2020-2021学年河北省廊坊四中九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年河北省廊坊四中九年级（上）第一次月考数学试
卷
1. 下列属于一元二次方程的是( )
A. x 2−3x +5=0
B. x 2+2x =1
x C. 2x 3=5x D. x(x 2−4x)=3
2. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A. x 2+2x +5=0
B. (x −1)2=0
C. 3x 2+2x +1=0
D. 9x 2+6x −1=0 3. 抛物线y =−2(x +3)2+1的顶点坐标为( )
A. (3,1)
B. (−3,1)
C. (0,1)
D. (−2,1)
4. 把方程1
3x 2−x −5=0，化成(x +m)2=n 的形式得( )
A. (x −32)2=27
2 B. (x −32)2=29
4 C. (x −32)2=69
4 D. (x −32)2=51
4 5. 若m ，n 是方程x 2+2x −3=0的两个实数根，则m +n −mn 的值为( )
A. −3
B. −2
C. −1
D. 1
6. 毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张．设某班共有x 名学生，那么所列方
程为( )
A. 1
2x(x +1)=1980 B. 1
2x(x −1)=1980 C. x(x +1)=1980 D. x(x −1)=1980 7. 若关于x 的方程x 2+6x −a =0无实数根，则a 的值可以是下列选项中的( )
A. −10
B. −9
C. 9
D. 10
8. 对于二次函数y =2(x −1)2−8，下列说法正确的是( )
A. 图象开口向下
B. 当x >1时，y 随x 的增大而减小
C. 当x <0时，y 随x 的增大而减小
D. 图象的对称轴是直线x =−1
9. 某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、
3月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程正确的是( )
A. 250(1+x)2=900
B. 250(1+x%)2=900
C. 250(1+x)+250(1+x)2=900
D. 250+250(1+x)+250(1+x)2=900
10. 抛物线y =2(x −1)2+3可以看作是由抛物线y =2x 2经过以下哪种变换得到的( )
A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B. 向右平移1个单位，再向上平移3个单
位
C. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单
位
11.有一人患了某种流感，在每轮传染中平均一个人传染x个人，在进入第二轮传染之前有两人
被及时隔离治疗并治愈，若两轮传染后还有24人患流感，则x=( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
12.等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2−6x+n−1=0的两
根，则n的值为( )
A. 9
B. 10
C. 9或10
D. 8或10
13.已知点A(−2,a)，B(−1,b)，C(3,c)均在抛物线y=−(x−2)2+k上，则a，b，c的大小关系
为( )
A. a<b<c
B. c<a<b
C. b<a<c
D. a<c<b
14.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根
是x=−1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是( )
A. 不存在实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是x=−1
D. 有两个相等的实数根
15.已知二次函数y=−(x+ℎ)2，当x<−3时，y随x的增大而增大，当x>−3时，y随x的增
大而减小，当x=0时，y的值为( )
A. −1
B. −9
C. 1
D. 9
16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x−ℎ)2与x轴只有一个交
点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到
直线l的距离为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
17.一元二次方程(2x−1)(x+3)=2x化为一般形式是______.
18.已知抛物线y=2(x−1)2+1，当0≤x≤3时，y的最小值是______，y的最大值是______.
19.二次函数y=(x−m)2+1在x≤1时y随x增大而减小，则m的取值范围是______.
20.已知关于x的方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数，a≠0)的两根分别为−2，1，那么关于x
的方程a(x+c−2)2+b=0的两根分别为______.
21.解方程：
(1)(x−1)(x−3)=8；
(2)2(x−3)2=x2−9；
(3)4x2−8x=3；
(4)(2x+3)2=9(x−1)2.
n(n−3).
22.阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：1
2
n(n−3)=20.
如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程1
2
整理得n2−3n−40=0；解得n=8或n=−5
∵n为大于等于3的整数，∴n=−5不合题意，舍去．
∴n=8，即多边形是八边形．
根据以上内容，问：
(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；
(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A同学说法正确吗？为什么？
23.阳光小区附近有一块长100m，宽80m的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道(一纵
一横)和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为a(m)，求步道的宽．
24.某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，
减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．
(1)设降价x元，则现在每天可销售衬衫______件，每件的利润是______元．(用x的代数式表
示)
(2)若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？
(3)若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
(x−t)2+1在同一个坐标系中(其中25.如图，抛物线P：y1=a(x+2)2−3与抛物线Q：y2=1
2
a，t均为常数，且t>0)，已知抛物线P过点A(1,3)，过点A作直线l//x轴，交抛物线P于点B.
