中考数学原创押题试卷(一)(含解析)

2016年河南省中考原创押题数学试卷（一）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．下面的数中，与﹣2的和为0的是（）
A． B．﹣C．2 D．﹣2
2．下列计算正确的是（）
A．2+4=6 B．=4 C．÷=3 D．=﹣3
3．发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是（）
A． B． C． D．
4．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
5．正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限
6．小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4
7．如果一组数据a1，a2，…，a n的方差是2，那么一组新数据2a1+1，2a2+1，…，2a n+1的方差是（）
A．2 B．3 C．4 D．8
8．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．
二、填空题：每小题3分，共21分
9．若实数a、b满足|3a﹣1|+b2=0，则a b的值为______．
10．请写出一个二元一次方程组______，使它的解是．
11．不等式组的非负整数解是______．
12．点动成线，线动成面，面动成体，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC 饶边AC所在的直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的表面积是______．
13．反比例函数的图象经过点P（a，b），其中a、b是一元二次方程x2+kx+4=0的两根，那么点P的坐标是______．
14．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．15．如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为______．
三、解答题：本大题共8小题，共75分
16．化简求值：，其中a=，b=．
17．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．
18．如图所示，小明在自家楼顶上的点A处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部B处的仰角为45°，底部C处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD=15米，求电梯楼的高度BC（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）
19．最近两年雾霾对我国北方大部分地区影响较严重，其中和越来越多的汽车尾气排放有极大的关系．据报道，历经一百天的调查研究，我市PM2.5的源解析已经通过专家论证，各种调查显示，机动车为PM2.5的最大来源，一辆车每行驶20千米平均向大气里排放0.035千克污染物，校环保志愿小分队从环保局了解到我市100天的空气质量等级情况，并制成统计图和表：
空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数（天）10a12825b
（1）表中a=______，b=______，图中严重污染部分对应的圆心角n=______；
（2）请你根据“2015年我市100天空气质量等级天数统计表”计算100天内重度污染和严重污染出现的概率共是多少？
（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每天平均出行25千米，已知我市2015年机动车保有量已突破200万辆，请你通过计算，估计2015年我市一天中出行的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？
20．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y=的图象经过D点．
（1）证明四边形ABCD为菱形；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）已知在y=的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．
21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
22．王老师在组织一次数学教学中，扁拟了如下问题串
【原题初探】
如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCD=S△ADE；
【变式猜想】
如图2所示，在已知锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA，OB于点M，N，小明在将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，试问当MN在什么位置时，△MON的面积最小
【拓展应用】
如图3所示，一块四边形土地OABC，其中OA边长60米，AB边长30米，C点到OA边的距离为45米，使用测角器测得∠AOC=45°，OA⊥AB，OC⊥BC，机井P距离OA，AB 均是20米，过机井P画一条分割线将这块地分成两块四边形地块（与四边形土地OABC）的一组对边相交），则其中以点O为顶点的四边形地块的最大面积为______．
23．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．
2016年河南省中考原创押题数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．下面的数中，与﹣2的和为0的是（）
A． B．﹣C．2 D．﹣2
【考点】相反数．
【分析】设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣2）=0，再解方程即可．【解答】解：设这个数为x，由题意得：
x+（﹣2）=0，
x﹣2=0，
x=2，
故选：C．
2．下列计算正确的是（）
A．2+4=6 B．=4 C．÷=3 D．=﹣3
【考点】实数的运算．
【分析】A、根据合并二次根式的法则即可判定；
B、根据二次根式的乘法法则即可判定；
C、根据二次根式的除法法则即可判定；
D、根据二次根式的性质即可判定．
【解答】解：A、2+4不是同类项不能合并，故A选项错误；
B、=2，故B选项错误；
C、÷=3，故C选项正确；
D、=3，故D选项错误．
故选：C．
3．发展工业是强国之梦的重要举措，如图所示零件的左视图是（）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是一个矩形平均分成2个，
故选：C．
4．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．
【解答】解：设平均每天涨x．
则90%（1+x）2=1，
