湖北省七市教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考试题

湖北省七市教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考试题
湖北省七市教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考试题
年级：
姓名：
1
湖北省七市（州）教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考
试题
本试卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x|log2x>1},B={x||x-1|<3},则A∩B=
A.(-2,4)
B.(1,2)
C.(1,4)
D.(2,4)
2.设i·z=4-3i(i为虚数单位），则复数z的虚部为
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
3.已知等比数列{a n}中，a3=4,a2a7=8a4,则a1=
A.1
B.2
C.±1
D.±2
4.2020年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利，下图是2015-2019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）的变化情况（数据来源：国家统计局2019年统计年报）.根据图表可得出的正确统计结论是
A.五年来贫困发生率下降了5.2个百分点
B.五年来农村贫困人口减少超过九成
C.五年来农村贫困人口减少得越来越快
D.五年来目标调查人口逐年减少
5.已知圆M过点A(1,-1),B(1,2),C(5,2),则圆M在点B处的切线方程为
A.3x+4y-2=0
B.3x-4y-2=0
C.4x-3y+2=0
D.4x3y-2=0
6.函数
52sin
()
33
x x
x x
f x
-
+
=
-
(x∈[-π,0) ∪(0,π])的大致图象为
2
3
7.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进人决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为
A. 112
B. 13
C. 12
D. 34
8.已知函数f(x)是定义在区间（0,+ ∞)上的可导函数，满足f(x)>0,且f(x)+f '(x)<0（f '(x)是f(x)的导函数），若0<a<1<b 且ab=1,则下列不等式一定成立的是
A.f(a)>(a+1)f(b)
B.f(b)>(1-a)f(a)
C.af(a)>bf(b)
D.af(b)>bf(a)
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，
有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设a,b,c,d 为实数，且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是
A.c 2
<cd B.a-c<b-d C.ac>bd D.
c d a b
->0 10.函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则下列结论正
确的是
A.f(x)的最小正周期为2
B.把y=f(x)图象上所有点向右平移12
π
个单位长度后得到函数
g(x)=2cos 2x 的图象 C.f(x)在区间［2π,1112
π
］上单调递减 D.(
6
π
,0)是y=f(x)图象的一个对称中心 11.已知抛物线Γ:x 2
=4y 的焦点为F,过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于M,N 两点，则下列说法正确的是
A.点F 的坐标为（1,0)
B.抛物线Γ的准线方程为y= -1
C.线段MN 的长为4
D.直线y=x-2与抛物线Γ相切
12.半正多面体（semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美。

二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有2,则
A.BF ⊥平面EAB
4
B.该二十四等边体的体积为
203
C.该二十四等边体外接球的表面积为8π
D.PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为
22
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卡对应题号的位
置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13.已知矩形ABCD 中，AB=2,AD=1,设AC 与BD 交于点O,则AO BO ⋅=
14.二项式3
2a x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的展开式中，x 的系数为270,则：（1)a = ，（2)该二项
式展开式中所有项的系数和为 ．（本题第一空3分，第二空2分）
15.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗，到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5(lg E 2-IgE 1),其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍。

（结果精确到0.01.
当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x 2
)
16.已知双曲线C: 22
22x y a b
-＝1(a>0,b>0)的右焦点为5,0),点N 的坐标为（0,2),
点M 为双曲线C 左支上的动点，且ΔMNF 的周长不小于20,则双曲线C 的离心率的取值范围为 .
四、解答题：本大题共6小题，共计70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分）
在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且4cos(A+C)+2cos 2B+3=0. （1)求角B;
（2)若D 是BC 的中点，3求ΔABC 的面积．
18.(12分）
已知等差数列{a n },其前n 项和为S n ,若a 1+a 3=10,S 3=35. （1)求数列{a n }的通项公式；
（2)若数列{b n }满足：a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+···+a n b n =1+(2n-1)2n
,求数列2211
(log )n
n a b +⎧⎫⎨⎬
⋅⎩⎭的前n 项和T n .
19.(12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//DC, ∠BAD=90°,
PD=DC ＝BC=2PA=2AB=2,PD ⊥DC.
5
（1)求证：PA ⊥平面ABCD;
（2)设BM BD λ= (0<λ<1),当二面角A-PM-B
的余弦值为
7
时，求入的值。

20.(12分）已知椭圆C 1：2222x y a b +＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是双曲线C 2: 22
4
y x -=1
的左、
右顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2
（1)求椭圆C 1的方程；
（2)设椭圆C 1的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0),经过左焦点F 1的直线l 与椭圆C 1
交于M,N 两点，且满足222F P F M F N =+的点P 也在椭圆C 1上，求四边形F 2MPN 的面积．
21.(12分）
某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有2n-1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p,且每个电子元件能否正常工作相互独立。

