图，所以掌握树状图是解此题的关键.。