沪教版(上海)数学高二上册-等差数列的概念与通项公式课件
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各数列中, 每一项与前一项的差都相等. 数列(1)中的这个差是 5, 数列(2)中的这个差是 -2.5, 数列(3)中的这个差是 72, 数列(4)中的这个差是 -2.
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母 d 表示，即
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
解: 由等差数列的通项公式得 a5=a1+4d, 10=a1+4d, a12=a1+11d, 31=a1+11d,
(3) 函数 y= -2x+4 (x≥0)的图象上的整数点的 y 坐 标构成的数列是等差数列吗? 如果是, 公差是多少?
(4) 相同的数排成一列是等差数列吗? 如果是, 公 差是多少?
(1) 是等差数列, 首项为 0, 公差为 1.
(2) 是等差数列, 首项为 1, 公差为 2.
(3) 是等差数列, 首项为 4, 公差为-2.
(1)
1 2
,
1 4
,
1 6
,
1 8
,
(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1;
(4) an+1=an+2.
解: (3) 是等差数列,
∵ an+1-an = 2(n+1)+1-(2n+1) =2n+2+1-2n-1
=2, 2 为常数,
∴数列是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
(4) 是等差数列, 公差为0.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
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Fra Baidu bibliotek
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1 8
,
(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1; (4) an+1=an+2.
解: (1) 不是等差数列,
∴数列不是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
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(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1; (4) an+1=an+2.
解: (4) 是等差数列,
原式变为
an+1-an =2,
即数列从第二项起的任一项与前一项的差
是常数 2,
∴数列是等差数列.
问题3. 如果已知一个等差数列的首项 a1 和公差 d, 你能写出这个数列的 a2, a3, a4, an 吗?
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
解: (1) 由已知得 a1=8, d=5-8= -3, 则 a20=a1+(20-1)d =8+19(-3) = -49.
即这个等差数列的第20项是-49.
例1. (1) 求等差数列 8, 5, 2, … 的第 20 项. (2) -401是不是等差数列 -5, -9, -13, …的项? 如果是, 是第几项? 解: (2) 等差数列 -5, -9, -13, …中,
a1= -5, d= -9-(-5) = -4. 假设-401是此数列的一项, 设其为 an,
则 -401= -5+(n-1)(-4) 应有正整数解. 解关于 n 的方程得 n=100,
∴ -401是所给数列的项, 是第100项.
例(补充). 在等差数列{an}中, 已知 a5=10, a12=31, 求首项 a1与公差 d.
a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 = … = an-an-1 =d.
在数列 {an} 中，若 an-an-1=d (d为常数，n≥2),则 {an} 是等差数列。
问题2：(1)自然数列是等差数列吗? 如果是, 公 差是多少?
(2) 从小到大排列的正奇数数列是等差数列吗? 如 果是, 公差是多少?
果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
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(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1;
(4) an+1=an+2.
解: (2) 是等差数列,
∵ 0-1 = (-1)-0 = -1, ∴数列是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
果是, 首项是多少? 公差是多少?
等差数列的概念 与
通项公式
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操作题1. 请同学们写出以下数列: (1) 从小到大能被 5 整除的正整数构成的数列; (2) 某水库水位 18 m, 由于某种原因每天放水降 低水位 2.5 m, 写出各天水位数构成的数列; (3) 10000元本金存入银行, 年利率为 0.72%, 按 单利计息, 5 年内各年的本利和构成的数列; (4) 一架梯子有 11 步, 最长一步是 60 cm, 最短 一步是 42 cm, 从大到小各步长构成的数列.
an-a1= (n-1)d,
an=a1+ (n-1)d.
已知等差数列的首项 a1 与公差 d, 则等差数列 的通项公式为:
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中有 4 个元素, 其中只要 知道任意 3 个元素, 就能求另一个元素.
例1. (1) 求等差数列 8, 5, 2, … 的第 20 项. (2) -401是不是等差数列 -5, -9, -13, …的项? 如果是, 是第几项?
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母 d 表示，即
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
解: 由等差数列的通项公式得 a5=a1+4d, 10=a1+4d, a12=a1+11d, 31=a1+11d,
(3) 函数 y= -2x+4 (x≥0)的图象上的整数点的 y 坐 标构成的数列是等差数列吗? 如果是, 公差是多少?
(4) 相同的数排成一列是等差数列吗? 如果是, 公 差是多少?
(1) 是等差数列, 首项为 0, 公差为 1.
(2) 是等差数列, 首项为 1, 公差为 2.
(3) 是等差数列, 首项为 4, 公差为-2.
(1)
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(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1;
(4) an+1=an+2.
解: (3) 是等差数列,
∵ an+1-an = 2(n+1)+1-(2n+1) =2n+2+1-2n-1
=2, 2 为常数,
∴数列是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
(4) 是等差数列, 公差为0.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
1 2
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Fra Baidu bibliotek
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(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1; (4) an+1=an+2.
解: (1) 不是等差数列,
∴数列不是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
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(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1; (4) an+1=an+2.
解: (4) 是等差数列,
原式变为
an+1-an =2,
即数列从第二项起的任一项与前一项的差
是常数 2,
∴数列是等差数列.
问题3. 如果已知一个等差数列的首项 a1 和公差 d, 你能写出这个数列的 a2, a3, a4, an 吗?
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
解: (1) 由已知得 a1=8, d=5-8= -3, 则 a20=a1+(20-1)d =8+19(-3) = -49.
即这个等差数列的第20项是-49.
例1. (1) 求等差数列 8, 5, 2, … 的第 20 项. (2) -401是不是等差数列 -5, -9, -13, …的项? 如果是, 是第几项? 解: (2) 等差数列 -5, -9, -13, …中,
a1= -5, d= -9-(-5) = -4. 假设-401是此数列的一项, 设其为 an,
则 -401= -5+(n-1)(-4) 应有正整数解. 解关于 n 的方程得 n=100,
∴ -401是所给数列的项, 是第100项.
例(补充). 在等差数列{an}中, 已知 a5=10, a12=31, 求首项 a1与公差 d.
a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 = … = an-an-1 =d.
在数列 {an} 中，若 an-an-1=d (d为常数，n≥2),则 {an} 是等差数列。
问题2：(1)自然数列是等差数列吗? 如果是, 公 差是多少?
(2) 从小到大排列的正奇数数列是等差数列吗? 如 果是, 公差是多少?
果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1)
1 2
,
1 4
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1 6
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1 8
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(2) 1, 0, -1;
(3) 通项公式为an=2n+1;
(4) an+1=an+2.
解: (2) 是等差数列,
∵ 0-1 = (-1)-0 = -1, ∴数列是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
果是, 首项是多少? 公差是多少?
等差数列的概念 与
通项公式
返回目录
操作题1. 请同学们写出以下数列: (1) 从小到大能被 5 整除的正整数构成的数列; (2) 某水库水位 18 m, 由于某种原因每天放水降 低水位 2.5 m, 写出各天水位数构成的数列; (3) 10000元本金存入银行, 年利率为 0.72%, 按 单利计息, 5 年内各年的本利和构成的数列; (4) 一架梯子有 11 步, 最长一步是 60 cm, 最短 一步是 42 cm, 从大到小各步长构成的数列.
an-a1= (n-1)d,
an=a1+ (n-1)d.
已知等差数列的首项 a1 与公差 d, 则等差数列 的通项公式为:
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中有 4 个元素, 其中只要 知道任意 3 个元素, 就能求另一个元素.
例1. (1) 求等差数列 8, 5, 2, … 的第 20 项. (2) -401是不是等差数列 -5, -9, -13, …的项? 如果是, 是第几项?