即（1+x）2=，
故选B．
5．正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组即可得到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断．
【解答】解：解方程组得或，
所以正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点坐标为（1，6），（﹣1，﹣6）．故选：D．
6．小明是我校手工社团的一员，他在做折纸手工，如图所示在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC的中点，点F是边CD上的任意一点，△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】如图作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′与直线CD交于点F．此时△AEF 的周长最小．由CF∥AB，推出CF：AB=CE′：BE′=1：3，求出CF即可解决问题．
【解答】解：如图作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′与直线CD交于点F．此时△AEF的周长最小．
∵BE=EC=CE′=4，AB=CD=6，CF∥AB，
∴CF：AB=CE′：BE′=1：3，
∴CF=2，
∴DF=CD﹣CF=4．
故选D．
7．如果一组数据a1，a2，…，a n的方差是2，那么一组新数据2a1+1，2a2+1，…，2a n+1的方差是（）
A．2 B．3 C．4 D．8
【考点】方差．
【分析】设已知数据的平均数为，根据数据的方差列出关系式，进而求出新数据的平均数，得出方差即可．
【解答】解：∵一组数据a1，a2，…，a n的方差是2，平均数为，
∴S2= [（a1﹣）2+（a2﹣）2+…+（a n﹣）2]=2，
∵2a1+1，2a2+1，…，2a n+1的平均数为2+1，
∴S′2= [（2a1+1﹣2﹣1）2+（2a2+1﹣2﹣1）2+…+（2a n+1﹣2﹣1）2]=2×22=8，
故选：D
8．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
【解答】解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴=，
即=，
∴y=，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
二、填空题：每小题3分，共21分
9．若实数a、b满足|3a﹣1|+b2=0，则a b的值为 1 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式，根据任何非0数的0次幂等于1进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，3a﹣1=0，b=0，
解得a=，b=0，
a b=（）0=1．
故答案为：1．
10．请写出一个二元一次方程组此题答案不唯一，如：，使它的解是．
【考点】二元一次方程组的解．
【分析】根据二元一次方程解的定义，可知在求解时，应先围绕x=2，y=﹣1列一组算式，然后用x，y代换即可列不同的方程组．答案不唯一，符合题意即可．
【解答】解：此题答案不唯一，如：，
，
①+②得：2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①得：y=﹣1，
∴一个二元一次方程组的解为：．
故答案为：此题答案不唯一，如：．
11．不等式组的非负整数解是0 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．
【解答】解：由不等式1﹣x＞0得x＜1，
由不等式3x＞2x﹣4得x＞﹣4，
所以其解集为﹣4＜x＜1，
则不等式组的非负整数解是0．
故答案为：0．
12．点动成线，线动成面，面动成体，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC 饶边AC所在的直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的表面积是36πcm2．
【考点】圆锥的计算．
【分析】先利用勾股定理计算出AB=5，由于以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周所得的圆锥的底面圆的半径为4，母线长为5，则可利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算圆锥的侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥面积．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周所得的圆锥的底面圆的半径为4，母线长为5，
所以圆锥的全面积=π•42+•2π•4•5=36π（cm2）．
故答案为36πcm2．
13．反比例函数的图象经过点P（a，b），其中a、b是一元二次方程x2+kx+4=0的两根，那么点P的坐标是（﹣2，﹣2）．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；根与系数的关系．
【分析】先根据点P（a，b）是反比例函数的图象上的点，把点P的坐标代入解析式，得到关于a、b、k的等式ab=k；又因为a、b是一元二次方程x2+kx+4=0的两根，得到a+b=﹣k，ab=4，根据以上关系式求出a、b的值即可．
【解答】解：把点P（a，b）代入y=得，ab=k，
因为a、b是一元二次方程x2+kx+4=0的两根，根据根与系数的关系得：a+b=﹣k，ab=4，于是有：，解得，点P的坐标是（﹣2，﹣2）．
14．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，然后求解即可．
【解答】解：过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3，
得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：
0=（﹣6+3）2+h，
解得：h=﹣，
∴点P的坐标是（﹣3，﹣），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=|﹣3|×|﹣|=．
故答案为：．
15．如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为 2 ．
【考点】平移的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出
OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．
【解答】解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；
故答案为：2．
三、解答题：本大题共8小题，共75分