若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G 可以正常工作，否则就需维修。

（1)当n=2,p=
1
2
时，若该电子产品由3个系统G 组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；
（2)为提高系统G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C 可以正常工作，问p 满足什么条件时，可以提高整个系统G 的正常工作概率？
22.(12分）
已知函数1
()x e f x x
-=，其中e=2.718 28···为自然对数的底数．
（1)求f(x)的单调区间；
（2)若e x
-2xlnx-kx-1≥0对∀x>0恒成立，记k max =λ,证明：λ>1.1.
湖北省七市（州）教研协作体2021年高三年级3月联考 数学参考答案 一、单项选择题
6
号 答案
D A B B C A D C
二、多项选择题
题号 9 10 11 12 答案
AD
CD
BC
BCD
三、填空题 13．3
4
-
14．3 15．1.26 16．(1,5]
四、解答题
17．（1）因为A B C π++=，所以A C B π+=-，由4cos()2cos230
A C
B +++=，
可得24cos 2(2cos 1)30B B -+-+=，即24cos 4cos 10B B -+=， 3分 得1cos 2
B =，因为0B π<<，所以3
B π
=
. 5分
（2）在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，
即2
2
4864218BD BD =+-⨯⨯⨯，即21608BD BD +-=，解得4BD =. 7分
所以113
22284s 1632in 2ABC ABD B S D B S AB ==⨯⨯=⨯⨯⨯⋅=△△. 10分
18．（1）因为135
1035a a S +=⎧⎨=⎩，所以11527a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13
2a d =⎧⎨=⎩，
2分
所以1(1)21n a a n d n =+-=+． 4分 （2）由(1)得:123357...(21)1(21)2n n b b b n b n +++++=+-，① 所以11231)357...(21))1(23)22(n n b b b n b n n --++++-=+-，②
两式相减得：1(21)(21)2(2)n n n b n n -+=+，所以1()22n n b n -=， 7分 又由①式得11b =，适合上式，所以1*2)(n n b n N -=∈． 8分
7
所以2241111
()
(21)11(23)2223
(log )n n n n a b n n +-+⋅==+++， 10分
所以1111111()235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+
-++111()2323n =-+69
n
n =+． 12分
19．（1）因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90BAD ∠=，所以AD DC ⊥， 又因为PD DC ⊥，PD AD D =，所以CD ⊥平面PAD ，
又因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥， 2
分
取CD 的中点E ，连接BE ，在Rt BCE △中，2BC =，1CE =，可得3BE =， 所以3AD =，又22PD PA ==，所以222PA AD PD +=，所以PA AD ⊥， 4分 又AD CD D =，所以PA ⊥平面ABCD . 5分
（2）以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则(1,0,0)B ，D(0,3,0)，(0,0,1)P ，所以(1,0,1)BP =-，(1,3,0)BD =-，
设平面PBD 的法向量(),,x y z =m ，由030BP x z BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ，
得0
30
x z x y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，得(
)
3,1,3=m ， 7分
设()000,,M x y z ，由(01)BM BD λλ=<<，得000(1,,)(1,3,0)x y z λ-=-， 所以()1,3,0M λλ-，所以(0,0,1)AP =，()
1,3,0AM λλ=-，
设平面PAM 的法向量()111,,x y z =n ，由0
0AP AM ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ， 得111
(1)30z x y λλ=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令13x λ=，
得平面PAM 的一个法向量为(3,1,0)λλ=-n . 9分
设二面角A PM B --的平面角为θ， 则有222
31417
cos 774217(3)(1)λλλθλλλλ⋅+--=
===-++-n m n m ， 解得0λ=或12
λ=，因为01λ<<，所以12
λ=. 12分
8
20．（1）椭圆的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，而双曲线2C ：2
2
4
1y x -=的顶点分
别为(1,0)-，(1,0)，
所以
1c =． 1分
又椭圆的上顶点为(0,)b ，而双曲线2C ：2
2
4
1y x -=的一条渐近线为2y x =，
则有||55
5
b =
，解得1b =． 3分
2
2
2
112a ∴=+=，所以椭圆E 的方程为22
2
1x y +=． 4
分
（2）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得
22(2)210t x ty +--=，