(1)a=______，点B的坐标是______；
(2)当抛物线Q经过点A时，
①求抛物线Q的解析式；
②设直线L与抛物线Q的另一交点记作C，求AC
的值．
AB
(3)若抛物线Q与线段AB总有唯一的交点，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B.该方程不是整式方程，故本选项不合题意；
C.该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.原方程整理后可得x3−4x2=3，该方程中未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意．
故选：A.
根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵Δ=22−4×1×5=−16<0，
∴方程没有实数根；
B、方程可化为x2+2x+1=0，
∵Δ=22−4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根；
C、∵Δ=22−4×3×1=−10<0，
∴方程没有实数根；
D、∵Δ=62−4×9×(−1)=72>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D.
分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
3.【答案】B
【解析】解：二次函数解析式顶点式为：y=a(x−ℎ)2+k，
其中顶点坐标为(ℎ,k)，
∴y=−2(x+3)2+1的顶点坐标为(−3,1).
故选：B.
根据二次函数解析式顶点坐标的表达式直接求即可．
本题考查二次函数的性质，熟练运用二次函数解析式的不同表达形式是关键．
4.【答案】C
【解析】解：1
3
x2−x−5=0，
x2−3x=15，
x2−3x+9
4=15+9
4
，
(x−
3
2
)2=
69
4
.
故选：C.
直接利用配方法将原式变形进而得出答案．
此题主要考查了配方法解方程，正确配平方是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵m，n是方程x2+2x−3=0的两个实数根，
∴m+n=−2，mn=−3，
∴m+n−mn=−2−(−3)=1.
故选：D.
先根据根与系数的关系求出m+n与mn的值，再代入代数式进行计算即可．
本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，
x1+x2=−b
a ，x1⋅x2=c
a
是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得：每人要赠送(x−1)张贺卡，有x个人，
∴全班共送：(x−1)x=1980，
故选：D.
根据题意得：每人要赠送(x−1)张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：(x−1)x=1980.此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x−1张贺卡，有x个人是解决问题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程x2+6x−a=0无实数根，
∴△=62−4×1×(−a)<0，
解得：a<−9，
∴只有选项A符合，
故选：A.
根据方程无实数根得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再进行判断即可．
本题考查了解一元一次不等式和根的判别式，能根据判别式的内容和已知得出关于a的不等式是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由顶点式表达式可知，
a>0，
∴开口向上，A错误；
对称轴x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
当x>1时，y随x的增大而增大，
∴B错误；D错误，
∵x<0在x<1的范围内，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，C正确．
故选：C.
根据二次函数顶点式表达式逐一分析即可．
本题考查二次函数的性质和增减性，通过a的正负和对称轴判断二次函数的增减性是关键．
9.【答案】D
【解析】解：设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x，
依题意，得：250+250(1+x)+250(1+x)2=900.
故选：D.
设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x，根据计划第1季度的总营业额达到900万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=2(x−1)2+3顶点坐标为(1,3)，
抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0)，
∴抛物线y=2(x−1)2+3可以看作由抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，
抛物线的平移可看作顶点的平移，比较前后两个抛物线的顶点坐标即可．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
11.【答案】C
【解析】解：∵每轮传染中平均一个人传染x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x−2)人被传染，
又∵两轮传染后还有24人患流感，
∴1+x−2+x(1+x−2)=24，
整理得：x2=25，
解得：x1=5，x2=−5(不符合题意，舍去)，
∴x的值为5.
故选：C.
由在每轮传染中平均一个人传染x个人及在进入第二轮传染之前有两人被及时隔离治疗并治愈，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x−2)人被传染，结合两轮传染后还有24人患流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2−6x+n−1=0的两根，
∴x=2，
把x=2代入x2−6x+n−1=0得，22−6×2+n−1=0，
解得：n=9，
当n=9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=9不合题意，
②当a=b时，方程x2−6x+n−1=0有两个相等的实数根，
∴△=(−6)2−4(n−1)=0
解得：n=10，
当n=10时，方程的两根是3和3，
3，3，2能组成三角形，符合题意，
由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b，①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2−6x+n−1=0，即可得到结果；②当a=b时，方程x2−6x+n−1=0有两个相等的实数根，由△=0可得结果．
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式，注意分类讨论思想的应用．
13.【答案】A
【解析】解：∵y=−(x−2)2+k，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵抛物线开口向下，而点A(−2,a)到对称轴的距离最远，点C(3,c)最近，
∴a<b<c.
故选：A.