16．化简求值：，其中a=，b=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=÷=•=，
当a=，b=时，原式==﹣6．
17．如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
求证：（1）△APB≌△DPC；（2）∠BAP=2∠PAC．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）AP=AB，PB=PC，∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP，因此可证得两三角形全等．
（2）有（1）∠CAD=45°，△PAD为等边三角形，可求得∠BAP=30°∠PAC=∠PAD﹣∠CAD=15°，因此可证的结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠DCB﹣∠PCB，即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP﹣∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC﹣∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
18．如图所示，小明在自家楼顶上的点A处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部B处的仰角为45°，底部C处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD=15米，求电梯楼的高度BC（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°≈0.44，co s26°≈0.90，tan26°≈0.49）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】首先过点A作AE⊥BC于E，可得四边形ADCE是矩形，即可得CE=AD=15米，然后分别在Rt△ACE中，AE=与在Rt△ABE中，BE=AE•tan45°，即可求得BE的长，继而求得电梯楼的高度．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CE=AD=15米，
在Rt△ACE中，AE==≈30.6（米），
在Rt△ABE中，BE=AE•tan45°=30.6（米），
∴BC=CE+BE=15+30.6=45.6（米）．
答：电梯楼的高度BC为45.6米．
19．最近两年雾霾对我国北方大部分地区影响较严重，其中和越来越多的汽车尾气排放有极大的关系．据报道，历经一百天的调查研究，我市PM2.5的源解析已经通过专家论证，各种调查显示，机动车为PM2.5的最大来源，一辆车每行驶20千米平均向大气里排放0.035千克污染物，校环保志愿小分队从环保局了解到我市100天的空气质量等级情况，并制成统计图和表：
空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数（天）10a12825b
（1）表中a= 25 ，b= 20 ，图中严重污染部分对应的圆心角n= 72°；（2）请你根据“2015年我市100天空气质量等级天数统计表”计算100天内重度污染和严重污染出现的概率共是多少？
（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每天平均出行25千米，已知我市2015年机动车保有量已突破200万辆，请你通过计算，估计2015年我市一天中出行的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；概率公式．
【分析】（1）根据优的天数和所占的百分比求出总天数，再乘以良和严重污染所占的百分比，求出a，b，再用360°乘以严重污染所占的百分比求出严重污染部分对应的圆心角的度数；
（2）用重度污染和严重污染所占的百分比相加即可得出答案；
（3）根据题意和用样本估计总体的方法，列出算式，求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得：a=100×25%=25（天），
严重污染所占的百分比是：1﹣10%﹣25%﹣12%﹣8%﹣25%=20%，
b=100×20%=20（天），
n=360°×20%=72°，
故答案为：25，20，72°；
（2）100天内重度污染和严重污染出现的频率为×100%=45%；
（3）根据题意，得：200×10000×0.035×=87500（千克），
答：估计2015年我市一天中出行的机动车至少要向大气里排放87500千克污染物．20．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y=的图象经过D点．
（1）证明四边形ABCD为菱形；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）已知在y=的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）由A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；
（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；
（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．
【解答】解：（1）∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），
∴OA=4，OB=3，OC=2，
∴AB==5，BC=5，
∴AB=BC，
∵D为B点关于AC的对称点，
∴AB=AD，CB=CD，
∴AB=AD=CD=CB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴D点的坐标为（5，4），反比例函数y=的图象经过D点，
∴4=，
∴k=20，
∴反比例函数的解析式为：y=；
（3）∵四边形ABMN是平行四边形，
∴AN∥BM，AN=BM，
∴AN是BM经过平移得到的，
∴首先BM向右平移了3个单位长度，
∴N点的横坐标为3，
代入y=，
得y=，
∴M点的纵坐标为：﹣4=，
∴M点的坐标为：（0，）．
21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k 与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意得，
解得：k=﹣2，b=200，
∴y=﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，
∵30≤x≤60，
∴x=60时，w有最大值为1950元，
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．
22．王老师在组织一次数学教学中，扁拟了如下问题串
【原题初探】
如图1所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCD=S△ADE；