△2244(2)0t t =++>恒成立，设1(1M ty -，1)y ，2(1N ty -，2)y ， 则12222t y y t +=+，12
21
2
y y t -=+． 5分
设0(P x ，0)y ，由222F P F M F N =+，得012012
122
x ty ty y y y -=-+-⎧⎨=+⎩，
即2012201226
()3222t x t y y t t y y y t ⎧+=+-=-⎪⎪+⎨⎪=+=
⎪+⎩
，又点P 在椭圆1C 上，故2222222
(6)412(2)(2)t t t t ++=++， 即4212280t t --=，解得214t =（舍负），
8分
因为满足222F P F M F N =+的点P 也在椭圆1C 上，所以四边形2F MPN 是平行四边形， 设四边形2F MPN 的面积为S ，则有
2
222
121212122242(1)
44(2)||||2()4(2)t t t S F F y y y y y y t +++=-=+-==+ 11分
代入214t =，得四边形2F MPN 的面积30
S =． 12分
9
21．（1）当2n =时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为
23
33111C ()()222
+= 1分
设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则1
(3,)2
X B ，500X ξ=
2分
∴3311(500)()C ()(),0,1,2,322
k k k
P k P X k k ξ-=====
4分
∴ξ的分布列为
∴150037502
E ξ=⨯⨯= 6分
（2）记21k -个元件组成的系统正常工作的概率为k p .21k -个元件中有i 个正常工作的概率 为2121
C (1)
i i k i
k p p ----，因此系统工常工作的概率21
2121C (1)
.k i i k i
k k i k
p p p ----==-∑ 7分
在21k -个元件组成的系统中增加两个元件得到21k +个元件组成的系统，则新系统正常 工作可分为下列情形：
（a ）原系统中至少有1k +个元件正常工作，概率为121C (1)k k k k k p p p ----； 8分
（b ）原系统中恰有k 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为21
21[1(1)]C (1)
k k k k p p p -----； 9分 （c ）原系统中恰有1k -个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为211
21C (1).k k k k p p
p ---- 10分
因此，211211
1212121C (1)[1(1)]C (1)C (1)k k k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p ----+----=-+----- 1
21(1)C (21)k k k k p p p --=--
10
故当12
p >时，k p 单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性. 12分
22．（1）2
2e e 1e ()(1e )x x x
x x f x x x x
-'⋅-+==-+， 1分
易证当0x ≠时，e 1x x >+，则e 1x x ->-+，即 e 10x x -+->，
所以()0f x '>，故 ()f x 在 (,0)-∞，(0,)+∞上单调递增． 4分
（2）由题意得0x ∀>，e 1
2ln x x k x
--， 令e 1
()2ln x F x x x -=-，要证： 1.1λ>，即证() 1.1F x >． 22
e e 12e e 21
()x x x x x x x F x x x x ⋅-+⋅--+=-='，
令()e e 21x x g x x x =⋅--+，则
()e 2x g x x ⋅'=-，()(1)e 0x g x x =+⋅'>'， 所以()g x '在(0,)+∞上单调递增，又(0)20g =-<'，(1)e 20g =->'，
故0(0,1)x ∃∈，使得0
()0g x '=，即00
2
e x x =
． 6分 所以0(0,)x x ∀∈，有()0g x '<，()g x 单调递减；
0(,)x x ∀∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增．
所以0()()g x g x ，(0)0g =，00
00000
2
()e e 212210x x g x x x x x =⋅--+=-
-+<， 3
231()e 2022
g =->，所以存在103(,)2x x ∈，使得()10g x =，
即1
1121
e 1
x
x x -=
-，且满足1(0,)x x ∀∈，()0F x '<，()F x 单调递减； ()1,x x ∀∈+∞，()0F x '>，()F x 单调递增；
所以()111111e 1()2ln 2ln 1
1
x F x F x x x x x -=-=--． 8分 令1
()2ln 1
h x x x =
--，则2
12()0(1)h x x x -=-<-'，故()h x 单调递减，
湖北省七市教科研协作体2021届高三数学下学期3月联考试题
11 又13
2x <，所以33()()2(1ln )22h t h >=-． 9分 则只需证明0.452093
3332(1ln ) 1.1ln 0.45e ()e 2222
->⇔<⇔<⇔<， 又8e 263>=⋅，可先证明20938()()23<，又5 3243=，82256=，则5832<， 所以30482193832()()23<⇔<，而202133()()22<，所以209938
()()e 23
<<，证毕！ 12分 注：关于33
2(1ln ) 1.1ln 0.4522->⇔<的证明下面再给出一种证法:
32
ln3ln 2--
，即ln 3ln 2-<， 又210.456<，所以3
ln ln3ln 20.452=-<，证毕！。