2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学(理)试卷及答案

2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考
数学（理）试卷
★祝考试顺利★ (含答案)
时间120分钟,满分150分
注意事项：
1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.命题“若两条直线平行,则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命题,这四个命题中真命题的个数为（ ） A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
2.袋中装有大小和材质均相同的红球4个,黄球2个,白球1个,从中随机取出一个球,记事件A 为“取出的是红球”,事件为B “取出的是黄球”,则下列关于事件A 和事件B 的关系说法正确的是（ ） A ．不互斥但对立
B ．不互斥也不对立
C ．互斥且对立
D ．互斥但不对立
3.命题“2x ∀≥,2+ 6x x ≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≥,26x x +< B ．02x ∃≥,2
06x x +< C ．2x ∀<,26x x +<
D ．02x ∃<,2
06x x +< 4.平面内有两个定点A 、B 和一个动点M ,5AB =,MA MB a +=（a 为常数）.若p 表示"6a >",q 表示“点M 的轨迹是椭圆”
．则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.若方程222450x y x ay a ++--=表示圆,则下列四个数中a 不能取的是（ ） A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
6.某校高二年级有980名同学,编号为1到980,采用系统抽样的方法从中抽出49人,已知被抽出的编号中有一个为22,则下列编号中没有被抽中的是（ ） A ．82
B ．202
C ．372
D ．562
7.圆()2
2:216M x y ++=与圆()2
2():4836N x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
8.从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中随机抽取一个,记事件A 为“抽取的数字为偶数”,事件B 为“抽取的数字为3的倍数”,则事件A B +发生的概率为（ ）
A ．57
B ．67
C ．37
D ．
47
9.已知抛物线22y ax =的焦点在直线3260x y +-=上,则a =（ ） A ．4
B ．6
C ．
124
D ．
116
10.圆M 内有一内接正六边形ABCDEF ,把点Q 随机投入圆M 内（含边界）,则点Q 落在正六边形ABCDEF 内（含边界）的概率为（ ）
A B C ．
D
11.已知关于x 的方程 5x +=只有一个实数根,则实数m 的值为（ ）
A ．34
-
B ．
43
C ．43
-
D ．
34
12.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为1
2
,左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作y 轴的
平行线交椭圆M 于A 、B 两点,O 为坐标原点,双曲线N 的虚轴长为3,且以1F 、2F 为顶点,以直线OA 、OB 为渐近线,则椭圆M 的短轴长为（ ）
A ．2
B
C ．
D ．二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.执行如图所示的程序框图,输出的s 的值是________________.
14.为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系,有关人员调查了某省商品猪存栏量与该省猪肉平均市场价格的情况,得到如下表中的数据：
根据这组数据,得到了该省猪肉的平均市场价格y （元/千克）关于商品猪存栏量x （千万头）的线性回归方程为31y x a =-+,则a =___________________.
15.已知抛物线2
5y x =上一点Q 到焦点F 的距离为25
4
,则坐标原点到直线FQ 的距离为____________.
16.已知圆()()2
2
:254C x y -+-=,T 为圆C 外的动点,过点T 作圆C 的两条切线,切点分别为
M 、N ,使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点,则圆C 的萌点的轨迹方程为_________________.
三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知命题[]:1,2P x ∀∈,20x
m -≥,命题q ：方程
22
142
x y m m +=-+表示双曲线． （1）若命题q ⌝为假命题,求实数m 的取值范围；
（2）若命题p q ∨为真,且p q ∧为假,求实数m 的取值范围． 18.已知圆C 经过点()2,5,()5,2,()2,1-. （1）求圆C 的方程；
（2）设点(), P x y 在圆C 上运动,求()()2
2
21x y +++的最大值与最小值．
19.2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都市举行,成都市某大学为了解该校大学生每天的体育锻炼情况,在全体大学生中随机抽取了200名学生,对他们每天的体育锻炼时间（单位：分钟）进行统计,由此得到频率分布直方图（如下图）．
（1）求t 的值；
（2）根据频率分布直方图,估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数；
（3）若要从每天体育锻炼时间在[)40,50,[)50,60的两组学生中,采用分层抽样的方法选取5人了解他们的锻炼方式,再从这5人中随机抽取2人做志愿者,求抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组内的概率．
20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ,点F 到直线10x y ++=的距离为2,点
P 是椭圆上的一动点,PF 的最大值为2. （1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为()1,1T -,求直线l 的方程． 21.已知在平面直角坐标系中,动点P 到点()0,2的距离比到直线3y =-的距离短l . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；
（2）经过点()0,3作任一直线l 与轨迹E 相交于A 、B 两点,过A 点作直线3y =-的垂线,垂足为C 点,求证：直线BC 过x 轴上的定点,并求出定点坐标．
22.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的右焦点为
)
,点()2,1P 在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ,直线PM 、PN 分
别交x 轴于A 、B 两点,记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2
S ,求12 S S +的取值范围．
2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考
数学（理）参考答案
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分. 1～5：BDBAA
6～10：CBDCA
11～12：BC
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．122
14．148
15．1
16．()()2
2
25x y -+-=
三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）因为q ⌝为假命题,则命题q 为真命题.即()()420m m -+<,4m >或2m <-.故m 的取值范围为{}|42m m m ><-或
（2）命题[]:1,2p x ∀∈,20x m -≥,即2x m ≥对于[]1,2x ∀∈恒成立只需()min 2x m ≤,所以2m ≤. 因为命题p q ∨为真,且p q ∧为假,所以p 、q 一真一假.
当p 真q 假时：2
24m m ≤⎧⎨≤≤⎩
,即22m -≤≤.