【变式猜想】
如图2所示，在已知锐角∠AOB内有一定点P，过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA，OB于点M，N，小明在将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，试问当MN在什么位置时，△MON的面积最小
【拓展应用】
如图3所示，一块四边形土地OABC，其中OA边长60米，AB边长30米，C点到OA边的距离为45米，使用测角器测得∠AOC=45°，OA⊥AB，OC⊥BC，机井P距离OA，AB 均是20米，过机井P画一条分割线将这块地分成两块四边形地块（与四边形土地OABC）的一组对边相交），则其中以点O为顶点的四边形地块的最大面积为1000m2．
【考点】几何变换综合题．
【分析】【原题初探】：根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论；
【变式猜想】：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON 最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
【拓展应用】：当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较就可以求出结论．【解答】解：【原题初探】
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
在△ADE与△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE，
∴S△ADE=S△FCE，
∴S四边形ABCD=S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE=S△ABF；
【变式猜想】
当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，
如图（1），过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
由方法探究可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，
∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小；
【拓展应用】
①如图3，
当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB 交于点D，
∵OA边长60米，使用测角器测得∠AOC=45°，OA⊥AB，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴S△AOD=AO2=×602=1800
由变式猜想的结论可知，当PN=PM时，△MND的面积最小，
∴四边形ANMO的面积最大．
作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1，M1，
∴M1P1=P1A=20，
∴OM1=M1M=20，
∴MN∥OA，
∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANMM1=×20×20+20×40=1000
②如图4，
当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，
过点C作CH⊥OA，
∴CH=45．
∵∠COA=45°，
∴△CHA为等腰直角三角形，
∴OC=45，
∵OC⊥BC，
∴△OCT是等腰直角三角形，
∴S△OCT=OC2=2025，OT=90
由问题迁移的结论可知，当PM=PN时，△MNT的面积最小，
∴四边形CMNO的面积最大．
∴NP1=M1P1，MM1=2PP1=40，
∴TM1=40
∴OM1=OT﹣TM1=50．
∵AT=AB=30，
∴AM1=TM1﹣AT=40﹣30=10，
∵AP1=20，
∴P1N=P1M1=AP1=AM1=20﹣10=10，
∴NT=P1N+AP1+AT=10+20+30=60
∴S△MNT=×40×60=1200，
∴S四边形OCMN=2025﹣1200=725＜1000．
∴综上所述：截得四边形面积的最大值为1000（m2），
故答案为1000m2．
23．如图，抛物线y=ax2﹣x﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】方法一：
（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．
方法二：
（1）略．
（2）通过求出A，B，C三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC，从而求出圆心坐标．
（3）利用三角形面积公式，过M点作x轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC 的面积函数，从而求出M点．
【解答】方法一：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a﹣×4﹣2，即：a=；
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．
（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．
（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；
设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：
x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；
∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；
∴直线l：y=x﹣4．
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：
，
解得：
即M（2，﹣3）．
过M点作MN⊥x轴于N，
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
方法二：
（1）略．
（2）∵y=（x﹣4）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（4，0）．C（0，﹣2），
∴K AC==﹣2，K BC==，
∴K AC×K BC=﹣1，∴AC⊥BC，
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（，0）．
（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴l BC：y=x﹣2，
设H（t，t﹣2），M（t，t2﹣t﹣2），
∴S△MBC=×（H Y﹣M Y）（B X﹣C X）=×（t﹣2﹣t2+t+2）（4﹣0）=﹣t2+4t，
∴当t=2时，S有最大值4，
∴M（2，﹣3）．。