由y=−(x−2)2+k可知抛物线的对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．
14.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出原方程的c值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时，
只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=−1，
∴小刚解的方程是x2+4x+c′=0，
∴(−1)2−4+c′=0，
解得：c′=3，
故原方程中c=3+2=5，
∴原方程中，Δ=b2−4ac=16−4×1×5=−4<0，
∴原方程不存在实数根．
15.【答案】B
【解析】解：由题意得：二次函数y=−(x+ℎ)2的对称轴为x=−3，
故ℎ=−3，
把ℎ=−3代入二次函数y=−(x+ℎ)2可得y=−(x−3)2，
当x=0时，y=−9，
故选：B.
根据题意可得二次函数的对称轴x=−3，进而可得h的值，从而可得函数解析式y=−(x−3)2，再把x=0代入函数解析式可得y的值．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式y=a(x−ℎ)2+k，对称轴为x=ℎ.
16.【答案】C
【解析】解：函数顶点坐标M为(ℎ,0)，
设：点M到直线l的距离为a，
则：y=(x−ℎ)2=a，解得：x=ℎ±√a，
即：A(ℎ−√a,0)，B(ℎ+√a,0)，
∵AB=4，
∴ℎ+√a−(ℎ−√a)=4，
解得：a=4，
故选：C.
函数顶点坐标M为(ℎ,0)，设：点M到直线l的距离为a，则：y=(x−ℎ)2=a，求出A、B坐标即可求解．
本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线上点的坐标特征、坐标与图形性质；求出抛物线的对称轴是解决问题的关键．
17.【答案】2x2+3x−3=0
【解析】解：(2x−1)(x+3)=2x，
2x2+5x−3=2x，
2x2+5x−2x−3=0，
2x2+3x−3=0，
∴一元二次方程(2x−1)(x+3)=2x化为一般形式是2x2+3x−3=0，
故答案为：2x2+3x−3=0.
根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
18.【答案】1 9
【解析】解：∵y=2(x−1)2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线x=1，
∵1−0<3−1，
∴当0≤x≤3时，x=1时函数取最小值为1，
当x=3时，函数取最大值为y=2×(3−1)2+1=9，
故答案为：1，9.
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
19.【答案】m≥1
【解析】解：∵a=1，
∴二次函数开口向上，
∵二次函数的对称轴是直线x=m，
∵当x<m时y随x的增大而减小，
当x≤1时，y随x的增大而减小，
∴m≥1.
故答案为：m≥1.
先根据a=1>0，抛物线开口向上，再根据对称性说明函数的递减情况，最后求出m的取值范围．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握用对称轴、开口方向判断函数的递减情况是解题关键．
20.【答案】3，0
【解析】解：方法一：∵方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数，a≠0)的两根分别为−2，1，
∴a(−2+c)2+b=0或a(1+c)2+b=0，
∴(−2+c)2=−b
a 或(1+c)2=−b
a
，
∴−2+c+1+c=0，解得，c=0.5，
∴(−2+0.5)2=−b
a
，
∴−b
a =9
4
，
∵a(x+c−2)2+b=0，
∴(x+0.5−2)2=9
4
，
解得，x1=3，x2=0，
故答案为：3，0.
方法二：∵方程a(x+c)2+b=0(a,b,c为常数，a≠0)的两根分别为−2，1，∴方程a(x+c−2)2+b=0的两根分别为：−2+2=0或1+2=3，
故答案为：3，0.
方法一：根据方程a(x +c)2+b =0(a,b,c 为常数，a ≠0)的两根分别为−2，1，进行转化，即可得到c 的值，然后即可得到方程a(x +c −2)2+b =0的两根；方法二：根据平移的特点，由方程a(x +c)2+b =0(a,b,c 为常数，a ≠0)的两根分别为−2，1，可以得到方程a(x +c −2)2+b =0的两根．
本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
21.【答案】解：(1)整理成一般式，得：x 2−4x −5=0，
∴(x −5)(x +1)=0，
则x −5=0或x +1=0，
解得x 1=5，x 2=−1；
(2)∵2(x −3)2=x 2−9，
∴2(x −3)2−(x +3)(x −3)=0，
则(x −3)(x −9)=0，
∴x −3=0或x −9=0，
解得x 1=3，x 2=9；
(3)整理，得：4x 2−8x −3=0，
∴a =4，b =−8，c =−3，
∴Δ=(−8)2−4×4×(−3)=112>0，
∴x =8±4√78
=2±√72， ∴x 1=2+√72，x 2=2−√72；
(4)∵(2x +3)2=9(x −1)2，
∴2x +3=3(x −1)或2x +3=−3(x −1)，
解得x 1=6，x 2=0.