当p 假q 真时：2
42
m m m >⎧⎨><-⎩或,即4m >
综上：m 的取值范围为{}|422m m m >-≤≤或. 18．解：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.
2529522925D E F D E F D E F ++=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩,得441D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩224410x y x y ∴+---=即22
(2)(2)9x y ∴-+-= （2）22(2)(1)x y +++表示点(), P x y 与点()2,1--距离的平方. 圆心()2,2与()2,1--的距离
5d =
=.
故距离最大值为8d R +=,距离最小值为2d R -=.所以22(2)(1)x y +++的最大值为64,最小值为4.
19.解：（1）由题意知：20101t ⨯=,得0.005t =. （2）由频率分布直方图得：平均值
350.05450.2550.3650.2750.15850.160x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（3）[)40,50,[)50,60的两组学生中,[)40,50组选2人,分别记为A ,B ；[)50,60组选3人,分别记为a ,b ,c ,
从这5人中随机抽取2人做志愿者的选法为(),A B ,(),A a ,(),A b ,(),A c ,(),B a ,(),B b ,(),B c ,
(),a b ,(),a c ,(),b c 共10种,其中抽取2人为同一组的包含(),A B ,(),a b ,(),a c ,(),b c 共4种
由古典概型知：抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组的概率为2
5
P =. 20.解：（1）由题意知：(),0F c
-
2
=
,2c =或0c =（舍）
PF 的最大值为
2,即a
c +=所以a =2b =
故椭圆c 的方程为22
184
x y +
=. （2）设()11,A x y ,()22,B x y .由点()1,1T -为AB 中点得：122x x +=-,122y y +=
且22
1122
222828
x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,相减得：2222
1212220x x y y -+-=.
整理得：
()121212122y y x x x x y y -+=--+,得1
2
k =. 故直线方程为()1
112
y x -=
+,即230x y -+=. （说明：运用直线与椭圆联立求解,结果正确也给分）
21.解：（1）由已知可得,动点P 到点()0,2的距离等于到直线2y =-的距离. 由抛物线的定义知,点P 的轨迹为抛物线,点()0,2为焦点,直线2y =-为准线 故4p =,点P 的轨迹方程为28x y =.
（2）当0k =时,直线l 为3y =,由对称性,直线BC 与x 轴交于点()0,0O 下面证明一般情况下,直线BC 与x 轴交于定点()0,0O .
由题意知：直线l 的斜率存在.设直线方程为3y kx =+,设()11,A x y ,()22,B x y .
直线与抛物线联立：238y kx x y
=+⎧⎨=⎩,得28240x kx --=.
x ∆>恒成立,128x x k ∴+=,1224x x =-. 点()22,B x y ,()1,3C x -,()0,0O 共线2
12
3OC OB y k k x x -⇔=⇔
=
12230x y x ⇔+= 122(3)30x ky x ⇔++=12123()0kx x x x ⇔++=
而12123()24240kx x x x k k ++=-+= 即直线BC 过定点(0)0，.
22.解：（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：
22
41
1a b +=. 2222341
1
b a a
b ⎧+=⎪
∴⎨+=⎪⎩,得2
263a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩故椭圆的方程为：22163x y += （2）如图所示：
由题意知直线TM 的斜率大于0,所以可设直线方程为3x ty =+,设()11,M x y ,()22,N x y .直线
与椭圆联立：22
326
x ty x y =+⎧⎨+=⎩,得()22
2630t y ty +++= 0∆>,即()22361220t t -+>,21t >,,由于斜率大于0,1t ∴>
12262t y y t -+=
+,122
3
2
y y t =+ 直线PM 的斜率：
1112y x --,PM 的方程：()111122y y x x --=--,令0y =,则1
1221A x x y -=
+- 直线PN 的斜率：
2212y x --,PN 的方程：()221122y y x x --=--,令0y =,则2
2221
B x x y -=
+- 112311
A x TA x y -=-=+
-,222
311B x TB x y -=-=+-,
()121
12S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪ --⎝⎭
现求
12122211x x y y --+--的取值范围：12122211
x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)
(1)(1)x y x y y y --+--=--
将x 用y 表示代入：原式()()()12121212212
1
ty y t y y y y y y +-+-=-++由韦达定理得：原式()2244165
t t t t -=>++
原式()2
24(1)24441655t t t t t +=-
=->+++所以1212
3(1)5
S S t t +=->+,函数为递增,()121,3S S +∈. （说明：直线设成()3y k x =-,0k >,结果正确也给分）. 12.解：设椭圆M 的半焦距为c ,由已知得
1
2
c a =,所以2a c =
,b =, 椭圆M 的方程可化为2222143x y c c +=,把x c =代入,解得3
2
y c =±
所以3,2A c c ⎫
⎛ ⎪⎝⎭
,直线3:2OA y x =
设双曲线N 的实半轴长为'a ,虚半轴长为'b ,半焦距为'c
则'a c =,由
'3'2b a =,得33
''22
b a
c == 由已知可得3'2b =,所以33
22
c =,1c =
所以b ==所以椭圆M
的短轴长为16.解：(
)()2
22
2
cos 12sin TM TN TM MTN TC MC
MTC ⋅=∠=--∠
(
)22
2
241CM TC TC ⎫⎛=--⎪ ⎪⎝
⎭()
2
2
22
8324112TC TC TC TC ⎫⎛=--=+-⎪
⎪⎝
⎭12
≥=
当且仅当2
TC =.
由T 在圆C 外知TC
的取值范围是()2,+∞,所以2
TC
=
故TM TN ⋅的最小值为
12-.
由2
TC =,萌点
T 的轨迹为圆,方程为()()2
2
25x y -+-=
2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）试卷。