高中数学教案-条件概率

又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品
中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，
问在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？
记A={取到一等品}，B={取到正品}
P(A )=3/10， P(B) 7
P(A B )=3/10， 10
P(A|B)=？3 3 10 P( A B) 7 7 10 P(B)
AB B
A
深化理解
1、准确把握公式的形式。
P（B A） P(A B) P（A |
P( A)
B）
P(A B) P(B)
在A发生的条件 下事件B的概率
在B发生的条件 下事件A的概率
2、计算条件概率的两种思维。
(1) 用上面的公式计算;
(2)根据加入条件后改变了的情况来计算.
例：A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率； （2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.
解 设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}，
P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(A∩B)=0.12， 则
P(A | B) P(A B) 0.12 0.67 , P(B) 0.18
P(B | A) P( A B) 0.12 0.60, P( A) 0.2
而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加 “B发生”这个条件时A发生的可能性大小， 即P(A|B)仍是概率.
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余 的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依 次抽取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用 概率论的知识来计算一下,每个 人抽到“入场券”的概率到底 有多大?
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5.
则 A表i 示“第i个人未抽到入场券”
显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5 也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2 由乘法公式
P( A2 ) P( A1)P( A2 | A1)
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1 个人未抽到，
计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须 第1、第2个人都没有抽到. 因此
P( A3) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
例 3 某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到
25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25 岁的概率。
解 设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示 “活到25岁” (即≥25)
则 P(A) 0.7, P(B) 0.56
由于B A故A B B，
所求概率为
P(B A) P( AB) P(B) 0.8
【问题】一般 情况下，P(Ｂ|Ａ) ≠ P(Ｂ)，那么 P(Ｂ|Ａ) ＝？
P(
B
|
A)
在A发生的条件下B包含的基本事件数 在A发生的条件下基本事件数
A B中包含的基本事件数 A中包含的基本事件数
card ( A B) card ( A)
card ( A B) / card ( A) /
掷骰子
已知事件B发生，此时试验所有可能结果
构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是等可
能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3.
P容( 易A看| B到) P( A)
P(A|B) 1 1 6 P( A B)
3 3 6 P(B)
P(A|B)
1 3
1 3
6 6
P(A B) P(B)
1) 用定义计算:
P(A |
B)
P( A
B)
1 6
1
2)从加入条件后P改(B变) 了的情36况去3算
P(A|B）= 1 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点
个数
掷骰子
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解: 设A={掷出点数之和不小于10}
记为 A B (或 AB );
3.若 A B 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
探究问题
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， P(A|B)=？
B={掷出偶数点}，
P(A )=?1 P(B)=?1 P(A
6
2
1 B)=?6
A,B事件是有联系的
如在在解事决件许多B发概率生问的题条时，件往下往求需要事在件有A某发生 些的附概加率信，息(将条件此)下概求率事记件的作概P率(A. |B).
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A |
B)
P( A
B)
3
36
1
P(B) 6 36 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
在B发生后的 缩减样本空间
中计算
【例题讲解】
例2:甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知 道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时 下雨的比例为12%，求：
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
例4在6道题中有4道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次
P(A | B) P(A B) P(B)
2.2.1条件概率
复习引入：
我们知道求事件的概率有加法公式：
若事件A与B互斥，则. P( A U B) P( A) P(B)
那么怎么求A与B的积事件AB呢? P(A B) ?
注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 A B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入 场券” 的概率都是1/5.
这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 也就是说， 抽签不必争先恐后.
这一讲，我们介绍了条件概率的概念， 给出了计算两个或多个事件同时发生的概 率的乘法公式，它在计算概率时经常使用， 需要牢固掌握.
我们说，在事件B发生的条件下事件A 的条件概率一般地不等于A的无条件概率. 但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？ 这个问题留待下一节讨论.
P(A B) P( A)
AB B
A
二、条件概率的定义（计算公式）
定义 设A、B是两个事件，且 P( A) 0, 则称
P（B A） P(A B)
(1)
P( A)
为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率.
若在事件A已发生的条件下，基本 事件空间由Ω缩小为事件A，为使 B 也发生 ,试验结果必须是既在 A 中又在B中的基本事件,即此点必属 于A∩B.
A={取到一等品}，B={取到正品}
P(A )=3/10， P(A|B)=3/7 P( A | B) P( A)
本例中，计算P(A)时，依 据的前提条件是10件产品中一 等品的比例.
计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只 是加上“事件B已发生”这个新的条件.
这好象给了我们一个“情报”，使我们 得以在新增的条件下导致的某个缩小了的范 围内来考虑问题.
P（B A） P(A B) P( A)
P( A B) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
例 5 设A, B为两个事件,已知P(B| A) 1 , P(A) 2 , 求P(A B)
2
5
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行 的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在 该试验条件下事件A发生的可能性大小.