【解析】(1)整理成一般式，再利用因式分解法求解即可；
(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，再进一步求解即可；
(3)先移项，再利用公式法求解即可；
(4)利用直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
22.【答案】解：(1)根据题意得：1
n(n−3)=14，
2
整理得：n2−3n−28=0，
解得：n=7或n=−4.
∵n为大于等于3的整数，
∴n=−4不合题意，舍去．
∴n=7，即多边形是七边形．
(2)A同学说法是不正确的，理由如下：
n(n−3)=10时，整理得：n2−3n−20=0，
当1
2
，
解得：n=3±√89
2
∴符合方程n2−3n−20=0的正整数n不存在，
∴多边形的对角线不可能有10条．
【解析】(1)根据计算n边形的对角线条数公式结合多边形的对角线有14条，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)根据计算n边形的对角线条数公式结合多边形的对角线有10条，即可得出关于n的一元二次方程，解之由方程的解不含正整数，可得出多边形的对角线不可能有10条．
本题考查了一元二次方程的应用，根据计算n边形的对角线条数公式结合多边形的对角线的条数，找出关于n的一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：由题意，得：100a+80a−a2=(7a)2
化简，得a2=3.6a.
∵a>0.
∴a=3.6.
答：步道的宽为3.6m.
【解析】根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程并解答．
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24.【答案】(1)(30+2x)(40−x)
(2)由题意，得(40−x)(30+2x)=1400，
即：(x−5)(x−20)=0，
解得x1=5，x2=20，
为了扩大销售量，减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场要求该服装部每天盈利1400元，每件要降价20元；
(3)假设能达到，由题意，得(40−x)(30+2x)=1600，
整理，得x2−25x+200=0，
△=252−4×1×200=625−800=−175<0，
即：该方程无解，
所以，商场要求该服装部每天盈利1600元，这个要求不能实现．
【解析】解：(1)设降价x元，则现在每天可销售衬衫(30+2x)件，每件的利润是(40−x)元；故答案为：(30+2x)，(40−x).
(2)见答案
(3)见答案
(1)设每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40−x元)，每天可以售出(30+2x)件；
(2)由(1)可得商场平均每天要盈利(40−x)(30+2x)元，根据商场平均每天要盈利=1400元，为等量关系列出方程求解即可．
(3)假设能达到，根据商场平均每天要盈利=1600元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”．
25.【答案】2
(−5,3)
3
【解析】解：(1)∵抛物线P：y1=a(x+2)2−3过点A(1,3)，
∴9a−3=3，
∴a=2
，
3
(x+2)2−3，
∴抛物线P：y1=2
3
∵l//x轴，
∴点B的纵坐标为3，
∴3=2
(x+2)2−3，
3
∴x=1(点A的横坐标)或x=−5，
∴B(−5,3)，
故答案为：2
，(−5,3)；
3
(x−t)2+1过点A(1,3)，
(2)如图，∵抛物线Q：y2=1
2
(1−t)2+1=3，
∴1
2
∴t=−1(舍)或t=3，
∴抛物线Q：y2=1
2
(x−3)2+1，∵l//x轴，
∴点C的纵坐标为3，
∴3=1
2
(x−3)2+1，
∴x=1(点A的横坐标)或x=5，∴C(5,1)，
∴AC=5−1=4，
由(1)知，B(−5,3)，
∴AB=1−(−5)=6，
∴AC
AB =4
6
=2
3
；
(3)∵抛物线Q：y2=1
2
(x−t)2+1，
∴抛物线Q的开口大小一定，顶点坐标的纵坐标是1也是定值，
∴抛物线Q只是左右移动，
当抛物线Q向右平移的过程中，点A在抛物线Q的左侧时，抛物线Q和线段AB有一个交点A，此时，t=3，
由(2)知，AC=4，将抛物线Q向左平移4个单位时，和线段AB有两个交点，此段，−1<t≤3时，抛物线Q与线段AB有一个交点，
再继续把抛物线Q向左移动，移动到点B在抛物线Q的左侧时，此时，此时，t=−3，
同上，抛物线Q与线段AB有一个交点，−7≤t<−3，
∵t>0，
即：0<t≤3，抛物线Q与线段AB有一个交点．
(1)先利用待定系数法求出抛物线P的解析式，即可得出结论；
(2)①利用待定系数法求出抛物线Q的解析式，即可得出结论；
②先求出AC，AB即可得出结论；
(3)利用平移的特点和AB，AC的长即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，交点坐标的求法，平移的性质，利用平移的性质得出t的范围是解本题的关键．。